Tính nhanh:

$A=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+....+\frac{1}{1024}$

Cho x,y,z là các số thực không âm thỏa mãn x+y+z=1.Chứng minh

$\sum \frac{x^{2}+1}{y^{2}+1}$ $\leq \frac{7}{2}$

Cho x,y,z là các số thực thỏa mãn $x^{2}+y^{2}+z^{2}=2$

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của P=$x^{3}+y^{3}+z^{3}-3xyz$

Cho x,y là các số nguyên dương thỏa mãn $x^{2} +x+1\vdots y;y^{2}+y+1\vdots x$

chứng minh

$x^{2}+x+y^{2}+y+1=5xy$

 

Lời giải của Thuan192

Gọi $x_{i}$ là số ô đỏ ở dòng thứ i. Ta có $S=\sum_{i=1}^{13}x_{i}$. Ở hàng thứ i số các cặp ô đỏ là $C_{x_{i}}^{2}=\frac{x_{i}(x_{i}-1)}{2}$

Vậy tổng số các cặp ô đỏ là $A=\sum_{i=3}^{13}\frac{x_{i}(x_{i}-1)}{2}$

Chiếu các cặp ô đỏ xuống một hàng ngang nào đó . Do giả thiết thì không có cặp ô đỏ nào có hình chiếu trùng nhau.Vậy 

$C_{13}^{2}=78\geq A=\sum_{i=3}^{13}\frac{x_{i}(x_{i}-1)}{2}$

$\Leftrightarrow \sum_{i=1}^{13}x_{i}^{2}-\sum_{i=1}^{13}x_{i}\leq 156$

Theo BĐT Bunhiacopxki:

$(\sum_{i=1}^{13}x_{i})^{2}\leq 13(\sum_{i=1}^{13}x_{i}^{2})$ , ta suy ra 

$\frac{S^{2}}{13}-S\leq \sum_{i=1}^{13}x_{i}^{2}-\sum_{i=1}^{13}x_{i}\leq 156$

$\Leftrightarrow S^{2}-13S-2028\leq 0\Rightarrow S\leq 52$

Đẳng thức xảy ra khi $x_{1}=x_{2}=...=x_{13}=4$

Mỗi dòng có 4 ô tô đỏ .Ta có thể đễ dàng thực hiện được cách tô màu như vậy.Vậy $S_{max}=52$ 

 

 

không dễ đâu bạn ak...bạn có thể nêu cách điền dc k?

Áp dụng bđt sau $a^2+b^2+c^2+2abc+1 \geqslant 2(ab+bc+ac)$

               $\Rightarrow 2(a^2+b^2+c^2)+2abc+1 \geqslant (a+b+c)^2=9$

               $\Rightarrow a^2+b^2+c^2+abc \geqslant 4$

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=1$

bạn ơi ,,nhắc cho trót cách Cm Bđt đầu tiên đi

Tiếp theo nhé

1. a,b,c$\geq 0, a^{2}+b^{2}+c^{2}=3$

$C/m: ab^{2}+bc^{2}+ca^{2}\leq 2+abc$

2.a,b,c>0,a+b+c=3

C/m:$a^{2}+b^{2}+c^{2}+abc\geq 4$

3.$0\leq x,y\leq \frac{1}{2}. C/m: A=\frac{\sqrt{x}}{y+1}+\frac{\sqrt{y}}{x+1}\leq \frac{2\sqrt{2}}{3}$

Rõ ràng bất đẳng thức đã ch0 sai khi $b,c\rightarrow 0,a\rightarrow +\infty$

BĐT đúng phải là : Ch0 $a,b,c>0$. Chứng minh rằng

                             $\sqrt{\frac{2a}{a+b}}+\sqrt{\frac{2b}{b+c}}+\sqrt{\frac{2c}{c+a}}\leqslant 3$

Có thể tham khảo cách giải ở đây http://diendantoanho...2ccaleqslant-3/

sorry,,chép nhầm đề

tks bạn

Cho a,b,c>0 .Chứng minh:$\sqrt{\frac{2a}{b+c}}+\sqrt{\frac{2b}{c+a}}+\sqrt{\frac{2c}{a+b}}\leq 3$

Cho em hỏi bài này:  Dường tròn tâm O nội tiếp tam giác tiếp xúc AB tại D. Tính số đo góc C biết $AC\times BC = 2\times AD\times BD$

Bài 1:

Ta có : $x^{2}+y^{2}\geq x+y \Leftrightarrow 2x^{2} + 2y^{2}\geq 2x+2y$

$\Leftrightarrow 2x^{2}+2y^{2}-2x-2y+2\geq 2$

$\Leftrightarrow (x-1)^{2}+(y-1)^{2}+x^{2}+y^{2}\geq 2       (1)$

Do $(x-1)^{2}\geq 0,(y-1)^{2}\geq 0,X^{2}+y^{2}\geq 2xy\geq 2$ nên BĐT (1) đúng .

Vậy $x^{2} +y^{2}\geq x+y$

Bài 3:

P = $\frac{1}{x^{2}+y^{2}} + \frac{3}{4xy} = \frac{1}{x^{2}+y^{2}}+\frac{1}{2xy}+\frac{1}{4xy}$

Áp dụng BĐT $\frac{1}{x}+\frac{1}{y} \geq \frac{4}{x+y}$ Ta có:

P $\geq \frac{4}{(x+y)^{2}}+ \frac{1}{4xy}$

Lại có $x^{2} + y^{2} \geq 2xy\Rightarrow 4xy\leq (x+y)^{2} \Rightarrow \frac{1}{4xy}\geq \frac{1}{(x+y)^{2}}$

Do  đó $P\geq \frac{5}{(x+y)^{2}} = 5$

Đẳng thức xảy ra khi x=y=0.5

Tìm m để phương trình $\frac{m+1}{x-1} = m-1$ có nghiệm dương

Giải phương trình nghiệm nguyên : $x^{2} - xy + y^{2}$

Tứ giác lồi ABCD có I là giao điểm 2 đường chéo. Biết AB = 6 cm ; IA = 8cm ; IB = 4 cm ; ID =6 cm.Tính AD 

Help me!!!

Tìm số hạng thứ n của dãy

a) $\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{7},\frac{1}{25},....$

b) $\frac{1}{15},\frac{1}{48},\frac{1}{105},\frac{1}{192},....$

em xin gop 1 bai nhu sau:

Cho 1/x+1/y+1/z=0 tinh

yz/(x²+2yz)+xy/(z²+2xy)+xz/(y²+2xz)

Bài này dễ phết:
Gọi biểu thức là A
Do $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} \doteq 0$ $\Rightarrow \frac{xy + yz + zx}{xyz} \doteq 0 \Rightarrow xy + yz + zx = 0$
Do đó  $yz\doteq -(xy+zx) \Rightarrow x^{2} + 2yz = x^{2} + yz - xy - xz = (x - y)(x - z)$
$\Rightarrow A= \frac{yz}{(x-y)(x-z)}+\frac{zx}{(y-x)(y-z)}+\frac{xy}{(z-x)(z-y)} =\frac{yz(z-y)+zx(x-z)+xy(y-x)}{(x-y)(y-z)(z-x)}=$
Phân tích đa thức thành nhân tử được A=1

Các tiền bối giải em bài này:
Cho x,z,y là các số thực không âm thỏa mãn x+y+z=1
Chứng minh rằng: $x^{2}y + y^{2}z + z^{2}x \leq \frac{4}{27}$