Gọi S là phần mặt cầu $x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$ nằm trong mặt trụ $x^{2}+x+z^{2}=0$, $y\geq 0$. Hướng S hướng ra ngoài.

Tính $\iint_{S} (x-y)dxdy+ (9y-z)dydz + (z-x)dxdy$

khó quá để biết chỗ nào là sai 

Đề ra:

Tính tích phân sau:

I = $\int_{0}^{\infty }x^{10}e^{-x^{2}}dx$

Có hai cách giải được đưa ra:

 

Cách 1:

$x=\sqrt{t} \Leftrightarrow dx=\frac{1}{2\sqrt{t}}dt$

cho nên 

I = $\int_{0}^{\infty }t^{5}e^{-t}\frac{1}{2\sqrt{t}}dt = \frac{1}{2}\int_{0}^{\infty}t^{\frac{9}{2}}e^{-t}dt = \frac{1}{2}\Gamma (\frac{11}{2})=\frac{1}{2}\Gamma(5+\frac{1}{2})=\frac{9!!.\sqrt{\pi}}{2^{6}}$

 

Kết luận I = $\frac{9!!.\sqrt{\pi}}{2^{6}}$

 

Cách 2:

I = $\frac{1}{2}\int_{0}^{\infty}(x^{2})^{6-1}e^{-x^{2}}d(x^{2})=\frac{1}{2}\Gamma(6)=\frac{1}{2}.5!=\frac{5!}{2}$

 

Kết luận I = $\frac{5!}{2}$

 

Với 2 cách giải được đưa ra và hai kết quả khác nhau thì cách nào đúng và cách nào sai và sai ở đâu, sửa lại cho đúng.!

xét sự hội tụ của:

$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}(2^{\frac{1}{\sqrt{n}}}-1)$

cho hàm số f(x) có f''(x) liên tục trên lân cận x=1 chứng minh:
$\lim\frac{f(1+h)-2f(1)+f(1-h)}{h^{2}}=f''(1)$
đề thi giải tích K58 đại học bách khoa hà nội

Cho hệ

$\left\{\begin{matrix} x_{1}+x_{2}+x_{3}=1\\ 2x_{1}+x_{2}+3x_{3}=2\\ 3x_{1}+2x_{2}+4x_{3}=3a^{2}\\ \end{matrix}\right.$

tìm số chiều của không gian nghiệm và hệ nghiệm của phương trình.

xét sự hội tụ và phân kỳ của tích phân suy rộng sau:

 

$\int_{0}^{\infty }\frac{ln^{\alpha }\left ( 3+2x \right )}{2+x}dx$

 

$\int_{-\infty }^{-1}\frac{dx}{x\sqrt{2-3x}}$

 

thankyou!! 

$\left\{\begin{matrix} (x+\sqrt{x^{2}+4})(y+\sqrt{y^{2}+1})=1 & & \\ 27x^{6}=x^{3}-8y+2& & \end{matrix}\right.$

$\left\{\begin{matrix} (x+y)(xy+y+5)=-8 & & \\ x^{2}+y^{2}+ x(y+1)=3 & & \end{matrix}\right.$

 

$\left\{\begin{matrix} 3(x^{2}+y^{2})+\frac{1}{(x+y)^{2}}=2(10-xy) & & \\ 2x + \frac{1}{x-y}=5 & & \end{matrix}\right.$

$\left\{\begin{matrix} x^{2}y^{2}+1-xy^{2}+y=-4xy & & \\ x^{2}y-x=2y^{2} & & \end{matrix}\right.$

Mình xin góp một bài

$\left\{\begin{matrix} x^{3} + 2y^{2}=x^{2}y + 2xy& & \\ 2\sqrt{x^{2}-2y-1} + \sqrt[3]{y^{3}-14} = x-2 & & \end{matrix}\right.$

nhờ các bạn làm hộ!!

Bài 9: Giải hệ \[\left\{ \begin{array}{l}
{x^2} - 4xy + x + 2y = 0\\
{x^4} - 8{x^2}y + 3{x^2} + 4{y^2} = 0
\end{array} \right.\]
Thi HSG Hà Tĩnh 2010-2011
Bài 10: Giải hệ phương trình

\[\left\{ \begin{array}{l}
2{x^2} = y({x^2} + 1)\\
3{y^3} = z({y^4} + {y^2} + 1)\\
4{z^4} = x({z^6} + {z^4} + {z^2} + 1)
\end{array} \right.\]
Thi HSG Nghệ An 2006-2007

 

bài 10.

Chúng ta giải như sau

hệ đã cho tương đương với:

$\left\{\begin{matrix} \frac{2{x^2}}{x^2+1}=y & \\ \frac{3{y^3}}{y^4+y^2+1}=z& \\ \frac{4{z^4}}{z^6+z^4+z^2+1}=x & \end{matrix}\right.$

nhận thấy, theo bất đẳng thức côsi ta có:

$x^2+1\geq 2x$

$y^4+y^2+1\geq 3y$

$z^6+z^4+z^2+1\geq 4z$

từ đó ta có:

$\left\{\begin{matrix} x\geq y & \\ y\geq z & \\ z\geq x & \end{matrix}\right.$

suy ra x=y=z=1 là nghiệm.

dấu bằng không xảy ra khi a=b=c. khó thế!!

$\sqrt{a^{2}+bc}+\sqrt{b^{2}+ac}+\sqrt{c^{2}+ab}\leq \frac{3}{2}\left ( a+b+c \right )$

tìm min của:

$\sqrt{\frac{a^{3}}{{a^{3}}+\left ( {b+c} \right )^{3}}} + \sqrt{\frac{b^{3}}{{b^{3}}+\left ( {a+c} \right )^{3}}} + \sqrt{\frac{c^{3}}{{c^{3}}+\left ( {b+a} \right )^{3}}}$

$\sqrt{a^{2}+2bc}+\sqrt{b^{2}+2ac}+\sqrt{c^{2}+2ab} \leq \frac{3}{2}\left ( a+b+c \right )$