1) Cho a,b,c là các số thực dương  thỏa a + b+ c = 1. Tìm Min F = $14(a^2+b^2+c^2)+\frac{ab+ac+bc}{a^2b+b^2c+c^2a}$

2) Cho ba số a,b,c thỏa $ 0 \leq a,b,c \leq 2$ và $ a+b+c = 3$. CMR $a^3+b^3+c^3 \leq 9$

 Giúp dùm bài này nữa nha các bạn hiền!!!!!!!!

không mất tính tổng quát coi $0\leq a\leq b\leq c\leq 2$ mà a+b+c=3

  nên $1\leq c\leq 2$ =>$(c-1)(c-2)\leq 0 <=> c^{2}-3c+2\leq 0<=> 9c^{2}-27c+18\leq 0$

ta lại có $a^{3}+b^{3}+c^{3}\leq (a+b)^{3}+c^{3}=(3-c)^{3}+c^{3}=9c^{2}-27c+27=(9c^{2}-27c+18)+9\leq 9$

=> đpcm

dấu bằng xảy ra khi a=0,b=1,c=2 và các hoán vị  

Đặt  $\large A=\frac{x}{y}+\frac{y}{x}$

Ta có $\large \left | A \right |=$ $\large \left | \frac{x}{y}+\frac{y}{x} \right |\geq \left | \frac{x}{y} \right |+\left | \frac{y}{x} \right |$

 

Mà $\large \frac{x}{y};\frac{y}{x}$ cùng dấu nên  $\large \left | \frac{x}{y}+\frac{y}{x} \right |= \left | \frac{x}{y} \right |+\left | \frac{y}{x} \right |\geq 2$

 

Do đó $\large \begin{bmatrix} A\leq -2 & & \\ A\geq 2 & & \end{bmatrix}$ 

Khi đó BĐT đã cho tương đương với $\large A^{2}-3A+2\geq 0\Leftrightarrow \left ( a-1 \right )\left ( a-2 \right )\geq 0$   (Đúng do $\large A\geq 2$ hay $\large A\leq -2$)

 

Vậy Bđt đã cho đún

dòng 2 viết sai rồi. bất đẳng thức phải viết ngược chiều lại mới đúng

đặt $\frac{x}{y}+\frac{y}{x}=a$ => $\frac{x^{2}}{y^{2}}+\frac{y^{2}}{x^{2}}=a^{2}-2$

TH1 x và y cùng dấu => $\frac{x}{y}$ và $\frac{y}{x}$ dương.=>$\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\geq 2$ (cô si)

   hay a $geq 2$

TH2 x và y khác dấu=> $\frac{x}{y}$ và $\frac{y}{x}$  âm=> a<0<1

    suyra $(a-1)(a-2)\geq 0 <=> a^{2}-3a+2\geq 0<=>a^{2}-2+4\geq 3a$

hay $\frac{x^{2}}{y^{2}}+\frac{y^{2}}{x^{2}}+4\geq 3(\frac{x}{y}+\frac{y}{x})$  (đpcm)

    dấu bắng xảy ra khi x=y

chả thấy quái gì, chịu khó gõ latex đi bạn    

đế có thiếu đk của x, y, z không???  

Bài 5: mình có cách ngắn hơn

$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{x+y+z} => \frac{x+y}{xy}+\frac{1}{z}-\frac{1}{x+y+z}=0 =>\frac{x+y}{xy}+\frac{x+y}{z(x+y+z)}=0 =>(x+y).\frac{xy+yz+zx+z^{2}}{xyz(x+y+z)}=0 => \frac{(x+y)(y+z)(z+x)}{xyz(x+y+z)}=0$

 đến đây dễ rồi !!!!   

đề này không khó

Câu 1: Cho $\large \left ( a-1 \right )$ và $\large \left (1-b\right )$ thỏa mãn phương trình $\large x^{3}+2x-2013=0$. Tính $\large a+b$

Câu 2: 

1.      Giải phương trình: $\large \left ( x-2 \right )\left ( x^{2}+6x-11 \right )^{2}=\left ( 5x^{2}-10x+1 \right )^{2}$

2. Giải hệ phương trình: $\large \left\{\begin{matrix} \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=3 & & \\ \frac{2}{xy}-\frac{1}{z^{2}}=9 & & \end{matrix}\right.$

Câu 3: Cho x,y là các số tự nhiên khác 0. Tìm GTNN của biểu thức $\large A=\left | 36^{x}-5^{y} \right |$

Câu 4: Cho tam giác ABC cân tại C có CD là đường trung tuyến. Gọi $\large \left ( O_{1};R_{1} \right )$ là đường tròn đường kính AD và $\large \left ( O_{2};R_{2} \right )$ là đường tròn đi qua A và tiếp xúc vứi CD tại C. Gọi E là giáo thứ 2 của hai đường tròn.

 

1. CMR: Tứ giác BDCE nội tiếp

2. Gọi I là trung điểm của CD. CMR: A,E,I thẳng hàng. Tính góc BCE biết CD=2AD

3. Gọi H là giao của $\large O_{1}O_{2}$ với AE. CMR: $\large \frac{ID}{IH}=\frac{O_{1}O_{2}}{R_{1}+R_{2}}$ và từ đó suy ra E là trong tâm tam giác ACD khi và chỉ khi $\large O_{1}O_{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}\left ( R_{1}+R_{2} \right )$

Câu 5: Trong mặt phẳng, cho tập hợp P gồm hữu hạn điểm bất kì không cùng nằm trên một đường thẳng. Xét tất cả cáddueoengf thẳng đi qua hai điểm bất kì của P. CMR: Luôn có ít nhất một đường thẳng chỉ đi qua đúng hai điểm của P. 

 

 

Kiểu này thì tạch cmnr!

bài 3 và bài 4c rất dễ

Bài 3:

 

Dễ thấy A tận cùng bằng 1 hoặc 9

mà A NGUYÊN dương.

TH1: A=1 <=> $36^{x}>5^{y}$

$36^{x}$ chia hết cho 4 và $5^{y}$ chia 4 dư 1 nên A chia 4 dư 3   (mâu thuẫn)

 

TH2: A=9<=>$5^{y}>36^{x}$

$5^{y}$ không chia hết cho 3 và $36^{x}$ chia hết cho 3 => A không chia hết cho 3 (mâu thuẫn)

 

TH3 A =11. tồn tại x=1, y=2 thỏa mãn

  

Vậy min A=11<=> x=1, y=2

 

 

làm sao để vẽ được hình nhỉ. Bà con chỉ tôi với!!!! câu 4c dùng toán diện tích là ra. Dễ lắm

 

câu 2a có cách ngắn hơn không???

Nếu vậy thì bạn sai đề rồi, đề đúng là thế này

$x+3+\sqrt{1-x^{2}}=3\sqrt{x+1}+\sqrt{1-x}$

ủa??? Tớ lấy đề trên diễn đàn của Đặng Trần Quang mà

Nghiệm xấu quá bạn ơi!

http://touch.faceboo...100004360541136

đề thi vào chuyên đhqg hà nội đấy bạn ạ. Giải thế nào?

$x+3=\sqrt{1-x^{2}}+3\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}$

 

@@: Lần sau nhớ chú ý cách đặt tiêu đề bạn nhé

$\left\{\begin{matrix} x^{3}-2y^{3}=x+4y & & \\ 6x^{2}-19xy+15y^{2}=1& & \end{matrix}\right.$

đăth x=ky rồi đưa về pt bậc 2 ẩn k

lý thuyết đúng là vậy nhưng cậu thử làm ra xem. Mọt gông

thì cứ đổi biến đi rồi làm thôi

nói rõ đi bạn

Xét y = 0 ....

Chia hai vế của phương trình thứ hai cho $y^{2}\neq 0$

Ta được $5(\frac{x}{y})^{2}+15.\frac{x}{y}-31=0$

Đây là phương trình bậc hai ẩn $\frac{x}{y}$

pt đó có nghiệm vô tỉ mà. làm tiếp không được

$\left\{\begin{matrix}6x^{2}-19xy+15y^{2}=1 & & \\5x^{2}+15xy-31y^{2}=0 & & \end{matrix}\right.$

Bạn nói vậy là sai rồi vì $\sqrt{x}$ và $\sqrt{y}$ phải là số nguyên thì mới có $\sqrt{x} + \sqrt{y}=z+1$ nguyên

bạn nói thé là sai rồi ! Hai số vô tỉ cộng lại vẫn có thể là sồ nguyên . vd$\sqrt{5}+(-\sqrt{5})=0$

Chứng minh rằng tích 8 số tự nhiên liên tiếp không là số chính phương.

Giải phương trình nghiệm nguyên $x^{2}-y^{3}=7$

$x\sqrt{y^{2}+6}+y\sqrt{x^{2}+3}=7xy$

$y\sqrt{y^{2}+6}+x\sqrt{x^{2}+3}=x^{2}+y^{2}+2$

pt tương với

$\sqrt{x}+\sqrt{y}=\sqrt{x+y}+2$

Bình phương hai vế rồi rút gọn, ta được

$\sqrt{xy}=2(\sqrt{x+y}+1)$ $(2)$

Bình phương lần nữa, ta được

$xy=4(x+y+1+2\sqrt{x+y})$

$\Leftrightarrow xy-4x-4y-4=8\sqrt{x+y}$

Ta thấy $\sqrt{x+y}$ phải nguyên

Từ đó, xét $(2)$ thì $\sqrt{xy}$ chẵn

$\Rightarrow \sqrt{xy}=2z$ $(z\in \mathbb{N})$

Ta có hệ sau

$\left\{\begin{matrix} \sqrt{x}+\sqrt{y}=z+1\\ \sqrt{xy}=2z \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow$ $\sqrt{x}$ và $\sqrt{y}$ là hai nghiệm của pt

$A^2-(z+1)A+2z=0$ $(3)$

pt $(1)$ có nghiệm nguyên khi và chỉ khi pt $(3)$ có $\Delta \geq 0$ và $\Delta$ chính phương

Ta có $\Delta =z^2-6z+1$

Và $(z-5)^2\leq z^2-6z+1<(z-3)^2$

$*$ Khi $(z-5)^2=z^2-6z+1$ thì $z=6$

$*$ Khi $(z-4)^2=z^2-6z+1$ thì khi giải pt ta đc $z$ không nguyên.

Vậy pt $(1)$ có nghiệm $(9;16),(16;9)$

 

 

pt tương với

$\sqrt{x}+\sqrt{y}=\sqrt{x+y}+2$

Bình phương hai vế rồi rút gọn, ta được

$\sqrt{xy}=2(\sqrt{x+y}+1)$ $(2)$

Bình phương lần nữa, ta được

$xy=4(x+y+1+2\sqrt{x+y})$

$\Leftrightarrow xy-4x-4y-4=8\sqrt{x+y}$

Ta thấy $\sqrt{x+y}$ phải nguyên

Từ đó, xét $(2)$ thì $\sqrt{xy}$ chẵn

$\Rightarrow \sqrt{xy}=2z$ $(z\in \mathbb{N})$

Ta có hệ sau

$\left\{\begin{matrix} \sqrt{x}+\sqrt{y}=z+1\\ \sqrt{xy}=2z \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow$ $\sqrt{x}$ và $\sqrt{y}$ là hai nghiệm của pt

$A^2-(z+1)A+2z=0$ $(3)$

pt $(1)$ có nghiệm nguyên khi và chỉ khi pt $(3)$ có $\Delta \geq 0$ và $\Delta$ chính phương

Ta có $\Delta =z^2-6z+1$

Và $(z-5)^2\leq z^2-6z+1<(z-3)^2$

$*$ Khi $(z-5)^2=z^2-6z+1$ thì $z=6$

$*$ Khi $(z-4)^2=z^2-6z+1$ thì khi giải pt ta đc $z$ không nguyên.

Vậy pt $(1)$ có nghiệm $(9;16),(16;9)$

nếu nói denta chính phương túc là ngộ nhận $\sqrt{x}$ và $\sqrt{y}$ nguyên rồi kìa 

Bài 17: Giải phương trình: $\sqrt[3]{x+1}+\sqrt[3]{x-1}=\sqrt[3]{5x}$

sao lại kinh khủng nhỉ? rất đẹp mà

sao nói một mình ghê vậy bạn ???

lập phương 2 vế là xong

bài 1 đã sai ngay cau a và b rồi. Hoặc tôi vẽ hinh sai hoặc đề sai


Bài 2 thì dễ nhưng câu c đề sai rồi

a/ Dùng định lí py - ta - go chứng minh được gócAOB = 90. => GÓC ACB= 45 =>góc ANB = 45
gọi BN giao AC tại I và BC giao AM tại K. =>CIHK nội tiếp => góc AHI = góc ACB = 45
suyra $\Delta$ NAH vuông cân ở A hay góc MAN = 90 => đpcm

b/ ta có AC song song với BP vì cùng vuông góc với BN => góc ACP=góc BPC (1)
tư giác AHBP nội tiếp nên góc HPB = góc HAB ; GÓC HAB = góc BNM (ABMN nội tiếp);góc BNM= goc ACO( vì INCO nội tiếp) =>góc HPB=góc ACO(2)

TỪ (1) và (2)=>góc OCP = góc CPH, mà 2 góc này so le trong nên =>đpcm
c/ đề sai thì phải

Bài 15: Giải phương trình: $\frac{2x}{3x^{2}-5x+2}+\frac{13x}{3x^{2}+x+2}=6$.

 

Bài 16: Cho biểu thức $B=x^{5}-6x^{4}+12x^{3}-4x^{2}-13x+2014$.

            Không dùng máy tính, hãy tính giá trị của B khi $x=\sqrt{\frac{3-\sqrt{5}}{3+\sqrt{5}}}$. 

Bài 16 nè! 

 phân tích B=$(x-1)(x+1)(x-2)\left [(x-2)^{2}+1 \right ]+2004$

 

dễ dàng tính được $x=\frac{3-\sqrt{5}}{2}$ thay vào B TA TÍNH được B=2009

 

THấy hay thì like mạnh cái !!!!