Đáng nhẽ đề phải cho $a+b=c+d$ chứ !

Dạng tổng quát là như thế này nhé :

$$A=(x+a)(x+b)(x+c)(x+d)+m=[x^2+(a+b)x+ab][x^2+(c+d)x+cd]+m=[x^2+(a+b)x+ab][x^2+(a+b)x+cd]+m$$

Đặt $$t=x^2+(a+b)x+\frac{ab+cd}{2},\alpha =\frac{ab-cd}{2}$$

Ta có : $$A=(t-\alpha)(t+\alpha)+m=t^2-\alpha^2+m \geq m-a^2$$

$$A=m-a^2\Leftrightarrow t=0\Leftrightarrow x^2+(a+b)x+\frac{ab+cd}{2}=0\Leftrightarrow (x+\frac{a+b}{2})^2=\frac{(a-b)^2+(c-d)^2}{8}\Leftrightarrow x=-\frac{a+b}{2}\underline{+}\frac{\sqrt{2[(a-b)^2+(c-d)^2]}}{4}$$

Vậy $$Min A=m- \frac{(ab-cd)^2}{4}$$

khi $$x=-\frac{a+b}{2}\underline{+}\frac{\sqrt{2[(a-b)^2+(c-d)^2]}}{4}$$

Cái này là bạn làm với hằng số $a; b; c; d$ chứ đâu phải hằng số $x$ đâu

Mình có bài này mong các bạn giải giùm:

Cho $a; b; c; d\epsilon \mathbb{R}$ và hằng số x thỏa mãn $a+b=c+d$

Tìm min

$(x+a)(x+b)(x+c)(x+d)$

Mình đang học lớp 8 nhé.

Thanks

Lời giải. Ta có $A= \left( \frac xy +\frac yx \right)+ 2+ \frac 1y + \frac 1x+x+y \ge 4+ \frac 1y + \frac 1x+ x+y$.

Áp dụng BĐT AM-GM thì $\frac{1}{2x} + x \ge \sqrt 2, \frac{1}{2y} + y \ge \sqrt 2, \frac{1}{2x}+ \dfrac{1}{2y} \ge \frac{4}{x+y} \ge \frac{2}{\sqrt{2(x^2+y^2)}}= 2 \sqrt 2$.

Do đó $A \ge 4+3 \sqrt 2$.

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $x=y= \frac{1}{ \sqrt 2}$.

Bạn làm gì ở dòng 2 mình ko hiểu

Mình có bài này mong các bạn giải giùm:

Cho $x;y> 0$ và $x^{2}+y^{2}=1$. Tìm min của:

$(1+x)(1+\frac{1}{y})+(1+y)(1+\frac{1}{x})$

Mình đang học lớp 8 nhé.

Thanks.

chắc là bổ sung rồi xài cauchy điểm rơi bạn ạ

Cauchy điẻm rơi: http://toantanchau.n....php?topic=32.0

có lẽ vậy, nếu sai thì kêu mìh chứ mình lười suy nghĩ quá 

Mình đọc topic này mãi rồi bạn ạ.

Mình có bài này mong các bạn giải giùm:

Cho x; y; z; t dương. Tìm min:

$\frac{x-1}{t+y}+\frac{1-x}{y+z}+\frac{y-z}{z+x}+\frac{z-x}{x+t}$

Mình đang học lớp 8.

Thanks.

ko bít có cách nào gặp dạng toán này có thể  giải được luôn ko nhỉ (ý mình là xét hiệu hay 1 cách nào khác )

Có một cách là sử dụng phương pháp tìm miền giá trị của hàm số như bạn phamquanglam đã làm, tuy vậy nêu bạn chưa học đến lớp 9 thi chỉ có cách làm ra giấy nháp để tìm ra đáp số trước, sau đó đơn giản hoá cách làm bằng cách xét hiệu hoặc tách tử số. Bạn Viet Hoang 99 đã làm cách xét hiệu, bạn cũng có thể tách tử số của $A$ thành:

$\frac{2}{3}x^2+\frac{8}{3}x+\frac{8}{3}+\frac{1}{3}x^2-\frac{2}{3}+\frac{1}{3}= \frac{2}{3}(x+2)^2+\frac{1}{3}(x-1)^2$.

Thay vào $A$ ta được $A=\frac{2}{3}+\frac{1}{3}.\frac{(x-1)^2}{(x+2)^2}$ cũng tìm ra $minA=\frac{2}{3}$.

Đẳng thúc xảy ra khi và chỉ khi $x=1$ 

Mình có bài này mong các bạn giải giùm:

Bài 1: Tìm max: $\frac{3x^{2}+6x+10}{x^{2}+2x+6}$

Bài 2:Tìm min:a, $\frac{x^{2}-3x+3}{x^{2}-2x+1}$

                      b,$\frac{2x+1}{x^{2}}$

                      c,$\frac{4x^{2}-2x+1}{x^{2}}$

Thanks a lot. Mình đang học lớp 8.

@@:Chú ý cách đặt tiêu đề

Mình có bài này mong các bạn giải giùm:

Bài 1: Tìm max và min: $\frac{x}{x^{2}+1}$

Bài 2:Tìm max và min:$\frac{2x^{2}+4x+5}{x^{2}+1}$

Bài 3: Tìm max và min:$\frac{x^{2}-2x+2}{x^{2}+2x+2}$

Bài 4: Tìm max và min:$\frac{x^{2}+2x+2}{x^{2}+1}$

Mình đang học lớp 8. Thanks

Mình có bài này mong các bạn giải giùm:

Tìm max và min: $\frac{x^{2}-x+1}{x^{2}+x+1}$

Mình đang học lớp 8. Thanks

Mình có bài này mong các bạn giải giùm:

Cho các số thực a; b; c thỏa mãn:

$15(\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}})=10(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca})+2007$

Tìm max:

$P = \frac{1}{\sqrt{5a^{2}+2ab+2b^{2}}}+\frac{1}{\sqrt{5b^{2}+2bc+2c^{2}}}+\frac{1}{\sqrt{5c^{2}+2ca+2a^{2}}}$

Mình đang học lớp 8.

Thanks.

làm gì có cái tổng sigma nào mà kêu khó hiểu

 

xin lỗi, mình post bài nhầm box.

Thằng nào cũng lười! Há há! Spam tí ạ! 

Ý gì vậy bạn ?

$\frac{1}{\sqrt{5a^2+2ab+2b^2}}=\frac{1}{\sqrt{(2a+b)^2+(a-b)^2}}\leq \frac{1}{2a+b}\leq \frac{1}{9}(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{b})$

Thiết lập các BĐT tương tự rồi cộng lại ta thu được 

$P\leq \frac{1}{3}(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})$ (1)

Khai thác giả thiết:

Từ gt suy ra $15(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})^2=40(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca})+2007\leq \frac{40}{3}(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})^2+2007$

$\Rightarrow \frac{5}{3}(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})^2\leq 2007$

$\Rightarrow (\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})^2\leq \frac{6081}{5}$ (2)

Từ (1) và (2) ta tìm đc GTLN của $P$. Phiền bạn tính toán hộ nhé . Mình lười quá

Mình không hiểu dòng 5 bạn dùng BĐT gì ??

$\frac{1}{\sqrt{5a^2+2ab+2b^2}}=\frac{1}{\sqrt{(2a+b)^2+(a-b)^2}}\leq \frac{1}{2a+b}\leq \frac{1}{9}(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{b})$

Thiết lập các BĐT tương tự rồi cộng lại ta thu được 

$P\leq \frac{1}{3}(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})$ (1)

Khai thác giả thiết:

Từ gt suy ra $15(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})^2=40(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca})+2007\leq \frac{40}{3}(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})^2+2007$

$\Rightarrow \frac{5}{3}(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})^2\leq 2007$

$\Rightarrow (\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})^2\leq \frac{6081}{5}$ (2)

Từ (1) và (2) ta tìm đc GTLN của $P$. Phiền bạn tính toán hộ nhé . Mình lười quá

Mình đang học lớp 8 mà các bạn cứ dùng kí hiệu sigma, khó hiểu quá    

Bài này trong TH-TT số 7-2013 hay sao ế? 

Nói chung là trong số từ 5-->7 THTT 2013

Chỉ sử dụng AM- Gm đánh giá mẫu của mỗi phân thức của P 

Điều kiệu cũng sử dụng AM- Gm đánh giá thôI! 

Nói chung là khó việc sử dụng AM-GM thôi!  ---> Kiến thức lớp 8

không hiểu

Các bạn giải hộ mình bài này với

Cảm ơn nhiều.

Mình có bài này mong các bạn giải giùm:

Cho x$\geq- \frac{1}{2}$. Tìm max của biểu thức:

$f(x)=\sqrt{2x^{2}+5x+2}+2\sqrt{x+3}-2x$

Mình đang học lớp 8 nhé.

Thanks

1,Cho $x,y,z$ thỏa mãn $\left\{\begin{matrix} x+y+z=3 & \\ 0\leq x;y;z\leq 2 & \end{matrix}\right.$

Tìm max của $A=x^{2}+y^{2}+z^{2}$

 

Đặt $x=a+1; y= b+1; z=c+1$

$\Rightarrow a+b+c=0; a; b; c\epsilon [-1; 1]$

Khi đó $A=a^2+b^2+c^2+3$

Mà $a+b+c=0\Rightarrow a^2+b^2+c^2= -2(ab+bc+ac)$

Mặt khác $\prod (1-a)(1+b)\geq 0\Rightarrow -(ab+bc+ca)\geq 1$

Vậy $A\geq 2.1+3=5$

Cho các số $x; y; z$ thỏa mãn đẳng thức $x^2+2z^2+2x^2y^2+y^2z^2+3x^2y^2z^2=0$

Tìm $min$ $xyz$.

Cho các số $x; y; z$ thỏa mãn đẳng thức $x^2+2z^2+2x^2y^2+y^2z^2+3x^2y^2z^2=0$

Tìm $min$ $xyz$.

 $GT\Leftrightarrow (x^2+2xyz+y^2z^2)+2(z^2+2xyz+x^2y^2)+3(x^2y^2z^2-2xyz+1)= 9\Leftrightarrow (x+yz)^2+2(xy+z)^2+3(xyz-1)^2=12\Leftrightarrow 3(xyz-1)^2\leq 12\Leftrightarrow -2\leq xyz-1\leq 2\Rightarrow xyz\geq -1$. .

Giả sử $x; y; z$ là các số thực dương thỏa mãn $xy^2z^2+x^2z+y=3z^2$

Tìm max $P= \frac{z^4}{1+z^4(x^4+y^4)}$

Giả sử $x; y; z$ là các số thực dương thỏa mãn $xy^2z^2+x^2z+y=3z^2$

Tìm max $P= \frac{z^4}{1+z^4(x^4+y^4)}$

Chia cả hai vế của $GT$ cho $z^2$ rồi đặt $t=\frac{1}{z}$

Bài toán trở thành:

Tìm max $P=\frac{1}{x^4+y^4+t^4}$ với $xy^2+x^2t+yt^2=3$.

Áp dụng $BĐT$ $AM-GM$ cho $4$ số:

$(x^4+y^4+y^4+1)+(x^4+x^4+t^4+1)+(t^4+t^4+y^4+1)\geq 4t^2y+4x^2t+4t^2y= 12$

$\Rightarrow x^4+y^4+t^4\geq 3\Rightarrow P\leq \frac{1}{3}$

Vậy $max P=3$ đạt được khi và chỉ khi $x=y=z=1$

M=x^4/(x^2+1)^2 <= x^4/(2x)^2 = x^2/4

=> MaxM=x^2/4 ( Dấu "=" xảy ra khi x^2 = 1 ; (x-1)^2=0 => x=1 )

=> MaxM = 1/4 ( Dấu "=" xảy ra khi x=1 )

Sai bản chất.

Mình có bài này mong các bạn giải giùm:

Cho $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=2$. Tìm max

$\frac{1}{a^{2}+b^{2}+2ab^{2}}+\frac{1}{a^{2}+b^{2}+2ba^{2}}$

Mình đang học lớp 8 nhé

Thanks