bạn nè!!!

Với kinh nghiệm của người từng trải, mình nghĩ bạn nên xem kỹ cách gõ công thức và đặt tiêu đề, nếu không là toi đấy!!

với lại cái bài kia bạn viết nhầm a, b, c với x, y, z

PT đã cho <=> $x^2-4+\left ( \frac{x-1}{x} \right )^2-4=0$

<=> $(x-2)(x+2)+\frac{(x-2)(3x-1)}{x^2}=0$

Đến đây thì ổn rồi bà con???

Thực sự là mình cũng không hiểu bạn làm kiểu gì!

Ngay cái của bạn suy ra x=2 thì thay vào cũng không thấy thoả mãn phương trình rồi!!

$pt\Leftrightarrow x^{2}+\frac{1}{x^{2}}=9$

đặt $x^{2}=a\Rightarrow a+\frac{1}{a}=9\Rightarrow a^{2}+1-9a=0$

...

Kiểu gì vậy bạn ????

1) $m^8+m^7+6m^6+4m^5+m^4\vdots 16$

Thay m=1 suy ra giá trị biểu thức là 13 không chia hết cho 16

Mình nghĩ bài này $m$ là một số chẵn

Thế thì chỉ cần nhóm vào là ra ngay rồi!! 

Bạn năm nay 12 ak? phần sử dụng tích vô hướng của lớp 10 để chứng minh vuông góc là rất quan trọng không kém gì lượng giác và phương pháp hình học thông thường.  $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=0=>\overrightarrow{a} vuông góc với \overrightarrow{b}$

Biểu thức như trên chỉ cần khai triển tính từng tích vecto ra là xong (gọi hình vuông cạnh a cho dễ) hoặc giải theo hình học như trên cũng đc nhưng cách đó hơi cổ điển

Oh oh sorry mình vẽ nhầm hình!!!!!

Sorry sorry!!!

Ta có $\overrightarrow{NM}.\overrightarrow{DN}=(\overrightarrow{NA}+\overrightarrow{AM}).(\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AN})$=o

=> DN vuông góc với MN .=>.........

?????????

Sao chả thấy vuông gì nhỉ????????

Đặt x=a, x-1=b ta có:

a-b=1 và $a^2+\frac{a^2}{b^2}=8$

ta có:

$a^2+\frac{a^2}{b^2}=8\Leftrightarrow \frac{a^2}{b^2}-2\frac{a}{b}+1+a^2+\frac{2a}{b}=9\Leftrightarrow (\frac{a}{b}-1)^2+a^2+\frac{2a}{b}=9\Leftrightarrow (\frac{a-b}{b})^2+\frac{2a}{b}+a^2=9\Leftrightarrow \frac{1}{b^2}+2\frac{a}{b}+a^2=9\Leftrightarrow (a+\frac{1}{b})^2=9\Leftrightarrow a+\frac{1}{b}=\pm 3$

đến đây ta thế vào phương trình bên dưới được $b^2-2b+1=0$ hoặc $b^2+4b+1=0$ ta dễ dàng giải ra b sau đó tìm ra x

Thôi chết nhầm!! Xin lỗi!!!!!

$pt\Leftrightarrow x^{2}+(1-\frac{1}{x})^{2}=8$

    $\Leftrightarrow x^{2}+1+\frac{1}{x^{2}}-2=8\Leftrightarrow x^{2}+\frac{1}{x^{2}}=9$

Bạn này!! Hằng đẳng thức nó thế này cơ mà:

$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$

Tại sao $f(x,y,z)=1-27xyz$ vậy bạn ???

Người ta đặt như vậy 

Xét khai triển đa thức:

$P_n(x)=(1+x)(1+2x)...(1+nx)=a_{0,n}+a_{1,n}x+a_{2,n}x^2+...+a_{n-1,n}x^{n-1}+a_{n,n}x^n$

Ở đây $a_{k,n}$ là hệ số của $x^k$ trong khai triển của đa thức $P_n(x)$

Ta có:

$P_n=(1+x)(1+2x)...(1+(n-1)x)(1+nx)=P_{n-1}(x)(1+nx)$

$\quad =\left(a_{0,n-1}+a_{1,n-1}x+a_{2,n-1}x^2+...+a_{n-1,n-1}x^{n-1}\right)(1+nx)$

$\quad =a_{0,n-1}+$ $\left[na_{0,n-1}+a_{1,n-1}\right]$ $x+$ $\left[na_{1,n-1}+a_{2,n-1}\right]$ $x^2+...+na_{n-1,n-1}x^n \quad(1)$

Như vậy từ $(1)$ suy ra ta có: (phần tô đỏ)

$a_{2,n}=na_{1,n-1}+a_{2,n-1}\quad (*)$

Để tính được $a_{2,n}$ theo biểu thức truy hồi $(*)$, ta cần tìm công thức cho $a_{1,n}$ trước!

Cũng từ $(1)$ suy ra ta có: (phần tô xanh)

$a_{1,n}=na_{0,n-1}+a_{1,n-1}\quad (**)$

Mặt khác dễ dàng nhận thấy: hệ số tự do $a_{0,n}=1, \;\forall n$

Nên $(**)\Rightarrow a_{1,n}=a_{1,n-1}+n=a_{1,n-2}+(n-1)+n=...=1+2+...+(n-1)+n=\dfrac{n(n+1)}{2}$

Thay vào $(*)$ ta được:

$a_{2,n}=a_{2,n-1}+n\cdot \dfrac{n(n-1)}{2}$

Hay

\begin{align*}a_{2,n}-a_{2,n-1}&=\dfrac{n^3}{2}-\dfrac{n^2}{2}\\ \Rightarrow a_{2,n-1}-a_{2,n-2}&=\dfrac{(n-1)^3}{2}-\dfrac{(n-1)^2}{2}\\ \Rightarrow a_{2,n-2}-a_{2,n-3}&=\dfrac{(n-2)^3}{2}-\dfrac{(n-2)^2}{2}\\ ...&=...\\ \Rightarrow a_{2,2}-a_{2,1}&=\dfrac{2^3}{2}-\dfrac{2^2}{2} \end{align*}

Cộng tất cả lại theo vế, ta được:

$a_{2,n}-a_{2,1}=\dfrac{2^3+...+n^3}{2}-\dfrac{2^2+...+n^2}{2}=\dfrac{1^3+2^3+...+n^3}{2}-\dfrac{1^2+2^2+...+n^2}{2}$

Để ý rằng $P_1(x)=1+x$ nên $a_{2,1}=0$

Do đó tổng cần tính là:

$P=a_{2,n}+\dfrac{1^2+2^2+...+n^2}{2}=$ $\dfrac{1^3+2^3+...+n^3}{2}=\dfrac{n^2(n+1)^2}{8}$

Phần tô đỏ cuối cùng xin dành lại như một bài tập cho em!

Yeah!!

E cảm ơn thầy!! Cảm ơn thầy rất nhiều!!

Ta có

$a_2=\sum_{1\le i<j\le 2015}ij=\sum_{j=2}^{2015}j\sum_{i=1}^{j-1}i=\sum_{j=2}^{2015}\frac{j^2(j-1)}{2}=\sum_{j=1}^{2015}\frac{j^2(j-1)}{2}=\frac{1}{2}\sum_{j=1}^{2015}j^3-\frac{1}{2}\sum_{j=1}^{2015}j^2$

 

Do đó

$P=a_2+\frac{1}{2}\sum_{j=1}^{2015}j^2=\frac{1}{2}\sum_{j=1}^{2015}j^3=\frac{1}{2}\left(\sum_{j=1}^{2015}j\right)^2 = \frac{1}{2}\cdot\frac{(2015)^2(2016)^2}{4}=...$

Dạ thưa thầy!

Em đang học lớp 11 trường không chuyên nên cách làm của thầy e không hiểu!

Thầy có thể làm cách khác dễ hiểu hơn hay là trình bày lại cách kia rõ ràng hơn, dùng ít ký hiệu hơn không?

E cảm ơn thầy rất nhiều!!!

Chắc hẳn là bạn đang đọc pp dồn biến của Phan Thành Việt

Viết thế để cho nó dễ ấy mà

Nếu$f(x,y,z)=1-27xyz\geq 0\Leftrightarrow (x+y+z)^3\geq 27xyz\Leftrightarrow x+y+z\geq 3\sqrt[3]{xyz}$

Cho mình hỏi sao biết phương trình này là thuộc dạng đặt ẩn phụ k hoàn toàn?

Đơn giản là vì làm rồi nên biết vậy     

 

1, Cho $a,b,c$ là các số dương thỏa mãn $a^4+b^4+c^4=3$. Chứng minh:

 

$\dfrac{1}{4-ab}+\dfrac{1}{4-bc}+\dfrac{1}{4-ca} \le 1$

 

2, Cho $a,b,c$ là các số dương thỏa mãn $abc=1$. Chứng minh rằng:

 

$a, \dfrac{1}{a^2+2b^2+3}+\dfrac{1}{b^2+2c^2+3}+\dfrac{1}{c^2+2a^2+3} \le \dfrac{1}{2}$

 

$b, \dfrac{1}{a^3(b+c)}+\dfrac{1}{b^3(c+a)}+\dfrac{1}{c^3(a+b)} \ge \dfrac{1}{3}$

 

Phần b câu 2 phải là:

Cho $abc=1$ Chứng minh:  $\dfrac{1}{a^3(b+c)}+\dfrac{1}{b^3(c+a)}+\dfrac{1}{c^3(a+b)} \ge \dfrac{3}{2}$

bài này dùng phương pháp đặt ẩn phụ không hoàn toàn

Cho:

$(1+x)(1+2x)(1+3x)....(1+2015x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^2+.....+a_{2015}x^{2015}$

Tính:

$P=a_{2}+\frac{1}{2}(1+2^2+3^2+4^2+.....+2015^2)$

có cách nào nói tổng quát về cách đặt như thế ko bạn ???

 

Nếu xét bài toán sau: $P=\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}$

thì P(a,b,c) khác P(c,b,a) chỗ nào vậy ???

Vì a, b, c có vai trò như nhau nên không có gì khác nhau cả

Về cách đặt tổng quát thì không có. Ta chỉ cần dựa vào bài toán để có cách đặt phù hợp

Bậc 4 đó ''thánh'' ạ 

Chỗ đó CM như sau:

$2\sqrt{x^{2}-x+1}\geqslant 2\sqrt{\frac{3}{4}}> 1$ nên PT này vô nghiệm

Bậc 4?????? Mình đã nói rõ là chuyển vế giải PT hệ quả rồi mà!

Bạn nói rõ hơn tại sao: ab+ba+ac=3

Đấy là $ab+ac+bc\leq \frac{(a+b+c)^2}{3}=3\Leftrightarrow -(ac+ab+bc)\geq -3$ đó

Đề thi càng ngày càng dễ. Tỉnh Hải Dương chỗ mình cũng chẳng khác gì. Chỉ cần trình bày tốt là đạt giải cao. Học sinh trường chuyên điểm thấp hơn học sinh không chuyên cũng là rất bình thường.  

Đặt DKXD.

 Nhân liên hợp ta có:

$\frac{9x-3}{\sqrt{4x^2+5x+1}+2\sqrt{x^2-x+1}}=9x-3$

$\Leftrightarrow x=\frac{1}{3}$ hoặc

$\sqrt{4x^2+5x+1}+2\sqrt{x^2-x+1}=1$. Chuyển vế 1 trong 2 căn sang rồi bình phương lên giải phương trình hệ quả (đơn giản)

Cho a,b,c là các số thực không âm thỏa mãn:$a+b+c\geq ab+bc+ca$

ab+bc+ca+abc=4

Chứng minh rằng:

$a+b+c\geq ab+bc+ca$

Mình nghĩ là cho ab+ac+bc+abc=4

CMR $a+b+c\geq ab+bc+ca$

Chứng minh bằng phương pháp AM-GM  

Bài 1:

Cho $a,b,c$ là 3 số dương thỏa mãn: $a+b+c=3$

CMR: $a^{5}+b^{5}+c^{5}\geq a^{4}+b^{4}+c^{4}$

Bài 2:

Cho $a_{1},a_{2},.....,a_{n}$ là các số dương thỏa mãn: $a_{1}+a_{2}+a_{3}+...+a_{n}=n$

CMR: $a_{1}^{k+1}+a_{2}^{k+1}+...+a_{n}^{k+1}\geq a_{1}^{k}+a_{2}^{k}+...+a_{n}^{k}$

Với $k$ là số thực dương: $k\geq 2$

Bài này áp dụng $a^3+b^3\geq ab(a+b)$ cũng được

Cho $0< a,b,c\leq 1$

CMR:

$\frac{1}{a+b+c}\geq \frac{1}{3}+(1-a)(1-b)(1-c)$

ta xét hai TH

Th1: Trong các số a, b, c có 1 số bằng 1. Giả sử là a=1

Bdt tương đương với: $\frac{1}{b+c+1}\geq \frac{1}{3}\Leftrightarrow b+c\leq 2$ (luôn đúng với ĐK của b, c)

Th2: Ko có số nào bằng 1

Áp dụng cosi 3 số ta có:$\frac{1}{3}+(1-a)(1-b)(1-c)\leq \frac{1}{3}+\frac{(3-(a+b+c))^3}{27}$

Đặt a+b+c=x, Suy ra $x\leq 3$. Bđt tương đương với:$\frac{1}{3}+\frac{(3-x)^3}{27}\leq \frac{1}{x}\Leftrightarrow (x-3)(x(x-3)^2+9)\leq 0$ (luôn đúng vì $0< x\leq 3$)

Vậy bddt được cm