Họ tên: Nguyễn Ngọc Hoàng Quân

Nick trong diễn đàn: MATH HERO

Năm sinh: 1999

Hòm thư: [email protected]

Dự thi cấp THPT

Câu 1.(4 điểm)

a) Chứng minh rằng $\sqrt[3]{9+4\sqrt{5}}+\sqrt[3]{9-4\sqrt{5}}$ là một số nguyên

 

Đặt A =$\sqrt[3]{9+4\sqrt{5}}+\sqrt[3]{9-4\sqrt{5}}$

$\Rightarrow A^{3}=(\sqrt[3]{9+4\sqrt{5}}+\sqrt[3]{9-4\sqrt{5}})^{3}$

$\Rightarrow A^{3}=18+3(\sqrt[3]{9+4\sqrt{5}}+\sqrt[3]{9-4\sqrt{5}}).\sqrt[3]{(9-4\sqrt{5})(9+4\sqrt{5})}$

$\Rightarrow A^{3}=18+3A$

$\Rightarrow A^{3}-3A+18=0$

$\Rightarrow (A+3)(A^{2}-3A+6)=0$

$\Rightarrow A=-3$

$\Rightarrow$ $\sqrt[3]{9+4\sqrt{5}}+\sqrt[3]{9-4\sqrt{5}}$ là một số nguyên

 

2/Số các số tận cùng là 0: $3!.C_{4}^{1}.2=48$

Số các số tận cùng là 2 hoặc 4: $\left ( 3!.C_{4}^{1}.2-3! \right ).2=84$

Số các số tận cùng là 6: $2!.C_{5}^{2}.2!-2!.C_{4}^{1}=40-8=32$

Số các số thỏa ycđb: $48+84+32=164$ số

Chỗ này cách chữ số 5,6,7 đứng cạnh nhau mà bạn

1. Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số sao cho trong mỗi số chữ số đứng sau lớn hơn chữ số đứng liền trước nó.

2. Có bao nhiêu số có 5 chữ số khác nhau từ tập hợp từ tập hợp $A=\left \{ 0;1;2;3;4;5;6;7 \right \}$ biết số đó là số chẵn và các chữ số 5;6;7 đứng cạnh nhau.

Ừ, thì đề bài yêu cầu như vậy mà.....

Tớ lại làm khác bạn.

Tớ xét chữ số tận cùng là 0, tận cùng là 6 và tận cùng $\neq 6$ với $\neq 0$

Cho $a,b,c> 0$ và $a+b+c\geq \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$

CMR:  $a+b+c\geq \frac{3}{a+b+c}+\frac{2}{abc}$

CMR : $\frac{bc}{a^{2}+2bc}+\frac{ca}{b^{2}+2ca}+\frac{ab}{c^{2}+2ab}\leq 1$ với $a,b,c> 0$

Ta co x² + y² = (x - y)² + 2xy = (x - y)² + 2  ( vi xy=1 )

$\Rightarrow$ (x² + y²)² = (x - y)⁴ + 4(x - y)² + 4

Do do BDT can chung minh tuong duong voi (x - y)⁴ + 4(x - y)² + 4 $\geq$ 8(x - y)²

$\Leftrightarrow$ (x - y)⁴ - 4(x - y)² + 4$\geq$0  $\Leftrightarrow$ [(x - y)² - 2]² $\geq$0  

BDT cuoi dung $\Rightarrow$ DPCM

Cho x>y va xy=1. CMR

$\frac{(x2 + y2)2}{(x - y)2}$ $\geq$ 8

Cho $a,b,c>0$. Chứng minh rằng: $\frac{1}{a(b+a)}+\frac{1}{b(c+1)}+\frac{1}{c(c+a)}\geq \frac{3}{\sqrt[3]{abc}(1+\sqrt[3]{abc})}$

Bạn nhìn lai đề xem hình như chỗ mình bôi đỏ sai đề không theo quy luật của dãy

Chứng minh tam giác ABC đều nếu:

1.         $\sqrt{tanA}+\sqrt{tanB}+\sqrt{tanC}=\sqrt{cot\frac{A}{2}}+\sqrt{cot\frac{B}{2}}+\sqrt{cot\frac{C}{2}}$

2.       $\frac{cos\frac{B-C}{2}}{sin\frac{A}{2}}+\frac{cos\frac{C-A}{2}}{sin\frac{B}{2}}+\frac{cos\frac{A-B}{2}}{sin\frac{C}{2}}=6$

Chứng minh rằng với n là số tự nhiên lớn hơn 1 ta có $\frac{1}{1^{2}}+\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{3^{2}}+...+\frac{1}{n^{2}}$

Đề này bị thiếu rồi

Cho tứ diện ABCD, G là trọng tâm tam giác BCD. Mặt phẳng (P) cắt các cạnh AB,AC,AD,AG lần lượt tại A', B', C', G'. Chứng minh rằng $\frac{AB}{AB'}+\frac{AC}{AC'}+\frac{AD}{AD'}=3\frac{AG}{AG'}$ 

Áp dụng bất đẳng thức Holder: $(\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y}+\sqrt[3]{z})^3(x+y+z)^5 \geqslant (x^{3/4}+y^{3/4}+z^{3/4})^8$

Khi đó cần chứng minh: $3^5(xy+yz+zx)^3\leqslant (x^{3/4}+y^{3/4}+z^{3/4})^8$

Đặt $a^4=x, b^4=y, c^4=z$ $(a,b,c>0)$ và chuẩn hóa $a^3+b^3+c^3=3$ và ta cần chứng minh $a^4b^4+b^4c^4+c^4a^4\leqslant 3$

$b^3+c^3+1\geqslant 3bc\Leftrightarrow b^4c^4\leqslant \dfrac{4b^3c^3-a^3b^3c^3}{3}$

Tương tự rồi cộng lại sẽ ra BDT Schur bậc 3.

Còn cách nào khác dễ hiểu hơn không bạn. mình mới học lớp 10 thôi

Ai còn cách khác ko

Cho x+y+z=3 và $x,y,z> 0$

Tìm giá trị nhỏ nhất của $P= \frac{1+\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y}+\sqrt[3]{z}}{xy+yz+zx}$

Cho hai số thực x,y thoả mã đk: $x> y$ và $xy< 0$. Tìm GTNN của biểu thức:

$P=(x-y)^{2}+(x-y+\frac{1}{x}-\frac{1}{y})^{2}$ 

Bài 1: Cho a,b>0 và PT $x^{3}-x^{2}+3ax-b=0$ có 3 nghiệm.CMR: $\frac{a^{3}}{b^{3}}+27b\geq 28.$

Bài 2: Cho PT $ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0(a\neq 0)$ có 3 nghiệm dương phân biệt $x_{1},x_{2},x_{3}$.

CMR: $x_{1}^{7}+x_{2}^{7}+x_{3}^{7}\geq \frac{-b^{3}c^{2}}{81a^{5}}$.

Bài 3: Giả sử PT $ax^{2}-bx+b=0$ (ab>0) có nghiệm $x_{1},x_{2}$.CMR tồn tại $\alpha _{1},\alpha _{2}\in [-1;1]$ thỏa mãn :

$\sqrt{\frac{x_{1}}{x_{2}}}+\alpha _{1}.\sqrt{\frac{x_{2}}{x_{1}}}+\alpha _{2}.\sqrt{\frac{b}{a}}=0$.

Bài 1:

Gọi $x_{1},x_{2},x_{3}$ là ba nghiệm của phương trình đã cho

Vì $a,b> 0$ và $x_{i}^{3}-x_{i}^{2}+3ax_{i}-b=0$ nên $x_{i}> 0$ với $i=1,2,3$

Theo định lí Viét ta có $\left\{\begin{matrix}x_{1}+x_{2}+x_{3}=1 \\ x_{1}x_{2}+x_{2}x_{3}+x_{3}x_{1}=3a \\ x_{1}x_{2}x_{3}=b \end{matrix}\right.$

Áp dụng bất đẳng thức cô-si cho ba số dương $x_{1}x_{2},x_{2}x_{3},x_{3}x_{1}$ ta có

$3a=x_{1}x_{2}+x_{2}x_{3}+x_{3}x_{1}\geq 3\sqrt[3]{(x_{1}x_{2}x_{3})^{2}}=3\sqrt[3]{b^{2}}\Rightarrow \frac{a^{3}}{b^{3}}\geq \frac{1}{b}$    (1)

Áp dụng bất đẳng thức cô-si cho ba số dương $x_{1},x_{2},x_{3}$ ta có

$1=x_{1},x_{2},x_{3}\geq 3\sqrt[3]{x_{1}x_{2}x_{3}}=3\sqrt[3]{b}\Rightarrow b\leq \frac{1}{27}$               (2)

Từ (1) và (2) suy ra $\frac{a^{3}}{b^{3}}+27b\geq \frac{1}{b}+27b=\frac{(1-b)(1-27b)}{b}+28\geq 28$

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $a=\frac{1}{9}$ và$b=\frac{1}{27}$

Cho A(0,1). Cho $(C): x^{2}+y^{2}=2$ và $(C'): x^{2}+y^{2}=5$. Tìm tọa độ $B\in (C), C\in (C')$ sao cho diện tích tam giác ABC lớn nhất

Cho $x,y,z> 0$ và $x+y+z=1$ . Chứng minh rằng:

$\frac{1+x}{y+z}+\frac{z+y}{z+x}+\frac{1+z}{x+y}\leq 2(\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x})$ 

1,       Cho $a,b,c> 0$ và thỏa mãn $3+4(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca})=5(a+b+c)$

     CMR:    $\frac{a^{2}}{a+\sqrt{(a+b)(a+c)}}+\frac{b^{2}}{b+\sqrt{(b+c)(b+a)}}+\frac{c^{2}}{c+\sqrt{(c+a)(c+b)}}\leq 1$

2,     Cho $a,b,c> 0$. Tìm GTNN của:

  $P=\frac{(a+b)^{2}}{(b+3c+2a)(2b+3c+a)}+\frac{(b+c)^{2}}{(c+3a+2b)(2c+3a+b)}+\frac{(c+a)^{2}}{(a+3b+2c)(2a+3b+c)}$

Cho $a,b,c> 0$ và $a+b+c=1$.Tìm giá trị nhỏ nhất của:

$P=\frac{a^{3}+b^{3}+c^{3}}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}$

Cho $0< x< 1$. Tìm GTLN của biểu thức:

$A=\sqrt{32(x-x^{2})}+\sqrt{22(x+x^{2})}$

Chú ý:

- Cách đặt tiêu đề cho bài viết 
 

Cho x,y $>$ 0 va x + y = $\frac{1}{2}$

Tim GTNN cua A = ( x + $\frac{1}{x}$ )² + ( y + $\frac{1}{y}$ )²

Cho $\triangle$ ABC co do dai 3 canh la a, b, c va co chu vi bang 3

CMR 3a² + 3b² + 3c² + 4abc $\geq$ 13