Giải hệ phương trình:

9/ $\begin{cases} & \text{ } (x-y)(x^{2}+xy+y^{2}+3)=3(x^{2}+y^{2})+2 \\ & \text{ } 4\sqrt{x+2}+\sqrt{16-3y}=x^{2}+8 \end{cases}$

ĐK:

$pt 1 \Leftrightarrow (x-1)^3=(y+1)^3 \rightarrow x-y=2$

Thay vào pt 2:

$4\sqrt{x+2}+\sqrt{16-3y}=x^{2}+8$

Giải hệ phương trình:

1/ $\begin{cases} & \text{ } 12\frac{y}{x}=3+x-2\sqrt{4y-x} \\ & \text{ } \sqrt{y+3}+y=x^{2}-x-3\end{cases}$

Đặt $x-\sqrt{4y-x}=t \Rightarrow t^2=x^2+4y-x-2x\sqrt{4y-x}$

Thay vào PT1 ta được:

$12y=3x+t^2-(4y-x)$

$\Leftrightarrow t^2=(2\sqrt{4y-x})^2$

$\Leftrightarrow \begin{bmatrix}t=-2\sqrt{4y-x} & \\ t=2\sqrt{4y-x} & \end{bmatrix}$

$\Leftrightarrow \begin{bmatrix}x-\sqrt{4y-x}=-2\sqrt{4y-x} & \\ x-\sqrt{4y-x}=2\sqrt{4y-x} & \end{bmatrix}$(*)

Mặt khác từ PT 2:

$\sqrt{y+3}+y+3=x^2-x \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow \begin{bmatrix}x=-\sqrt{y+3}& \\ x=\sqrt{y+3}+1 & \end{bmatrix}$ (**)

Kết hợp (*), (**) thì ta sẽ phải giải 4 HPT đơn giản hơn. 

(Bạn tự đánh giá điều kiện xem có bỏ dc hệ nào không nhé! )

HPT có nghiệm $(x;y)\in (3;1); (\dfrac{1-\sqrt{145}}{6};\dfrac{19-\sqrt{145}}{18})$

Giải hệ phương trình:

5/ $\begin{cases} & \text{ } x^{3}+2y^{2}=x^{2}y+2xy \\ & \text{ } 2\sqrt{x^{2}-2y-1}+\sqrt[3]{y{3}-14}=x-2 \end{cases}$

ĐK:..

$PT (1) \Leftrightarrow (x-y)(x^2-2y)=0 \rightarrow x=y$ (loại trường hợp $x^2=2y$ do điều kiện xác định)

Thay $y=x$ vào PT 2 Ta đc:

$2\sqrt{x^2-2x-1}+\sqrt[3]{x^3-14}=x-2$

$\Leftrightarrow 2\sqrt{x^2-2x-1}+\dfrac{6(x^2-2x-1)}{..}=0$

$\rightarrow x=1\pm \sqrt{2}$

Dùng Cardano giải pt bậc 3 ẩn b.

Spoiler

Trở lại thời lớp 9 tí   

$\boxed{ Bài 39}$

    Cho tam giác $ABC$ với $AD,AM$ lần lượt là đường phân giác ,đường trung tuyến .Đường tròn ngoại tiếp tam giác $ADM$ cắt cạnh $AB,AC$ tại $U,V$ .Gọi $T$ là trung điểm $UV$ .Chứng minh rằng $MT$ song song với $AD$

Chơi ké nữa.

+ Nếu tam giác ABC cân tại A thì $MT\equiv AD$

+ Xét trường hợp tam giác ABC không cân tại A.

Ta có: $\dfrac{BU}{BM}=\dfrac{BD}{BA}=\dfrac{CD}{AC}=\dfrac{CV}{CM} \rightarrow BU=CV$

Lấy $U', B'$ đối xứng $U,B$ qua $AD; UU' \cap AD=E; BB' \cap AD=F$ 

Từ đó dễ chứng minh được tứ giác $ETMD$ là hình bình hành $\Rightarrow MT||AD$

Nghiệm lẻ. Nghi vấn sai đề.

 

$208)$ Tìm miền giá trị của các hàm số sau. Từ đó chỉ ra $min;max$

• $1)$ $y=\frac{x^2-1}{x^2+1}$
• $2)$ $y=\frac{x}{x^2+x+1}$
• $3)$ $y=\frac{x^2-x+1}{x^2+x+1}$
• $4)$ $y=\frac{x^2-2x+2}{x^2+2x+2}$
• $5)$ $y=\left|\frac{2x^2+x-1}{x^2-x+1}\right|$

 

1. $y=-1+\frac{2x^2}{x^2+1} \geq -1$. Tìm được $min_y=-1 \leftrightarrow x=0$

2.(2) $\leftrightarrow yx^2+x(y-1)+y=0$

Nếu: $y=0$ thì $x=0$

Nếu: $y \neq 0$ thì xét:

$\Delta =(y-1)^2-4y^2=-3y^2-2y+1 \geq 0$

$\Rightarrow -1 \leq y \leq \frac{1}{3}$

...
3.$y=1-\frac{2x}{x^2+x+1}=1-\frac{2}{(x+\frac{1}{x})+1}\geq 1-\frac{2}{3}=\frac{1}{3}$

...

Các bài toán phương trình vô tỉ trong các đề thi HSG tỉnh

 

Bài 1: Giải các phương trình sau

           a) $\sqrt{\frac{1-x}{x}}=\frac{2x+x^{2}}{1+x^{2}}$

        

ĐK: ..

$PT\Leftrightarrow (1+x^2)\sqrt{1-x}-(2x+x^2)\sqrt{x}=0 \Leftrightarrow \sqrt{1-x}-\sqrt{x}+x^2(\sqrt{1-x}-\sqrt{x})-\sqrt{x}(2x-1)$

$\Leftrightarrow (1-2x)[\frac{1}{\sqrt{1-x}+\sqrt{x}}+\frac{x^2}{\sqrt{1-x}+\sqrt{x}}+x^2]=0\rightarrow x=\frac{1}{2}(TM)$

Giải phương trình:

250. $\sqrt{\sqrt{2}-1-x}+\sqrt[4]{x}=\frac{1}{\sqrt[4]{2}}$

251. $\sqrt{x^3-1}=x^2+3x-1$

Bài 2: Giải các phương trình sau

           a) $\sqrt{1-x^{2}}+\sqrt[4]{x^{2}+x-1}+\sqrt[6]{1-x}=1$

           b) $\sqrt[3]{x^{2}-2}=\sqrt{2-x^{3}}$

           d) $19+10x^{4}-14x^{2}=\left ( 5x^{2}-38 \right )\sqrt{x^{2}-2}$

a. ĐK: $\frac{-1+\sqrt{5}}{2} \le x \le 1$

$PT\Leftrightarrow \sqrt{(1-x)(1+x)}+\sqrt[4]{x^2+x-1}-1+\sqrt[6]{1-x}=0 \Leftrightarrow \sqrt{1-x}(\sqrt{1+x}+\sqrt[3]{1-x})+\frac{x^2+x-2}{(\sqrt[4]{x^2+x-1}+1)(\sqrt{x^2+x-1}+1)}=0 \Leftrightarrow \sqrt{1-x}[\sqrt{1+x}+\sqrt[3]{1-x}+\frac{\sqrt{1-x}(x+2)}{\sqrt[4]{x^2+x-1}+1)(\sqrt{x^2+x-1}+1)}]=0\rightarrow x=1$

b.$PT\Leftrightarrow (x^2-2)^2=(2-x^3)^4\Leftrightarrow (x^2-2-(2-x^3)^2)(x^2-2+(2-x^3)^2) \Leftrightarrow \begin{bmatrix} x^6-4x^3-x^2+6=0 & \\ x^6-4x^3+x^2-2=0 & \end{bmatrix}$

..

Còn câu b bài 1 + câu 2d thầy chữa luôn đi ạ.

 b) $\sqrt{1-x^{2}}=\left ( \frac{2}{3}-\sqrt{x} \right )^{2}$

H là trực tâm phải không bạn?

a. Vẽ đường kính AK ta chứng minh: $\triangle ABD \sim \triangle AKC(g.g)$

b. $AH+BH+CH=2(OI+OJ+OT)> C_{TIJ}$

bai nay trong đề bến tre dùng bài trên dể giải

cho tam giac ABC X,Y,Z thuộc các cạnh AC,AB,BC sao cho BX,CY,AZ đều bé hơn 1 

CM $S_{ABC}\leq \frac{1}{\sqrt{3}}$

Độ dài AC,BC,AB lớn hơn 1 chứ bạn??

Yêu cầu của câu này là gì bạn?

2. Cho $a,b\geq 0$ và $a$ khác $b$ .CMR:

$2a+\frac{32}{(a-b)(2b+3)^2}\geq 5$

Đã có ở đây

Ta có: $\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{a+3b}}\leq \dfrac{1}{2}(\dfrac{a}{a+b}+\dfrac{a+b}{a+3b})$

$\dfrac{\sqrt{b}}{\sqrt{a+3b}}\dfrac{1}{2}(\dfrac{1}{2}+\dfrac{2b}{a+3b})$

Cộng lại $\rightarrow \dfrac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{\sqrt{a+3b}}\le \dfrac{1}{2}(\dfrac{a}{a+b}+\dfrac{3}{2})$

T.Tự có BDT: $\rightarrow \dfrac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{\sqrt{b+3a}}\le \dfrac{1}{2}(\dfrac{b}{a+b}+\dfrac{3}{2})$

Cộng lại ta đc dpcm.

Cho $a,b,c$ là các số thực dương. CMR:

a. $a,b,c$ không là độ dài ba cạnh tam giác thì $(a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})\geq 10$

 

 

Bị ngược dấu phải không bạn??

$(x+1)\sqrt{x+2}+(x+6)\sqrt{x+7}≥x^2+7x+12$

$PT\Leftrightarrow (x+1)(x+4-3\sqrt{x+2})+(x+6)\sqrt{x+}(\sqrt{x+7}-3)+x^2+3x-10 \le 0$

Tìm nghiệm nguyên của PT:

$(x^2+1)(y^2+1)+2(x-y)(1-xy)=4xy+9$

Tìm số thực $x, y$ thỏa mãn:
$(x^2+1)^2y^2+16x^2+\sqrt{x^2-2x-y^3+9}=8x^3y+8xy$

Giải Phương trình mũ, logarit.

1.$(2+\sqrt{2})^{log_2x}+x(2-\sqrt{2})^{log_2x}=1+x^2$

2. $4^{lg 10x}-6^{lgx}=2.3^{lg100x}$

Bài 6: Cho tam giác cân tại A, có góc A nhọn. Vẽ BM vuông góc với AC.

Chứng minh hệ thức: $\frac{AM}{MC} = 2(\frac{AB}{BC})^{2}-1$

 

 

Lấy N đối xứng C qua A. suy ra $\bigtriangleup BCN$ vuông tại B.

Ta có: $\frac{AB^2}{BC^2}=\frac{\frac{1}{4}NC^2}{BC^2}=\frac{DC^2}{4BC^2}=\frac{DC^2}{4.HC.DC}=\frac{DC}{4HC}$

$\rightarrow 2(\frac{AB}{BC})^{2}-1=\frac{DC}{2HC}-1=\frac{2AC-2HC}{2HC}=\frac{AH}{HC}(Q.E.D)$

Bài 7.

Cho tam giác ABC có  và .  thuộc  sao cho  , thuộc  sao cho . Tính ?

Bài 3: Cho hình vuông ABCD, M là một điểm tùy ý trên đường chéo BD. Kẻ $ME\perp AB$ , $MF\perp AD$ .

a) Chứng minh: DE = CF

b) Chứng minh: DF,BF,CM đồng quy.

c) Xác định vị trí điểm M để diện tích tứ giác AEMF lớn nhất.

 

Bạn nào đã làm được post lên để mọi người cùng kham khảo!!! Làm hết mình sẽ post tiếp!

b. $EM\cap CD\equiv {K}$; $CM\cap EF\equiv {G}$

cm được: $\bigtriangleup MFE=\bigtriangleup KMC\rightarrow \widehat{MFE}=\widehat{KMC}$

Từ đó chứng minh được $CM\perp EF\equiv {G}$ (2 góc phụ nhau trong tam giác nhỏ GFM.)

$\bigtriangleup AED=\bigtriangleup DFC\rightarrow DE\perp FC$

tt cm được: $BF\perp EC$

suy ra đpcm (3 đường cao trong tam giác đồng quy.

Post toán 9 đi bạn.

Chỉ cần cm:

$\frac{HM}{AH}+\frac{NE}{BE}+\frac{KF}{CF}=1$

$\Leftrightarrow \frac{S_{BMC}}{S_{ABC}}+\frac{S_{ANC}}{S_{ABC}}+\frac{S_{KAB}}{S_{ABC}}=\frac{S_{HBC}+S_{AHC}+S_{AHB}}{S_{ABC}}=1$ (dpcm)Chỉ cần cm:

$\frac{HM}{AH}+\frac{NE}{BE}+\frac{KF}{CF}=1$

$\Leftrightarrow \frac{S_{BMC}}{S_{ABC}}+\frac{S_{ANC}}{S_{ABC}}+\frac{S_{KAB}}{S_{ABC}}=\frac{S_{HBC}+S_{AHC}+S_{AHB}}{S_{ABC}}=1$ (dpcm)

Ok, Mình không nương tay nữa các bạn làm bài cẩn thận và nhớ post hình (Sorry, mình bận học ko vẽ hình được)

Bài 9: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Gọi D là một điểm bất kì trên cung BC không chứa điểm A, D khác B và C. Gọi H, I, K lần lượt là hình chiếu của D lên các đường thằng BC, CA và AB. Gọi P là trực tâm của tam giác ABC.

Chứng minh:

1) Ba điểm H, I, K thẳng hàng.

 

 

 

1. Ta có:

$\widehat{BHK}=\widehat{BDK};\widehat{CDI}=\widehat{CHI};\widehat{BAC}+\widehat{BDC}=180^o;\widehat{BAC}+\widehat{KDI}=180^o$

$\Rightarrow \widehat{BDK}=\widehat{CDI}\Rightarrow \widehat{BHK}=\widehat{CHI}\rightarrow dpcm$ 

2. $\bigtriangleup AKD\sim \bigtriangleup CHD\Rightarrow \frac{AK}{KD}=\frac{CH}{HD}\rightarrow \frac{AB+BK}{KD}=\frac{CH}{HD}\rightarrow \frac{CH}{HD}$

$\bigtriangleup ADI\sim \bigtriangleup BDH\rightarrow \frac{BH}{CH}=\frac{AI}{DI}=\frac{AC-IC}{DI}$

$\bigtriangleup DKB \sim \bigtriangleup DIC \rightarrow \frac{IC}{ID}=\frac{KB}{KD}$

Cộng vế vế là ra dpcm.

3...

__________________

Bài của mình không phải  một bài toán lớp 7 or 8. nó hoàn toàn có thế sử dụng kiến thức lớp 9 ms có thế làm dc(mình thấy thế). còn vấn đề nghĩ ra sử dụng kiến thức lớp 9 ra sao mới là vấn đề.Đây là một bài toán không dễ (đối với mình và 1 số bạn lớp 9 khác cũng chưa nghĩ ra). nếu bạn nói bài này không khó thì mong bạn có thế giải bài này để cho mình và các bạn khác tham khảo. đâu cần phải quan trọng hoá vấn đề như thế. Đấy là ý kiến của mình. Mình không nghĩ mình lại vào làm loạn cái topic như thế này. Hi vọng không phải spam.

@MOD: mình đồng tình với ý kiến của bạn, spam là chỉ khi post bài không liên quan đến topic thôi Night Fury nhé!

 

Bài 10: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O;R). Gọi đường tròn tâm I bán kính r: (I;r) nội tiếp tam giác ABC.

 

Chứng minh hệ thức:

$OI^{2}=R(R-2r)$ (Bài này ko khó lắm vận động não thôi.)

$BI\cap (O;R)\equiv {M};IN\perp AB;MO\cap (O;R)\equiv {P}$

Ta có:

$\angle ABM=\angle CBM=\angle CAM$

$\rightarrow \angle IAM=\angle AIM\rightarrow \bigtriangleup AIM$ cân nên MA=MI

$IB.IM=R^2-OI^2=IB.MA$

$\bigtriangleup INB\sim \bigtriangleup MAP\rightarrow \frac{IB}{MF}=\frac{IN}{MA}\rightarrow IB.MA=IN.MP\rightarrow R^2-OI^2=2Rr\rightarrow dpcm$

________________________

Ở đây không phải là nơi để hỏi bạn tự ra ngoài lập topic đi 

Là thế nào đây? Mình nghĩ đã lập 1 topic thì phải để cho tất cả mọi người cùng thảo luận. Có bài hay thì chia sẻ lẫn nhau để học hỏi lẫn nhau chứ nhỉ?

Gần đến kì thi chọn học sinh giỏi, để chuẩn bị ôn luyện chúng ta cùng giải các bài toán sau: 

 

Bài 1: Cho tam giác ABC nhọn (AB<AC<BC) vối đường phân giác trong AD ( D thuộc BC). Chứng minh rằng :

$AD^{2} = AB.AC - DB.DC$

Kẻ tia Cx sao cho $\widehat{DCx}=\widehat{BAD}$ (khác phía bvowis A đối với BC). AD cắt Cx tại I.

$\bigtriangleup ABD\sim \bigtriangleup CID(g.g)\Rightarrow \widehat{B}=\widehat{I},\frac{AD}{BD}=\frac{CD}{ID}$

$\Rightarrow AD.DI=DC.DB$

$\bigtriangleup ABD\sim \bigtriangleup AIC(g.g)\rightarrow \frac{AB}{AI}=\frac{AD}{AC}\rightarrow AD.AI=AC.AB$

Từ đó có:

$AD.AI-AD.DI=AB.AC-DB.DC\rightarrow AD(AI-DI)=AB.AC-DB.DC\rightarrow Q.E.D$