Xác định đa thức bậc 7 f(x) có hệ số nguyên và có $\sqrt[7]{\frac{3}{5}}+\sqrt[7]{\frac{5}{3}}$ là 1 nghiệm

Cách khác (của Mr Toàn Shinoda )

Đặt $\sqrt[7]{\frac{3}{5}}=a; \sqrt[7]{\frac{5}{3}}=\frac{1}{a} \Rightarrow x=a+\frac{1}{a}\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a^{2}+\frac{1}{a^{2}}+2=x^{2}\\ a^{3}+\frac{1}{a^{3}}+3x=x^{3} \end{matrix}\right. \Rightarrow x^{5} =(a^{2}+\frac{1}{a^{2}}+2)(a^{3}+\frac{1}{a^{3}}+3x)=a^{5}+\frac{1}{b^{5}}+3x(a^{2}+\frac{1}{a^{2}})+2(a^{3}+\frac{1}{a^{3}})=a^{5}+\frac{1}{a^{5}}+5x^{3}-12x\Rightarrow x^{7}=(a^{5}+\frac{1}{a^{5}}+5x^{3}-12x)(a^{2}+\frac{1}{a^{2}}+2)=...$

Thay vào như trên chắc là ra

1.$A_{n}=2^{3n}+3^{6n+2}+5^{6n+2}$
với n=0,1,2,.....,1999
Tìm UCLN của $A_{0},A_{1},...A_{1999}$
2.Tìm n nguyên dương : $n.2^{2n+1}+1$ là số chính phương
3.Tìm các số tự nhiên a,b : $2^{a}.3^{b}+9$ là số chính phương
4.Tìm số chính phương dạng $\overline{abcdd}$
5.Tìm n nguyên dương: $\sqrt{\frac{4n-2}{n+5}}$ là số hữu tỉ
6.Tìm n nguyên dương: n không chia hết cho 10, n>1000, n là lập phương của 1 số và khi xóa đi 3 chữ số tận cùng nó vẫn là lập phương
7.Cho $a_{1},...a_{10}$ nguyên dương phân biệt : $a_{1}+...+a_{10}$=62.CMR :$a_{1}...a_{10}\vdots 60$
8.Tìm số nguyên tố p để tồn tại x,y nguyên dương thỏa mãn: $x(y^{2}-p)+y(x^{2}-p)=5p$
9.Cho a,b,c là các số nguyên lẻ.CMR: PT $ax^{2}+bx+c=0$ không có nghiệm hữu tỉ
10.Tìm một dãy dài nhất các số nguyên dương liên tiếp: mỗi một số trong dãy có thể viết được thành tổng 2 số nguyên tố (các số nguyên tố có thể trùng nhau)
11.Cho 9 số nguyên tố >5.CMR luôn tồn tại 6 số $a_{1},...a_{6}$ mà $(a_{1}-a_{2})(a_{3}-a_{4})(a_{5}+a_{6})\vdots 1800$
12.Cho $p_{1}=5$,$p_{n}$ là ước nguyên tố nhỏ nhất của
$A_{n}=1+p_{1}...p_{n-1}$
CMR: $p_{n}\neq 7$ với mọi n

9) Để pt có nghiệm hữu tỉ thì $\Delta$ là số chính phương

Ta có $\Delta =b^{2}-4ac$

b là số lẻ $\Rightarrow b^{2}\equiv 1 (mod 8)$

Đặt $\left\{\begin{matrix} a=2a'+1\\ c=2c'+1 \end{matrix}\right.$  (ĐK a';c' là số nguyên)

$\Rightarrow 4ac=4(2a'+1)(2c'+1)=16a'.c'+8a'+8c'+4\equiv 4 (mod 8) \Rightarrow \Delta =b^{2}-4ac\equiv 5 (mod 8)$  không là số chính phương

=> pt không có nghiệm hữu tỉ

Tính giá trị của biểu thức $M=\frac{1}{1+\sqrt{2a+1}}+\frac{1}{1-\sqrt{2a-1}}$ biết rằng: $\frac{a}{x+y}=\frac{7}{x+z}$ và $\frac{49}{(x+z)^2}=\frac{13}{(z-y)(2x+y+z}$

$\frac{a}{x+y}=\frac{7}{x+z}=\frac{a+7}{2x+y+z}=\frac{a-7}{y-z}$

$\Rightarrow \frac{49}{(x+z)^{2}}=\frac{a^{2}-49}{(y-z)(2x+y+z)}=\frac{13}{(y-z)(2x+y+z)}$

$\Rightarrow a^{2}=62\Rightarrow a=\sqrt{62}$   (vì $a\geq \frac{1}{2}$ ). 

Đến đây chắc là được rồi

Cho x là số thực TM $x^{2}-4x+1=0$. Tính giá trị biểu thức $A=x^{5}+\frac{1}{x^{5}}$

$x^{2}-4x+1=0\Rightarrow x+\frac{1}{x}=4$

Tiếp tục tính $x^{2}+\frac{1}{x^{2}};x^{3}+\frac{1}{x^{3}}$ rồi nhân vào là ra

Kq:724

Cho đa thức $P(x)=x^{4}+ax^{3}+bx^{2}+cx+d$. Biết $P(1)=2$, $P(2)=4$, $P(3)=6$. Tính $P(0)+P(4)$.

Đặt  $f(x)=P(x)-2x\Rightarrow f(1)=f(2)=f(3)=0\Rightarrow$ đa thức có nghiệm 1,2,3

Mà P(x) bậc 4, hệ số cao nhất là 1 $\Rightarrow P(x)=(x-1)(x-2)(x-3)(x-k)$   (ĐK:...)

Thay vào ta có  $P(0)+P(4)=6k+3.2.1.(4-k)=24$

$ab+11> 3$ => ab+11 là số lẻ=> a và b phải có 1 số chẵn

-Nếu a=2 => 14+b và 2b+11 là số nguyên tố

Xét số dư khi chia cho 3:

Với b chia 3 dư 1 thì 14+b chia hết cho 3 ko là số nguyên tố

Với b chia 3 dư 2 thì 2b+11 chia hết cho 3 ko là số nguyên tố

=> b chia hết cho 3 => b=3

-Nếu b=2 => 7a+2 và 2a+11 là số nguyên tố. chứng minh tương tự

Vậy $(a;b)\in \begin{Bmatrix} (2;3), & (3;2) \end{Bmatrix}$

Tìm tất cả các số nguyên dương m, n thỏa mãn $3^{m}$ = $n^{2}$ + 2n - 8

$3^{m}=(n-2)(n+4)$  Vì n+4>n-2

$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} n-2=3^{a}\\ n+4=3^{b} \end{matrix}\right.$    (Trong đó$a,b\in N^{\ast },b> a$ )

$\Leftrightarrow 3^{a}(3^{b-a}-1)=6\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a=1\\ 3^{b-a}=3 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a=1\\ b=2 \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow m=3\Rightarrow (n+1)^{2}=20\Rightarrow n\notin N^{*}$

Vậy ko tìm đc m,n thỏa mãn

A là bội của 5 nên $A$ tận cùng là 5 hoặc 0 $\Rightarrow A+7$ tận cùng là 2 hoặc 7 vô lý và $A+7$ là số chính phương

thế còn các trường hợp kia, đọc lại đề đi

-Nếu A thỏa mãn a và b thì A chia hết cho 125 => A ko thể có 2 chữ số. (loại)

-Nếu A thỏa mãn a và c thì A+7 chia 5 dư 2 ko là số chính phương (loại)

-Nếu A thỏa mãn a và d thì A-20 là số chính phương có tận cùng là 5 => A-20=25 => A=45

-Nếu A thỏa mãn b và c thì A+7 chia hết cho 7

=> A+7 chia hết cho 49 => A=42

-Nếu A thỏa mãn b và d thì A-20 là số chính phương chia 21 dư 1

=> A-20=64 => A=84

-Nếu A thỏa mãn c và d thì đặt A+7=x²; A-20=y²

=> x²-y²=27. đến đây giải pt ước số

tìm số tự nhiên biết số đó bằng 4 lần tổng các chữ số của nó

Số đó không thể là số có 4 chữ số trở lên, cũng không thể là số có  1 chữ số

Nếu số đó là số có 3 chữ số, gọi số đó là $\widehat{abc}$  (ĐK:  $a,b,c\in \mathbb{N};0< a\leq 9;b,c\leq 9$  )

 $\widehat{abc}=4(a+b+c)\Leftrightarrow 96a+6b=3c a\geq 1\Rightarrow 3c\geq 96\Rightarrow c\geq 32$  (trái ĐK)

=> số đó là số có 2 chữ số. Đến đây thì chắc là ok

$a/$
Pt là ptb2 nên $m\neq -3$
$Pt$ có 2 nghiệm pb $\Leftrightarrow \Delta '=(m^2+3m)^2-(m+3)(m^3+12)\geq 0\Leftrightarrow \begin{bmatrix}m\geq 2  &  & \\ -3\leq m\leq -2  &  &  \end{bmatrix}$

$m$ nguyên nhỏ nhất khi $m=-3$

 

$b/$

Áp dụng Vi-et ta có:

$\left\{\begin{matrix}x_1+x_2=\frac{2(m^2+3m)}{m+3}=2m & & \\ x_1.x_2=\frac{m^3+12}{m+3} & & \end{matrix}\right.$

Vậy $x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1.x_2=4m^2-2(m^3+12)/(m+3)=t^2$ 

Hình như không được

hai cái này mâu thuẫn nhỉ

phần b nó chỉ là số nguyên thôi

b) $4m^{2}-2.\frac{m^{3}+12}{m+3}=k$   ( $k\in Z$ )

$\Leftrightarrow m^{3}+12\vdots m+3 \Leftrightarrow (m+3)(m^{2}-3m+9)-15\vdots m+3 \Leftrightarrow m+3\in Ư(15)$ 

Tìm các số nguyên $x, y$ thỏa mãn đẳng thức:

a. $x^{2} + 4x + 1 = y^{4}$

b. $x^2 - xy - y + 2 = 0$

a, $(x+2)^2-3=y^4\Rightarrow (x+2-y^2)(x+2+y^2)=3$

đến đây thì ok rồi

P/s: Trang Luong : chú ý gõ công thức Toán học

1) Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình

$a) 3^x+1=(y+1)^2$

 

 

a) $3^{x}=y(y+2)$

Vì y và y+2 không đồng thời chia hết cho 3 và y<y+2

$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} y=1\\ y+2=3^{x} \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=1\\ y=1 \end{matrix}\right.$

Tìm nghiệm nguyên $3x^2+4y^2+6x+3y-4=0$

$3(x^{2}+2x+1)+4y^{2}+3y-7=0$

=> $3(x+1)^{2}+(4y+7)(y-1)=0$

=> $(4y+7)(y-1)\leq 0$

=> $\frac{-7}{4}\leq y\leq 1$

Mà x;y nguyên. đến đây xét các trường hợp của y

^{Tìm nghiệm nguyên}

$109.x^3 - 1000.y^3= 2009.2010.2011$

 

Giải giúp mình với, toán 8 nha. Thanks so much !!!

$\left\{\begin{matrix} 1000y^{3}\vdots 2\\ 2009.2010.2011\vdots 2 \end{matrix}\right. \Rightarrow x\vdots 2\Leftrightarrow VP\vdots 4$

Mà VT ko chia hết cho 4 => vô nghiệm

Cho a,b,c là các số dương khác nhau đôi một. 

Tìm Max: $P=\frac{(a-x)(a-y)}{a(a-b)(a-c)}+\frac{(b-x)(b-y)}{b(b-c)(c-a)}+\frac{(c-x)(c-y)}{c(c-a)(c-b)}$  với x,y>0; x+y=1

Cho pt $x^2-2x-2m^2=0$.tìm m để pt có 2 nghiệm (x;y) x,y khác 0 và thỏa mãn $x_1^2=4x_2^2$

$\Delta '=1+2m^{2}> 0\Rightarrow$ pt có 2 nghiệm phân biệt

Theo Viet:

$\left\{\begin{matrix} x_{1}+x_{2}=2\\ x_{1}.x_{2}=-2m \end{matrix}\right. \Rightarrow (x_{1}-2x_{2})(x_{1}+2x_{2})=0 \Leftrightarrow (2-3x_{2})(2+x_{2})=0\Rightarrow \begin{bmatrix} x_{2}=\frac{2}{3}\\ x_{2}=-2 \end{bmatrix} \Rightarrow \begin{bmatrix} x_{1}=\frac{4}{3}\\ x_{1}=4 \end{bmatrix} \Rightarrow \begin{bmatrix} m=\frac{-4}{9}\\ m=-4 \end{bmatrix}$

tìm GTNN của : $P=$ $\sqrt{(2010+x)^2}$ $\sqrt{(x-2011)^2}$

ơ thế rốt cuộc ở giữa 2 cái căn là dấu gì vậy?? Đề bài đâu có cho dấu + nhỉ??

Tìm các tam thức bậc 2 dạng f(x) = $x^{2}-bx+c$ nhận b và c là nghiệm, xin các bạn giải giúp, cám ơn các bạn rất nhiêu.

Để f(x) nhận b và c là nghiệm thì theo hệ thức Viet:

$\left\{\begin{matrix} b+c=b\\ bc=c \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} c=0\\ b\in \mathbb{R} \end{matrix}\right.$

Tìm các số nguyên dương x,y thoả $x=\sqrt{2x(x-y)+2y-x}+2$

$x^{2}-4x+4=2x^{2}-2xy+2y-x\Leftrightarrow x^{2}-2xy+3x+2y-4=0$

Pt có nghiệm nguyên khi $\Delta$ là số chính phương

$\Delta =(2y-3)^{2}-4(2y-4)=4y^{2}-20y+25=(2y-5)^{2}$

$\Rightarrow \begin{bmatrix} x=\frac{2y-3+2y-5}{2}\\ x=\frac{2y-3+5-2y}{2} \end{bmatrix} \Leftrightarrow \begin{bmatrix} x=2y-4\\ x=1 \end{bmatrix}$

Đến đây bạn tiếp tục làm nhé 

Tìm các chữ số x; y; z; t ;u thỏa mãn:

$\overline{xy}+\overline{ztu}=\sqrt{\overline{xyztu}}$

$\sqrt{a^{2}+(2^{a-3}+2^{-a-1})^{2}}+\sqrt{a^{4}+2a^{2}+2}=\sqrt{(a^{2}+a+1)^{2}+(1+2^{a-3}+2^{-a-1})^{2}}$

cho x là số tự nhiên chẵn khác 0

1. Tìm số dư S(x)=6^x+2008 khi chia cho 1260

2. Tồn tại hay không số tự nhiên x có dạng x=12ⁿ (n là số nguyên dương) sao cho S(x) chia hết cho 2009

                                            THI THỬ KHTN ĐỢT 4 ( TOÁN 2 ) 

 

b) Cho $0 \leq x,y,z\leq 1$ . Giải phương trình

             $\frac{x}{xz+y+1} + \frac{y}{xy+z+1} + \frac{z}{yz+x+1} = \frac{3}{x+y+z}$

 

Mình làm một cách khác bài BĐT:

gt=> $xyz\leq 1$  $\sum \frac{x}{xz+y+1}\geq \sum \frac{x}{xz+xy^{2}z+xyz}=\sum \frac{1}{y^{2}z+yz+z}\geq \frac{9}{x^{2}y+y^{2}z+z^{2}x+xy+yz+zx+x+y+z}$

Mà  $xy+yz+zx\leq x^{2}+y^{2}+z^{2}\leq x+y+z$

và $x^{2}y+y^{2}z+z^{2}x\leq xy+yz+zx\leq x+y+z$

$\Rightarrow \sum \frac{x}{xz+y+1}\geq \frac{9}{3(x+y+z)}=\frac{3}{x+y+z}$

Dấu bằng xảy ra khi x=y=z=1

Mình làm một cách khác bài BĐT:

gt=> $xyz\leq 1$  $\sum \frac{x}{xz+y+1}\geq \sum \frac{x}{xz+xy^{2}z+xyz}=\sum \frac{1}{y^{2}z+yz+z}\geq \frac{9}{x^{2}y+y^{2}z+z^{2}x+xy+yz+zx+x+y+z}$

Mà  $xy+yz+zx\leq x^{2}+y^{2}+z^{2}\leq x+y+z$

và $x^{2}y+y^{2}z+z^{2}x\leq xy+yz+zx\leq x+y+z$

$\Rightarrow \sum \frac{x}{xz+y+1}\geq \frac{9}{3(x+y+z)}=\frac{3}{x+y+z}$

Dấu bằng xảy ra khi x=y=z=1

thấy cái bài này hai bạn ra $VT\leq VP một mình mình ra  VT\geq VP$  

Mọi người xem mình sai ở đâu với