Bài 23

(Trích đề thi thử lần 2 - THPT Đăkmil - đăknông)

Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn $a+b+c\leqslant 3abc$ . Tìm Giá trị lớn nhất của biểu thức:

$P=\frac{a^2+b^2+2c^2}{\left ( a^2+c^2+2 \right )\sqrt{b^2+c^2}}-\frac{\left ( a^4 +b^4\right )\left ( ab+c^2 \right )^3}{a^2\left ( b^2+c^2 \right )+b^2\left ( a^2+c^2 \right )}-\frac{c^3\left ( a^3+b^3 \right )}{\sqrt[3]{\dfrac{a^2b+b^2c+c^2a}{3}}}$

Tính $\sin {{20}^{0}}\sin {{40}^{0}}\sin {{80}^{0}}$

$\sin 20^0.\sin 40^0.\sin 80^0=\frac{1}{2}\left ( \cos 40^0-\cos 120^0 \right )=\frac{1}{2}\left ( \cos 40^0-\frac{1}{2} \right )
=\frac{1}{2}\sin20^0.\cos 40+\frac{1}{4}\sin20^0=\frac{1}{4}(\sin 60^0-\sin 20^0)+\frac{1}{4}\sin 20^0=\frac{1}{4}\sin 60^0=\frac{\sqrt{3}}{8}$

  đề bài cho tam giác không nhọn mà bạn

vì là tam giác nên ta có: $A+B+C=\pi$

MÀ $0\leq \sin \leq 1$

mặt khác $\cos \frac{A-B}{2}\geq 0$, nên ở đây ta có thể áp dụng BĐT AM-GM!!!!!

Cho tam giác $ABC$ không nhọn . Tìm $Max$ của 

$A=sinA+sinB+sinC$

ta có: $$\sin A+\sin B=2\sin \left ( \frac{A+B}{2} \right ).\cos \left ( \frac{A-B}{2} \right )$$

ta dễ dàng chứng minh được: $\sin \left ( \frac{A+B}{2} \right ),\cos  \left (\frac{A-B}{2}  \right )\geq0$

từ đây ta dễ dàng suy ra được:$$\sin A+\sin B\leq 2\sin \left ( \frac{A+B}{2} \right )$$

suy ra:$$A+\sin \frac{\pi}{3}=\sin A+\sin B+\sin c+\sin \frac{\pi}{3}
\leq 2\sin \left ( \frac{A+B}{2} \right )+2 \sin \left ( \frac{C+\frac{\pi}{3}}{2} \right ) \leq 4\sin \left ( \frac{A+B+C+\frac{\pi}{3}}{4} \right )=4\sin \left ( \frac{\pi}{3} \right )=2\sqrt{3}\Rightarrow A \leq \frac{3\sqrt{3}}{2}$$

Đề bị lỗi , fix lại

p/s: x,y,z>0

Nguồn: Facebook

Giải phương trình sau  sinx.sin2x+sin3x=6cos³x

pttd: $\Leftrightarrow 2\sin ^2x+3\sin x-4\sin ^3x=6\cos x(1-\sin^2 x) \Leftrightarrow 8\sin^2 x.\cos x-4\sin^3 x+3\sin x-6\cos x=0 \Leftrightarrow 4\sin^2 x(2\cos x-\sin x)-3(2\cos x-\sin x)=0 \Leftrightarrow (2\cos x-\sin x)(4\sin ^2x-3)=0$

đến đây là OK rồi!!!!

xét pt (1): 

xét hàm đặc trưng: f(t) = t - $\dfrac{1}{t}$ $\forall t \neq 0$

 $\Rightarrow f'(t)=1+ $\dfrac{1}{t^{2}}$  > 0 $\forall t\neq 0$

$\Rightarrow$ y=f(t) đồng biến 

$\Rightarrow$ f(x) = f(y) 

$\Rightarrow$ x=y

thay vào (2) ta được nghiệm của hệ pt: (1;1), ($\dfrac{-1+\sqrt{5}}{x}$, $\dfrac{-1+\sqrt{5}}{x}$),($\dfrac{-1-\sqrt{5}}{x}$, $\dfrac{-1-\sqrt{5}}{x}$)

Bài này nếu dùng pp hàm số như "CD13" hay "trongthuc" nói là không chính xác vì hàm số $f(x)=x-\frac{1}{x}$ không đơn điệu trên toàn bộ TXĐ của nó là $\mathbb{R}\setminus \left \{ 0 \right \}$

 

Ví dụ như bài hpt sau đây: $\left\{ \begin{matrix}x-\frac{1}{x}=y-\frac{1}{y}\\ x^2+y^2=6 \end{matrix}\right.$

 

Hệ pt này có 6 nghiệm: $\left(\sqrt{3};\sqrt{3}\right)$; $\left(-\sqrt{3};-\sqrt{3}\right)$; $\left(1+\sqrt{2};1-\sqrt{2}\right)$; $\left(1-\sqrt{2};1+\sqrt{2}\right)$; $\left(-1+\sqrt{2};-1-\sqrt{2}\right)$; $\left(-1-\sqrt{2};-1+\sqrt{2}\right)$

 

Nếu giải bằng pp hàm số như một số bạn phía trên nói thì mất đi 4 nghiệm phía sau rồi.

Cách này không ổn, vì hàm số chỉ đồng biến trên từng khoảng xác định, chứ không đồng biến trên toàn TXD. Do đó không thể kết luận $x=y$ (có thể thấy rõ trên đồ thị hàm số này).

 

Ops! Post xong mới thấy bạn hungnp ở trên đã nói điều này rồi...

hoặc một cách đặt nhân tử chung như thế này:

từ pt đầu tiên ta có: $x-\frac{1}{x}=y-\frac{1}{y}\Leftrightarrow x-y+\frac{x-y}{xy}=0\Leftrightarrow \begin{bmatrix} x=y & \\ xy=-1& \end{bmatrix}$

kết hợp pt còn  lại là OK!!!

Bài 9. Giải phương trình:( Đề nghị OLYMPIC 30-4-2009)

                                        $x^{3}-6x^{2}+12x-7=\sqrt[3]{-x^{3}+9x^{2}-19x+11}$

 

đăt: $y=\sqrt[3]{-x^3+9x^2-19x+11}$, khi đó ta có hệ pt: $\left\{\begin{matrix} y=x^3-6x^2+12x-7 & \\ y^3=-x^3+9x^2-19x+11& \end{matrix}\right. \Rightarrow f_{(y)}=f_{(x-1)}\Rightarrow \begin{bmatrix} x=1 & \\ x=2& \\ x=3& \end{bmatrix}$
 

Bài 7. Giải phương trình:$x^{3}+3x^{2}+4x+2=(3x+2)\sqrt{3x+1}$

 

7.

biến đổi phương trình thành: $\left [ (x+1)^2+1 \right ](x+1)=\left [ (3x+1)+1 \right ]\sqrt{3x+1}\Rightarrow f_{(x+1)}=f_{\sqrt{3x+1}}\Rightarrow \begin{bmatrix} x=0 & \\ x=1& \end{bmatrix}$
 

Bài 5. Giải phương trình:$3x^{3}-6x^{2}-3x-17=3\sqrt[3]{9(-3x^{2}+21x+5)}$

5.

Bài 3. Giải phương trình:$4x^{3}+18x^{2}+27x+14=\sqrt[3]{4x+5}$

3.

nhân thêm $2$ vào 2 vế của phương trình ta được: $8x^3+36x^2+54x+28=2\sqrt[3]{4x+5} \Leftrightarrow (2x+3)^3+2(2x+3)=4x+5+2\sqrt[3]{4x+5} \Rightarrow f_{(2x+3)}=f_{(\sqrt[3]{4x+5})}\Rightarrow 2x+3=\sqrt[3]{4x+5}$

đến đây lập phương hai vế là OK!

Bài 4. Giải phương trình:$9x^{2}-28x+21=\sqrt{x+1}$

đề hình như bị sai rồi!

phải là: $9x^2-28x+19=\sqrt{x+1}$

$\Leftrightarrow (3x-5)^2+(3x-5)=x+1+\sqrt{x+1}$

Bài 8. Giải phương trình:$3x(2+\sqrt{9x^{2}+3})+(4x+2)(\sqrt{1+x+x^{2}}+1)=0$

pttt: $3x(2+\sqrt{9x^2+3})+(2x+1)\left (\sqrt{(2x+1)^2+3}+2  \right )=0$

xét hàm: $f_{\left (3x  \right )}=f_{\left (-2x-1  \right )}\Rightarrow x=\frac{-1}{5}$

Cho a,b,c dương và $a^2+b^2+c^2=3$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

P= $\frac{a^3}{\sqrt{b^2+3}}$ + $\frac{b^3}{\sqrt{c^2+3}}$ + $\frac{c^3}{\sqrt{a^2+3}}$

c2:

dùng holder.

$\left (\sum \frac{a^3}{\sqrt{b^2+3}} \right )^2(\sum b^2+9)\geq \left ( a^2+b^2+c^2 \right )^3 \Rightarrow \sum \frac{a^3}{\sqrt{b^2+3}}\geq \frac{3}{2}. "="\Leftrightarrow a=b=c=1$

Viết lộn đó bạn. Dùng AM-GM dưới mẫu là ok

chính xác hơn là dùng bunhiacopki

$P \geqslant \frac{a^3\sqrt{(c^2+3)(a^2+3)} +b^3\sqrt{(b^2+3)(a^2+3)} +c^3\sqrt{(c^2+3)(b^2+3)}}{6}$

 

Sau khi ra đến đây rồi làm gì nữa bạn

$\sum a\sqrt{b^2+3}\leq \sqrt{(\sum a^2)(\sum a^2+9) }=6$

Daicagiangho làm đúng có gì sai đâu!

xem lại nhé!

$P\geq \frac{9}{\sum \sqrt[3]{a+3b}}$

ta có:

$\sum \sqrt[3]{a+3b}\leq \sum \frac{a+3b+2}{3}\leq \frac{4(a+b+c)+6}{3}=3$

$MinS=3. "="\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{4}$

Nếu a,bc>0 CMR

$\sum \frac{ab^{2}}{a^{2}+2b^{2}+c^{2}}\leq \frac{\sum a}{4}$

ta có: $$\\sum \frac{ab^2}{a^2+2b^2+c^2}=\sum \frac{ab^2}{3.\frac{a^2+b^2+c^2}{3}+b^2}\leq \sum \frac{1}{16}\left ( \frac{9ab^2}{a^2+b^2+c^2}+a \right )=\frac{9}{16}.\left ( \frac{\sum ab^2}{\sum a^2} \right )+\frac{a+b+c}{16}$$

từ đây ta chỉ cần chứng minh rằng: $$\frac{9}{16}\left ( \frac{\sum ab^2}{\sum a^2} \right )\leq \frac{3}{16}\sum a
\Leftrightarrow \sum a^3+\sum ab^2+\sum a^2b\geq 3\sum ab^2
\Leftrightarrow \sum a^3+\sum a^2b\geq 2\sum ab^2$$

mặt khác BĐT luôn đúng vì AM-GM:

$$\sum \left (2a^3+a^2b+ab^2  \right )\geq 4\sum ab^2$$

đến đây là OK rồi!!!!

Dấu = xảy ra khi nào vậy bạn

$"="\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
x+y=1 & \\
\frac{3\sqrt{2}}{x^2+y^2}=\frac{\sqrt{10}}{2xy}&
\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow (x;y)=\left ( \frac{5}{4}-\frac{\sqrt{5}}{4};\frac{\sqrt{5}-1}{4} \right );\left ( \frac{\sqrt{5}-1}{4};\frac{5-\sqrt{5}}{4} \right )$

 

Kỳ thi chọn học sinh giỏi tỉnh Phú Yên lớp 9 THCS

 

Năm học : $2013-2014$

 

Thời gian: $150$ phút

 

-------------------------------------------------------------

 

Câu $1$. (3,0 điểm) Rút gọn biểu thức : $$A={\frac{\sqrt{$(\sqrt{2}-\sqrt{3}-1)^2=6+\sqrt{12}-\sqrt{8}-\sqrt{24}$}}{\sqrt{2}+\sqrt{3}+1}}$$

 

1.

để ý rằng: $6+\sqrt{12}-\sqrt{8}-\sqrt{24}=\sqrt{2}-\sqrt{3}-1$

vậy ta được:  $A=\frac{\sqrt{6+\sqrt{12}-\sqrt{8}-\sqrt{24}}}{\sqrt{2}+\sqrt{3}+1}$$=\frac{\sqrt{2}-\sqrt{3}-1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}+1}=\sqrt{2}-\sqrt{3}$

Rút gọn chưa hết!! .....$A=\sqrt{3}-\sqrt{2}$

 

ở chỗ rút gọn phải thế này mới đúng chứ:

A=$\sqrt{2}-\sqrt{3}$

Mấy hôm rồi toàn bị zậy đành cài CốcCốc, nặng cả máy =_="  . Có lẽ nên cập nhật lại hệ thống. 

Em chuyên bị những trường hợp kiểu này, có khi cả ngày mở chẳng được. Qua sự chỉ dẫn của mấy mem khác thì các bạn í bảo là trong những TH kiểu này thì dùng Coc Coc là ok

Cài Coc Coc rồi thì nếu thấy nặng máy thì gỡ chrome luôn đi!!

Hoặc dùng chrome phải có Hotspot shield

là vào được thôi!! nhưng tốt nhất là dùng coc coc

Gửi BQT em gợi ý làm câu C cho 1 bạn ở link:http://diendantoanho...-7/#entry496971

Nhưng lại bị bạn Buiminhhieu nhắc nhở do trả lời top pic vi phạm trong khi trc đó top pic chưa vi phạm.

Đây có phải là hành động lợi dụng chức quyền

Nói cho cùng thi người sai là bạn chứ không ai khác!!!!

Lúc mới tham gia diễn đàn thì mình cũng bị nn như bạn thôi, chắc có lẽ bạn chưa đọc nội quy của diễn đài phải không??

Bị nhắc nhở thì cũng chỉ vài ngày điểm cũng tự xoá mà, có sao đâu??/

P/s: Mà JokerLegend kiện Buiminhhieu, mà sao không thấy lên tiếng nhỉ??

http://diendantoanho...t1z2leq-frac32/

http://diendantoanho...t1z2leq-frac32/

http://diendantoanho...t1z2leq-frac32/

tại sao cùng một bài, tiêu đề không đúng thì khoá là không sai nhưng tại sao BQT không xoa những bài viết này đi, chứ để lại khoá lại không gửi trã lời lên, để lại chỉ rác topic mà thôi! đây chỉ là một VD thôi còn rất nhiều bài như trên nữa!