Chéo hóa ma trận A đã cho rồi tìm $A^{n}$
Tìm trị riêng: $\left | A-\lambda I \right |=\begin{vmatrix}
1-\lambda & -1 \\
2& 4-\lambda
\end{vmatrix}=(\lambda-2)(\lambda-3)=0$
Suy ra: $\lambda=2 hoặc \lambda=3$
Các vector cơ sở: $\begin{bmatrix}
1 &-1
\end{bmatrix}$ và $\begin{bmatrix}
1 &-2
\end{bmatrix}$
Ma trận P làm chéo hóa: $P=\begin{bmatrix}
1 & 1 \\
-1 & -2
\end{bmatrix}$
$P^{-1}=\begin{bmatrix}
2 & 1 \\
-1 & -1
\end{bmatrix}$
Chéo hóa: $P^{-1}AP=\begin{bmatrix}
2 & 1 \\
-1 & -1
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
1 & -1 \\
2 & 4
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
1 & 1 \\
-1 & -2
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
2 & 0 \\
0 & 3
\end{bmatrix}$
$(P^{-1}AP)^{n}=P^{-1}A^{n}P=\begin{bmatrix}
2^{n} & 0 \\
0 & 3^{n}
\end{bmatrix}$
$=> A^{n}=P\begin{bmatrix}
2^{n} & 0 \\
0 & 3^{n}
\end{bmatrix}P^{-1}=\begin{bmatrix}
2^{n+1}-3^{n} & 2^{n}-3^{n} \\
-2(2^{n}-3^{n}) & -2^{n}+2.3^{n}
\end{bmatrix}$