Tìm x,y nguyên: x³+y³-3xy=1

Đưa về phương trình ước số

$Pt\Leftrightarrow x^3+y^3+1-3xy=2$

$\Leftrightarrow (x+y+1)(x^2+y^2+1-x-y-xy)=2$

Đến đây xét TH là ra

 

2. $a^{5}+59a\vdots 30$

    $a^{5}+29a\vdots 30$

3. $a^{5}-5a^{3}+4a\vdots 120$

 

2.$A=a^5+59a=a^5-a+60a=a(a-1)(a+1)(a^2+1)+60a$

$a(a-1)(a+1)$ là tích $3$ số nguyên liên tiếp nên chia hết cho $6$

Mặt khác $A=a(a^2-1)(a^2+1)$

Mà một số chính phương chia cho $5$ dư $0,1,4$ nên $a^5-a$ chia hết cho $5$

Và $(5,6)=1$ nên $A$ chia hết cho $30$

Phần $b)$ tương tự

3. $C=a^5-5a^3+4a=a(a-1)(a+1)(a-2)(a+2)$ là tích $5$ số nguyên liên tiếp nên chia hết cho $3,5$

$C=a(a^2-1)(a^2-4)$ mà một số chính phương chia $8$ dư $0,1,4$ nên $C$ chia hết cho $8$

Do đó $C$ chia hết cho $120$ 

với a,b,c >=0, a+b+c=1, chứng minh:

$\sum \sqrt{\frac{ab+2c^{2}}{1+ab-c^{2}}} \geqslant 2+ab+ac+cb$

BĐT trên sai với $a=b=0,25$  , $c=0,5$

 

 

$\boxed{3}$: Cho $a, b, c$ là các số thực dương. Chứng minh rằng

$$\sqrt {{{8a{b^2}} \over {{{\left( {a + b} \right)}^3}}}}  + \sqrt {{{8b{c^2}} \over {{{\left( {b + c} \right)}^3}}}}  + \sqrt {{{8c{a^2}} \over {{{\left( {c + a} \right)}^3}}}}  \le 3$$

 

 

Mở màn bài 3 

Trước hết ta có BĐT là $a^3+b^3\geqslant ab(a+b)\rightarrow (a+b)^3\geqslant 4ab(a+b)$

Tương tự..... thu được

$Vt\leqslant \sum \sqrt{\frac{2b}{a+b}}$

Ta chứng minh $Vt\leqslant 3$. Bài toán này giống bài China MO đã xét ở trên

Nhì còn anh Nguyễn Đức Minh ( Whatever2507 ) nữa anh ơi 

Cảm ơ chú, anh đã thêm .

Cho $x, y, z$ là các số dương thỏa mãn điều kiện $xyz = 1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:  

$$E=\frac{1}{x^3(y+z)}+\frac{1}{y^3(z+x)}+\frac{1}{z^3(x+y)}.$$

Toán thủ ra đề: angleofdarkness

Mình không phải toán thủ thi đấu 

Vì $abc=1$ nên ta có

$E=\frac{y^3z^3}{y+z}+\frac{x^3y^3}{x+y}+\frac{x^3z^3}{x+z}$

Áp dụng bất đẳng thức $AM-GM$ ta có

$\frac{y^3z^3}{y+z}+\frac{x(y+z)}{4}\geqslant 2\sqrt{\frac{xy^3z^3}{4}}=2\sqrt{\frac{y^2z^2}{4}}=yz$ $(1)$

Chứng minh tương tự ta cũng có

$\frac{z^3x^3}{z+x}+\frac{y(z+x)}{4}\geqslant zx$ $(2)$

$\frac{x^3y^3}{x+y}+\frac{z(x+y)}{4}\geqslant xy$ $(3)$

Cộng theo từng vế các đánh giá $(1);(2);(3)$ thu được

$E+\frac{xy+yz+xz}{2}\geqslant xy+yz+xz\Leftrightarrow E\geqslant \frac{xy+yz+xz}{2}$ $(*)$

Mà theo bất đẳng thức $AM-GM$ cho $3$ số dương thì 

$\frac{xy+yz+xz}{2}\geqslant \frac{3\sqrt[3]{x^2y^2z^2}}{2}=\frac{3}{2}(*')$

Từ $(*);(*')\Rightarrow E\geqslant \frac{3}{2}$

Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow x=y=z=1$

Vậy $Min(E)=\frac{3}{2}\Leftrightarrow x=y=z=1$

 

Bài 1:  (Chuyên Lý Tự Trọng, Cần Thơ 2011): Cho $a,b,c$ là ba số thực không âm thỏa mãn $a^{2}+4b^{2}+9c^{2}=14$. Chứng minh rằng:

$3b+8c+abc\leq 12$

Mod ơi em thấy bài này ở đây

http://diendantoanho...-3b8cabcleq-12/

Bài 2 (năm 2012)

cho các số dương a,b,c thỏa mản điều kiện a$^{2}$+b$^{2}$+c$^{2}$$\leq$3

Chứng minh rằng ;$\frac{a}{\sqrt{b+c}}+\frac{b}{\sqrt{a+c}}+\frac{c}{\sqrt{a+b}}\geq \frac{\sqrt{2}}{2}(a+b+c)$

Áp dụng BĐT BCS dạng cộng mẫu ta có

$\sum \frac{a}{\sqrt{b+c}}=\sum \frac{a^2}{a\sqrt{b+c}}\geqslant \frac{(a+b+c)^2}{\sum a\sqrt{b+c}}$

Áp dụng BĐT Bunhiacopxki

$\sum a\sqrt{b+c}\leqslant \sqrt{2(a+b+c)(ab+bc+ac)}\Rightarrow VT\geqslant \frac{(a+b+c)^2}{\sqrt{2(a+b+c)(ab+bc+ac)}}$

$=\sqrt{\frac{(a+b+c)^3}{2(ab+bc+ac)}}\geqslant \sqrt{\frac{3(a+b+c)}{2}}\geqslant \frac{a+b+c}{\sqrt{2}}$

(do ta có các BĐT $\left\{\begin{matrix} 2(ab+bc+ac)\leqslant \frac{2}{3}(a+b+c)^2 & \\ a+b+c\leqslant 3 & \end{matrix}\right.$) (với $a^2+b^2+c^2\leqslant 3$)

 

Bài 3: Olympic 30-4-2014:

Cho các số thực dương $a,b,c$. Chứng minh :

$\dfrac{a}{\sqrt{7a^2+b^2+c^2}}+\dfrac{b}{\sqrt{a^2+7b^2+c^2}}+\dfrac{c}{\sqrt{a^2+b^2+7c^2}}\leq 1$

 

Áp dụng BĐT Bunhiacopxki

$\sum \frac{a}{\sqrt{7a^2+b^2+c^2}}\leqslant \sqrt{3.\sum \frac{a^2}{7a^2+b^2+c^2}}$

Giờ ta sẽ đi cm 

$\sum \frac{a^2}{7a^2+b^2+c^2}\leqslant \frac{1}{3}\Leftrightarrow \sum \frac{b^2+c^2}{7a^2+b^2+c^2}\geqslant \frac{2}{3}$

Áp dụng BĐT S.Vac

$\sum \frac{b^2+c^2}{7a^2+b^2+c^2}=\sum \frac{(b^2+c^2)^2}{(b^2+c^2)(7a^2+b^2+c^2)}$

$= \frac{4(a^2+b^2+c^2)^2}{2(a^2+b^2+c^2)^2+12\sum a^2b^2}$

$\geqslant \frac{4(a^2+b^2+c^2)^2}{6(a^2+b^2+c^2)^2}=\frac{2}{3}$

Do đó ta có đpcm

1)$Cho$$x+y+xy$$=24$. Tìm GTNN$x^{2}+y^{2}$

2)$Cho$$x^2+y^2-xy=4$. TÌm GTLN và GTNN của$x^2+y^2$

1.

$x+y+xy=24\leq x+y+\frac{(x+y)^2}{4}\Rightarrow x+y\geq 8$

$\Rightarrow x^2+y^2\geq \frac{(x+y)^2}{2}\geq \frac{8^2}{2}=32$

2.

$x^2+y^2-xy=4\geq 2xy-xy=xy$

$\Rightarrow x^2+y^2=4+xy\leq 4+4=8$

Cho các số dương a, b, c thỏa mãn a² + b² + c² =3

CMR: $\frac{a}{\sqrt{b}}$ + $\frac{b}{\sqrt{c}}$ + $\frac{c}{\sqrt{a}}$  $\geq$  a + b + c

Bài này bạn đã đăng [r bên này rồi mà!

Cách khác

http://diendantoanho...s-cao-xuân-huy/

216.Cho $\overline{abc}=p$ (p là số nguyên tố). Chứng minh pt \[ax{}^{2}+b\text{x}+c=0\] vô nghiệm

Bài 216: Hình như đề bài thiếu: Phải là CM phương trình đã cho vô nghiệm hữu tỉ (nghiệm nguyên)

Giả sử pt đã cho có nghiệm hữu tỉ

Ta có $\Delta _{x}=b^2-4ac$ $(1)$

Từ $\overline{abc}=p\Leftrightarrow c=p-100a-10b$

$\Leftrightarrow 4ac=4ap-400a^2-40ba$

Thay vào $(1)$ : $\Delta =b^2-4ap+400a^2+40ab=(20a+b)^2-4ap$

Để pt có ngiệm hữu tỉ thì $\Delta =(20a+b)^2-4ap=k^2 (k\in \mathbb{Z})$

$\Leftrightarrow (20a+b-k)(20+b+k)=4ap\vdots p$

suy ra $20a+b+k\vdots p$ hoặc $20a+b-k\vdots p$

Mà $20a+b-k;20a+b+k\neq 0$ $\Rightarrow 20a+b+k;20a+b-k\geqslant p$

(điều này vô lý vì $\overline{abc}=p$

Vậy điều giả sử là vô lý

Do đó ta có đpcm

Bạn nào đây sao giống gái Hàn thế ?  

 

ĐỀ SỐ 2

 

Bài 3: 

a. Tìm tất cả các cặp số nguyên(x,y) thỏa mãn đẳng thức:

$(x+y+1)(xy+x+y)=5+2(x+y)$

b. Tìm các số dương a,b,c sao cho: $(a^2+1)(b^2+1)(c^2+1)=48abc$

 

a

$(x+y+1)(xy+x+y)=5+2(x+y) \Leftrightarrow (x+y+1)(xy+x+y)=3+2(x+y+1)$

$\Leftrightarrow (x+y+1)(xy+x+y-2)=3$

Đến đây thì dễ rồi

 

ĐỀ SỐ 8

 

 

Bài 2: 

Cho a, b là các số dương thỏa mãn: $ a+b=1$

Tìm GTNN của biểu thức: 

$A=\frac{19}{ab}+\frac{6}{a^2+b^2}+2013(a^4+b^4)$

 

$A=\frac{16}{ab}+6(\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{1}{2ab})+2014(a^4+b^4)$

Có $ab\leq \frac{(a+b)^2}{4}=\frac{1}{4}\Rightarrow \frac{16}{ab}\geq 64$

$6(\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{1}{2ab})\geq 6.\frac{4}{(a+b)^2}=24$ (áp dụng bđt S.Vac xơ)

$2013(a^4+b^4)\geq 2013\frac{(a^2+b^2)^2}{2}\geq 2013.\frac{(a+b)^4}{8}=\frac{2013}{8}$

Suy ra $A\geq \frac{2717}{8}$

 

 

ĐỀ SỐ 9

 

Cho tam giác ABC (AB<BC, AB<AC). Gọi M, N lần lượt là các tiếp điểm của đường tròn tâm (O) nội tiếp tam giác ABC với các cạnh AC,BC. Đương thẳng MN cắt các tia AO,BO lần lượt tại P,Q. Gọi E,F lần lượt là trung điểm của AB,AC. CMR:

a. CÁc tứ giác BONP, AOMQ, AQPB nội tiếp

b,  E,F,Q thẳng hàng

c. $\frac{OM}{OC}=\frac{PQ+MQ+MP}{AB+BC+CA}$

 

 

$\widehat{BOP}=\frac{\widehat{A}}{2}+\frac{\widehat{B}}{2}$ (1)

$\widehat{BNP}=90^0+\widehat{ONM}=90^0+\frac{180^0-\widehat{NOM}}{2}$

$=180^0-\frac{\widehat{NOM}}{2}$

Ta có $\widehat{NOM}=360^0-\widehat{AOM}-\widehat{AOB}-\widehat{BON}$

$=360^0-(90^0-\frac{\widehat{A}}{2})-(180^0-\frac{\widehat{A}+\widehat{B}}{2})-(90^0-\frac{\widehat{B}}{2})$

$=\widehat{A}+\widehat{B}$

$\Rightarrow \frac{\widehat{MON}}{2}=\frac{\widehat{A}+\widehat{B}}{2}$

Suy ra $\widehat{BNP}=180^0-\frac{\widehat{A}}{2}-\frac{\widehat{B}}{2}$(2)

Từ $(1);(2)$ $\Rightarrow \widehat{BOP}+\widehat{BNP}=180^0$

Suy ra $BOPN$ nội tiếp

Chứng minh dc $BOPN$ nội tiếp thì dễ dàng chứng minh $\triangle AOB\sim \triangle APM$

$\Rightarrow \widehat{AOB}=\widehat{AMQ}$

Suy ra $AOQM$ nội tiếp

Ta có $BONP$ nội tiếp suy ra $\widehat{APM}=\widehat{OBN}=\widehat{ABQ}$

$\Rightarrow$ $AQPB$ nội tiếp

 

Đề số 6

 

 

 

Bài 3: (3 điểm)

Cho các số thực a, b, c dương. Chứng minh rằng:

$\dfrac{(a + b)^2}{ab} + \dfrac{(b + c)^2}{bc} + \dfrac{(c + a)^2}{ca}$ 

 

 $9 + 2(\dfrac{a}{b + c} + \dfrac{b}{c + a} + \dfrac{c}{a + b})$.

 

 

$VT=\sum\frac{a}{b}+\sum \frac{b}{a}+6$

$\geq \frac{1}{2}(\sum \frac{a}{b}+\sum\frac{b}{a})+3+6$

$=\frac{1}{2}(\sum \frac{a}{b}+\sum\frac{b}{a})+9$

do áp dụng bđt $AM-GM$ : $\frac{1}{2}(\sum \frac{a}{b}+\sum\frac{b}{a})\geq 3$

Giờ cần chứng minh $\frac{1}{2}(\sum \frac{a}{b}+\sum\frac{b}{a})\geq 2(\sum \frac{a}{b+c})$

Điều này dễ dàng chứng minh từ bđt $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\geq \frac{4}{a+b}$

 

ĐỀ SỐ 9

Bài 1:

a.Giải hệ phương trình:$\left\{\begin{matrix} (x-y)^2+\frac{4xy}{x+y}=1\\ \sqrt{x+y}+x-y=1 \end{matrix}\right.$

 

 

P/s: Cùng thảo luận nào mọi người. Nhưng nhớ là không SPAM nhé!

 

Đặt $x+y=a;x-y =b$

Khi đó hpt trở thành

$\left\{\begin{matrix} b^2+\frac{a^2-b^2}{a}=1 & \\ \sqrt{b}+a=1& \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} b^2+a-\frac{b^2}{a}=1 & \\ a=b^2+1-2b& \end{matrix}\right.$

Thay $a=b^2+1-2b$ vào pt đầu có

$b^2+1+b^2-2b-\frac{b^2}{1+b^2-2b}=1$

$\Leftrightarrow 2b^2-2b-\frac{b^2}{1+b^2-2b}=0$

$\Leftrightarrow b(2b-2-\frac{b}{1+b^2-2b})=0$

Với $b=0$: thay vào để tính

$2b-2=\frac{b}{b^2+1-2b}$

$\Leftrightarrow b^3-3b^2+3b-1=0$

Đến đây tính nghiệm ra $b$, thay thế để tìm ra nghiệm $x,y$

 

ĐỀ SỐ 3

 

Bài 4:

Cho tam giác ABC nhọn, trực tâm H. Đường thẳng vuông góc với BC tại C cắt đường thẳng BH ở D, đường thẳng vuông góc với BC tại B cắt đường thẳng CH tại E. Gọi M,N theo thứ tự là trung điểm của BE,CD.

a. CMR: M,H,N thẳng hàng

b. Đường thẳng MN cắt trung tuyến AL của tam giác ABC tại P. CMR: đường tròn ngoại tiếp tam giác ABP tiếp xúc với BC.

 

a

$BE\parallel DC\Rightarrow \widehat{EBH}=\widehat{HDC}$

$EB\parallel HK\Rightarrow \frac{HK}{EB}=\frac{KC}{BC}$

$DC\parallel HK\Rightarrow \frac{HK}{DC}=\frac{BK}{BC}$

$\Rightarrow \frac{BE}{DC}=\frac{BM}{DN}=\frac{BK}{KC}$

Mà $\frac{BH}{DH}=\frac{BK}{KC}\Rightarrow \frac{BH}{DH}=\frac{BM}{DN}$

Do đó $\triangle MBH\sim \triangle NDH(c.g.c)\Rightarrow \widehat{MHB}=\widehat{NHD}$ suy ra đpcm

Trường hợp $ x-y=0$ giải thế nào ấy nhỉ?

Phương trình đưa về dạng $2\sqrt{x^2-2x-1}+\sqrt[3]{x^3-14}=x-2$

$\Leftrightarrow 2\sqrt{x^2-2x-1}=(x-2)-\sqrt[3]{x^3-14}$

$\Leftrightarrow 2\sqrt{x^2-2x-1}=\frac{(x-2)^3-(x^3-14)}{(x-2)^2+(x-2)\sqrt[3]{x^3-14}+\sqrt[3]{(x^3-14)^2}}$

$\Leftrightarrow 2\sqrt{x^2-2x-1}=\frac{-6(x^2-2x-1)}{(x-2)^2+(x-2)\sqrt[3]{x^3-14}+\sqrt[3]{(x^3-14)^2}}$

(nhân liên hợp)

Đến đây thì dễ oy  

Từ chỗ này thì sẽ =>$\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{x+1}}+\sqrt{x}\leq \sqrt{x+9}$ chứ bạn

đâu phải yêu cầu của đề bài

Ơ. $\sqrt{\frac{8}{x+1}}$ với $\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{x+1}}$ thì có khác gì nhau nhỉ????          

Mọi người không thấy ai đả động đến bài tổ hợp nhỉ???

Mình thì mình kém tổ hợp lắm

 

ĐỀ SỐ 8

 

 

 

Bài 3: 

 

b.Giải phương trình: $\frac{2\sqrt{2}}{x+1}+\sqrt{x}=\sqrt{x+9}$

 

Áp dụng bđt Bunhiacopki ta có

$(\sqrt{\frac{8}{x+1}}+\sqrt{x})^2\leq (\frac{8}{x+1}+1)(1+x)=\frac{x+9}{x+1}.(x+1)=x+9$

Suy ra $\sqrt{\frac{8}{x+1}}+\sqrt{x}\leq \sqrt{x+9}$

Dấu = xảy ra $\Leftrightarrow x=\frac{1}{7}$

Chưa chữa xong đề 2 mà đã đến đề 3. Sao nhanh vậy

sao chỗ này lại thế? Bảo mình với..

phải là $2\sqrt{x^2-2x-1}$ chứ nhỉ?

Chết. Nhầm

Sorry