ĐK $-\sqrt[3]{2} \leq x \leq \sqrt[3]{2}$

TH1: Nếu $x \in \left [ -\sqrt[3]{2};0 \right ]$

Dễ thấy $\sqrt[3]{x^2-2}\leqslant \sqrt[3]{(-\sqrt[3]{2})^2-2}<0<\sqrt{2-x^3}$

Vậy phương trình đã ch0 vô nghiệm tr0ng khoảng này

TH2: Nếu $x \in \left (0;\sqrt[3]{2} \right ]$

Xét $f(x)=\sqrt[3]{x^2-2}-\sqrt{2-x^3}$

  $\Rightarrow f'(x)=\frac{2x}{3\sqrt[3]{(x^2-2)^2}}+\frac{3x^2}{2\sqrt{2-x^3}}> 0$

 $\Rightarrow f(x)$ đồng biến trên khoảng này

Dễ thấy $f(1)=0$

Vậy phương trình đã ch0 c0s nghiệm duy nhất $x=1$

Nhầm rùi bạn pt này không có nghiệm x=1

ĐK $-\sqrt[3]{2} \leq x \leq \sqrt[3]{2}$

TH1: Nếu $x \in \left [ -\sqrt[3]{2};0 \right ]$

Dễ thấy $\sqrt[3]{x^2-2}\leqslant \sqrt[3]{(-\sqrt[3]{2})^2-2}<0<\sqrt{2-x^3}$

Vậy phương trình đã ch0 vô nghiệm tr0ng khoảng này

TH2: Nếu $x \in \left (0;\sqrt[3]{2} \right ]$

Xét $f(x)=\sqrt[3]{x^2-2}-\sqrt{2-x^3}$

  $\Rightarrow f'(x)=\frac{2x}{3\sqrt[3]{(x^2-2)^2}}+\frac{3x^2}{2\sqrt{2-x^3}}> 0$

 $\Rightarrow f(x)$ đồng biến trên khoảng này

Dễ thấy $f(1)=0$

Vậy phương trình đã ch0 c0s nghiệm duy nhất $x=1$

Bạn bị sai ĐK rùi!!!

 

Giải

ĐK: $- \sqrt[3]{2} \leq x \leq \sqrt[3]{2}$

Do $\left [- \sqrt[3]{2}; \sqrt[3]{2}\right ] \subset \left [- \sqrt{2}; \sqrt{2}\right ]$

Vì vậy: $x^2 - 2 < 0 \Rightarrow \sqrt[3]{x^2 - 2} < 0 < \sqrt{2 - x^3}$

Phương trình đã cho vô nghiệm.

 

Bạn bị nhầm rùi, ĐK: $2-x^{3}\geqslant 0\Leftrightarrow x^{3}\leqslant 2\Leftrightarrow x\leqslant \sqrt[3]{2}$ (ở đây x mũ lẻ chứ đâu phải mũ chẵn đâu)

Đặt $a=\sqrt{10-3x}=> a^{2}=10x-3$

pt thành:  $3\sqrt{4-3a}=-(a^{2}-4)(-2\leq a\leq 2)$

Bình phương 2 vế rồi thu gọn:

$(a-1)(a+4)(a^{2}+3a+5)=0$

$<=> a=1<=>x=3$

Bạn làm bài nào vậy???

mình giải thế này, không biết sai gì nữa

Đặt t=$\sqrt{x^{2}+2x-8}$

pt trở thành: $\sqrt{2t^{2}-7}-t=1$ $\Leftrightarrow \sqrt{2t^{2}-7}=t+1$

$\Rightarrow 2t^{2}-7=t^{2}+2t+1$$\Rightarrow t=4$

Sai ở chỗ màu đỏ đó bạn diamond0803

Nhẩm thấy $x=\frac{-1}{2}$ là nghiệm

Nhân liên hợp: $PT\Leftrightarrow 2x+1+x(\sqrt{x^{2}+2}-\sqrt{x^{2}+2x+3})+(2x+1)\sqrt{x^{2}+2x+3}=0\Leftrightarrow 2x+1-\frac{x(2x+1)}{\sqrt{x^{2}+2}+\sqrt{x^{2}+2x+3}}+(2x+1)\sqrt{x^{2}+2x+3}=0\Leftrightarrow (2x+1)(1-\frac{x}{\sqrt{x^{2}+2}+\sqrt{x^{2}+2x+3}}+\sqrt{x^{2}+2x+3})=0$
Đến đây là ok

Phương trình đã cho tương đương với:

$x+x\sqrt{x^{2}+2}=-(x+1)-(x+1)\sqrt{[-(x+1)^{2}]+2}$

Xét hàm số $f(t)=t+t\sqrt{t^{2}+2}\Rightarrow f'(t)=1+\sqrt{t^{2}+2}+\frac{t^{2}}{\sqrt{t^{2}+2}}>0,\forall t\epsilon R$

$\Rightarrow x=-(x+1)\Leftrightarrow x=-\frac{1}{2}$

Nhẩm thấy $x=\frac{-1}{2}$ là nghiệm

Nhân liên hợp: $PT\Leftrightarrow 2x+1+x(\sqrt{x^{2}+2}-\sqrt{x^{2}+2x+3})+(2x+1)\sqrt{x^{2}+2x+3}=0\Leftrightarrow 2x+1-\frac{x(2x+1)}{\sqrt{x^{2}+2}+\sqrt{x^{2}+2x+3}}+(2x+1)\sqrt{x^{2}+2x+3}=0\Leftrightarrow (2x+1)(1-\frac{x}{\sqrt{x^{2}+2}+\sqrt{x^{2}+2x+3}}+\sqrt{x^{2}+2x+3})=0$
Đến đây là ok

Còn phần sau làm sao hả bạn??? $(1-\frac{x}{\sqrt{x^{2}+2}+\sqrt{x^{2}+2x+3}}+\sqrt{x^{2}+2x+3})=0$

ĐK: $\left\{\begin{matrix}2-x^2\geq0\\2-\frac{1}{x^2}\geq0\\4-( x+\frac{1}{x})<2\sqrt{2}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow x\:\epsilon \: [\frac{1}{\sqrt{2}};\sqrt{2}]$

Đặt $t=x+\frac{1}{x}\geq 2$

$4-t=\sqrt{2-x^2}+\sqrt{2-\frac{1}{x^2}}\leq \sqrt{2(4-(x^2+\frac{1}{x^2})}=\sqrt{2(6-t^2)}\Leftrightarrow \frac{2}{3}\leq t\leq 2\Leftrightarrow t=2\Leftrightarrow x=1$

Còn trong đoạn $x\epsilon \left [ -\sqrt{2};-\frac{1}{\sqrt{2}} \right ]$ thì sao hả bạn

Làm sao mình có đk $4-(x+\frac{1}{x})<2\sqrt{2}$ vậy bạn???

ĐK: $[\begin{matrix} \frac{1}{\sqrt{2}}\leqslant x\leqslant \sqrt{2}\\ -\sqrt{2}\leqslant x\leqslant -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{matrix}$

Đặt $t=x+\frac{1}{x}$

Phương trình trở thành $4-(t^{2}-2)+2\sqrt{5-2(t^{2}-2)}=(4-t)^{2}; (t\leqslant 4)$

$\Leftrightarrow t^{4}-8t^{3}+28t^{2}-40t+16=0$

$\Leftrightarrow (t-2)(t^{3}-6t^{2}+16t-8)=0$

Đến đây các bạn giải tiếp giúp mình nhá, cái máy tính casio của mình bị mất tiêu rùi!

Lời giải. Điều kiện $\frac{3x+1}{x-1} \ge 0, \frac{y+1}{2y-1} \ge 0$.

Đặt $\sqrt{ \frac{3x+1}{x-1}}=a, \;\sqrt{ \frac{y+1}{2y-1}}=b, \; (a,b \ge 0)$. Khi đó $\frac{1}{x-1}= \frac{a^2-3}{4}$ và $\frac{1}{2y-1}= \frac{2b^2-1}{3}$.

Ta có hệ mới $\begin{cases} a+b=3 \\ 12a^2+32b^2=83 \end{cases}$. Hệ này thì thế vào rồi giải thôi. 

Làm sao minh có điều này vậy bạn $\frac{1}{x-1}= \frac{a^2-3}{4}$ và $\frac{1}{2y-1}= \frac{2b^2-1}{3}$ ?

Bạn  giải thích giúp mình với!!!

Từ pt(2) => x,y bình đẳng =>f(x)=f(y)

Thay vào pt (1) => x=y=3 và x=y=1

x,y bình đẳng là gì vậy bạn???

x=y=3 không thoả mãn pt 2.

sao lại ko ổn bạn bạn có thể nói kĩ hơn đc ko ?

Đề bài cho pt đầu của hệ là $2x^{2}+x-\frac{1}{y}=2$

sau đó bạn biến đổi tương đương thành $x(x+2)-\frac{1}{y}=2$

Có phải không ổn không bạn???

$ \left\{\begin{matrix} x(x+2) - \frac{1}{y} = 2 & \\ -y^2(x+2) + y = -2& \end{matrix}\right.$
Xét thấy x=0 và y= 0 không là nghiệm của hệ nên ta nhân pt (1) cho $y^2$ và pt(2) cho x, ta được:

Hệ $ \left\{\begin{matrix} xy^2(x+2) - y = 2y^2 & \\ -y^2x(x+2) + xy = -2x& \end{matrix}\right.$

Cộng 2 pt cho nhau ta được:

$ xy-y = 2y^2-2x$

$ (x-y)(y+2)=0$
.....
$ S = {(1;1) ; (-1;-1)} $

Hình như có chỗ này không ổn $ \left\{\begin{matrix} x(x+2) - \frac{1}{y} = 2 & \\ -y^2(x+2) + y = -2& \end{matrix}\right.$

Đặt $2y=a,x^2y=b$ ta có hệ mới là :$(2-a)(b+1)=-2$và $2b-a^2-2a-\frac{1}{b^2}=-7$.Đến đây rút ẩn rồi thay vào là xong

Làm tiếp đi bạn!!!

Giải hệ phương trình:

1) $\left\{\begin{matrix} xy+x-7y=-1\\x^2y^2+xy-13y^2=-1 \end{matrix}\right.$

2) $\left\{\begin{matrix} x^2+y^2+xy+1=4y\\y(x+y)^2=2x^2+7y+2 \end{matrix}\right.$

Bài 1: 

Nhận thấy y=0 không phải là nghiệm của hệ.

Hệ tương đương với:

$\left\{\begin{matrix} x+\frac{1}{y}+\frac{x}{y}=7\\ x^{2}+\frac{1}{y^{2}}+\frac{x}{y}=13 \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow (7-\frac{x}{y})^{2}-\frac{x}{y}-13=0$

$\Leftrightarrow [\begin{matrix} \frac{x}{y}=3\\ \frac{x}{y}=12 \end{matrix} \Leftrightarrow [\begin{matrix} 3y^{2}-4y+1=0\\ 12y^{2}+5y+1=0(VN) \end{matrix} \Leftrightarrow [\begin{matrix} y=1\\ y=\frac{1}{3} \end{matrix}$

Vậy hệ có 2 nghiệm $(3;1),(1;\frac{1}{3})$

Ta có
$$
x^2+2xy+2y^2+3x+2(xy+y^2+3y+1)=0\iff (x+2 y+1) (x+2 y+2) = 0.
$$

Các bài khác tương tự.

Làm sao mà bạn phân tích đơn giản được như vậy???

Cho minh xin phuong phap voi!!!

$\left\{\begin{matrix} x^{5}-5x=y^{5}-5y(1)\\x^{8}+y^{4}=1(2) \end{matrix}\right.$

Từ (2) ta có $\left\{\begin{matrix} -1\leqslant x\leqslant 1\\ -1\leqslant y\leqslant 1 \end{matrix}\right.$

Từ (1) ta đặt $f(t)=t^{5}-5t,\left | t \right |\leqslant 1$

$\Rightarrow f'(t)=5(t^{4}-1)\leqslant 0$

$\Rightarrow x=y$

từ (2) suy ra $x^{8}+x^{4}-1=0$

Đặt $a=x^{4},1\geqslant a\geqslant 0$ ta có $a^{2}+a-1=0\Leftrightarrow a=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$

Vậy hệ có 2 nghiệm $(\sqrt[4]{\frac{\sqrt{5}-1}{2}};\sqrt[4]{\frac{\sqrt{5}-1}{2}})$ và $(-\sqrt[4]{\frac{\sqrt{5}-1}{2}};-\sqrt[4]{\frac{\sqrt{5}-1}{2}})$

còn $x^{2}-xy+2y^{2}=0$ thì sao bạn?

Giải hệ phương trình:

$\left\{\begin{matrix} x^{3}+2y^{2}-4y +3=0& \\ x^{2}+x^{2}y^{2}-2y=0& \end{matrix}\right.$

Hệ đã cho tương đương với

$\left\{\begin{matrix} 2y^{2}-4y+3+x^{3}=0(1)\\ x^{2}=\frac{2y}{1+y^{2}}(2) \end{matrix}\right.$

$(2)\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} y\geqslant 0\\ -1\leqslant x\leqslant 1 \end{matrix}\right.$

(1) ta có $\Delta '=4-2(3+x^{3})\geqslant 0$

$\Leftrightarrow x\leqslant -1$

thay x=-1 vào hệ ban đầu ta thu được y=1

Vậy hệ có nghiệm duy nhất (-1;1)

mình thử làm câu 2, nhờ mọi người xét giùm

$\left\{\begin{matrix} x^{2} -2xy-6y=4& & \\ 5y^{2}-2xy=5=0& & \end{matrix}\right.$

 

 lấy (1) trừ (2) ta có:

$x^{2}=5y^{2}+6y+1$

 

thay vào (1) có:      5y^{2}-2xy=3

=> Hệ vô nghiệm

Bạn xem lại đề bài đi, hình như bị nhầm ở chỗ hệ số tự do rùi đó!

Sai mà sao vẫn có người like nhỉ? Bài này đặt $\frac{x}{2}=\tan {\alpha}$

Sai ở chỗ nào vậy bạn??????????????????

$4-x^{2}\leq 4$

Tương tự thế rồi nhân các vế với nhau

Dễ thôi mà

Chưa chắc đâu bạn, giả sử $x=\sqrt{2};y=\sqrt{8};z=\sqrt{68}$ vẫn thoả mãn mà!!!

Hệ pt đã cho tương đương với:

$\left\{\begin{matrix} x=\frac{8y}{4-y^{2}}\\ y=\frac{8z}{4-z^{2}}\\ z=\frac{8x}{4-x^{2}} \end{matrix}\right.$ (Vì x=y=z=2 không phải là nghiệm của hệ)

Xét hàm số $f(t)=t;g(t)=\frac{8t}{4-t^{2}}$

$\Rightarrow f'(t)=1>0;g'(t)=\frac{8y^{2}+32}{(4-t^{2})^{2}}>0\forall t$

$... \Rightarrow x=y=z$

Từ đây ta có $x=\frac{8x}{4-x^{2}}\Leftrightarrow x=0$

Vầy hệ có nghiệm duy nhất x=y=z=0

Hàm số bạn xét không phải hàm liên tục trên $\mathbb{R}$ nên không thể kết luận x=y=z được,bài này mình giải ra rồi,dùng lượng giác hóa như Jupiter_1996 nói,hệ còn có nghiệm khác nữa... 

Bạn giải chi tiết di, coi xem nào!!!!