Trước khi nếu bài,em xin nếu câu hỏi em băn khoăn sau khi xem xong bài này:

1,Khi giải bài toán BĐT,giải dấu "=" xảy ra khi x=a,y=b,.... mà a,b,... không thỏa mãn điều kiện đã đặt thì có kết luận đc dấu "=" không xảy ra không?
2,Nếu nói là ko thì bài toán sau phải làm ntn ạ?

** Bài toán: Cho a,b,c,d không âm thỏa mãn :

$(a+b+c)(b+c+d)(c+d+a)(d+a+b)>0$.

CMR: A=$\sqrt{\frac{a}{b+c+d}}+\sqrt{\frac{b}{c+d+a}}+\sqrt{\frac{c}{d+a+b}}+\sqrt{\frac{d}{a+b+c}}\geq 2.$

Lời giải:

Có :$\sqrt{a(b+c+d)}\leq \frac{a+b+c+d}{2}$$\Rightarrow \frac{2\sqrt{a(b+c+d)}}{a+b+c+d}\leq 1$

Nhân 2 vế với $\sqrt{\frac{a}{b+c+d}}$ có: $\sqrt{\frac{a}{b+c+d}}\geq \frac{2a}{a+b+c+d}$

Tương tự với b,c,d.Cuối cùng cộng lại ta được $A\geq \frac{2(a+b+c+d)}{a+b+c+d}=2.$

Dấu "=" xảy ra khi a=b=c=d=0( chỗ này mọi người tự giải) =>Không thỏa mãn.

Vậy bđt không xảy ra dấu "=".
Nhưng dấu "=" xảy ra khi trong 4 số a,b,c,d có 2 số bằng 0 và 2 số còn lại bằng nhau nhưng dương.

$"="\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a=b+c+d & \\ b=a+c+d& \\ c=a+b+d& \\ d=a+b+c& \end{matrix}\right. \Rightarrow (a;b;c;d)=(x;x;0;0)$ và các hoán vị của chúng.

Từ lúc đánh giá cách làm của bạn đã sai rồi

Bây giờ có phải mục tiêu của bạn xuất hiện dấu bằng là các ẩn như nhau

Vậy ta cứ cho là dấu bằng của bạn xảy ra thi như vầy

$\Leftrightarrow 4\sqrt{\frac{a}{b+c+d}}\geq 2\Leftrightarrow \sqrt{\frac{a}{3a}}\geq \frac{1}{2}\rightarrow \sqrt{\frac{1}{\sqrt{3}}}\geq 2$

Vậy dấu bằng không bao giờ xảy ra, tức bài này không có giá trị nhỏ nhất đâu

bài này nhân giá trị nhỏ nhất =2, sao lại không có.

Cộng thế nào mà ra được?

$\left\{\begin{matrix} 4x^3-x+3=y & \\ y^3-x^3=\frac{3}{2}& \end{matrix}\right. \Rightarrow \left\{\begin{matrix} 4x^3-x+3=y& \\ 2y^3-2x^3=3 & \end{matrix}\right.\Rightarrow 2(x+y)(x^2-xy+y^2)-(x+y)=0\Rightarrow x=-y$

giải pt:

$(3x+1)\sqrt{2x^2-1}=5x^2+\frac{3}{2}x-3$

giải pt:

$(3x+1)\sqrt{2x^2-1}=5x^2+\frac{3}{2}x-3$

cách 2: bình phương 2 pt đã cho, và sẽ ra pt bậc 4......cụ thể như sau:

$ptdc\Rightarrow (6x+2)^2(2x^2-1)=(10x^2+3x-6)^2
\Leftrightarrow 28x^4+12x^3-83x^2-12x+40=0$

$\Leftrightarrow (7x^2-4x-8)(4x^2+4x-5)=0
\Leftrightarrow \begin{bmatrix}
x=\frac{2\pm 2\sqrt{15}}{7} & \\
 x=\frac{\sqrt{6}-1}{2}&
\end{bmatrix}$

*) trong 2 cách mình đã loại một nghiệm không thoả mãn ĐK bài toán đó là nghiệm: $x=\frac{-\sqrt{6}-1}{2}$

$(2\sqrt{2x-1}-4)x^2+(7-4\sqrt{2x-1})x+\sqrt{2x-1}-3=0$

$2\sqrt{2x-1}.x^2-4x^2-4\sqrt{2x-1}+7x+\sqrt{2x-1}-3=0 \Rightarrow x=2+\sqrt{2}$

$(\frac{sin2x+cos4x}{sin3x+cos3x})^{2}= 2\sqrt{2}sin(x+\frac{\pi }{4})+3$

pttd:

$\left (\frac{\sin 2x+\cos 4x}{\sin 3x+\cos 3x} \right )^2=2( \sin x+ \cos x)+3 \Leftrightarrow (\cos x-\sin x)^2=2(\sin x+\cos x)+3 \Leftrightarrow 1-2\sin x.\cos x=2(\sin x+\cos x)+3$

sau đó đặt $\sin x+\cos x =t$

đến đây là OK rồi!!!!

Dat 

$\left\{\begin{matrix} a=x-1 & \\ b=y-1 & \end{matrix}\right.$

Thay vao he ta co

$\left\{\begin{matrix} a+\sqrt{a^2+1}=3^b & \\ b+\sqrt{b^2+1}=3^a & \end{matrix}\right.$

Ve tru ve ta co

$a+\sqrt{a^2+1}+3^a=b+\sqrt{b^2+1}+3^b$

Dung ham so va suy ra duoc $a=b$

OK

từ $a=b$ suy ra $x=y$

để ý ta có hằng đẳng thức::

$xy(x+y)+yz(y+z)+xz(x+z)+2xyz=(x+y)(y+z)(x+z)$

áp dụng:

từ hệ ta được:

$\left\{\begin{matrix} xy(x+y)+yz(y+z)+xz(x+z)=48 & \\ (xyz)^2(x+y)(y+z)(x+z)=2160& \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} (x+y)(y+z)(z+x)-2xyz =48& \\ (xyz)^2(x+y)(y+z)(x+z)=2160& \end{matrix}\right.$

đến đây chắc OK! rồi