Chủ đề này có 1 trả lời

[LukaTTK]

Cho x,y là các số nguyên dương thỏa mãn $x^{2} +x+1\vdots y;y^{2}+y+1\vdots x$

chứng minh

$x^{2}+x+y^{2}+y+1=5xy$

[hoangvipro1999]

Bài này chỉ cm được A=$x^{2}+x+y^{2}+y+1\vdots 5xy$

cm như sau:

$x^{2}+x+1\vdots y$

$y^{2}+y\vdots y$

$\Rightarrow$ A$\vdots y$

cmtt A$\vdots x$

$x,y\equiv \pm 1,2(mod 5)$

$\Rightarrow x^{2},y^{2}\equiv 1,4(mod 5)$

$\Rightarrow A\vdots 5$

ta cần cm (x,y)=1

thật vậy

gọi (x,y)=d

$\Rightarrow \left \{ x=x_{1}d \right.,y=y_{1}d$

$\Rightarrow x_{1}^{2}d^{2}+x_{1}d+1\vdots y_{1}d$

$\Rightarrow 1\vdots d \Rightarrow d=1$

vậy A$\vdots 5xy$