Áp dụng BĐT Buniacopski ta có:

$(x^{2}+\frac{1}{y^{2}})(y^{2}+\frac{1}{x^{2}})\geqslant (xy+\frac{1}{xy})^{2}\geqslant (2\sqrt{xy.\frac{1}{xy}})^{2}=4$

Dấu bằng sai rồi bạn nhé

Cách làm

$(x^{2}+\frac{1}{y^{2}})(y^{2}+\frac{1}{x^{2}})=x^{2}y^{2}+\frac{1}{x^{2}y^{2}}+2$

Áp dụng bdt cauchy ta có

$x^{2}y^{2}+\frac{1}{256x^{2}y^{2}}\geq 2\sqrt{\frac{1}{256}}=\frac{1}{8}$

$\frac{255}{256x^{2}y^{2}}\geq \frac{255}{16}$

vậy $P\geq \frac{1}{8}+\frac{255}{16}+2$$=18.0625$

Dấu bằng sảy ra khi x=y=1/2

tam giác ABC nhọn đường cao AD BE CF trực tâm H, K là trung điểm AH EF giao AD tại I.
CMR I là trực tâm tam giác KBC
p/s tớ là mem mới mong được mọi người ủng hộ

Cho đường tròn (O;R). Từ một điểm A trên đường tròn kẻ tiếp tuyến d với đường tròn. Trên d lấy M (M khác A), kẻ cát tuyến MNP và gọi K là trung điểm của NP, kẻ tiếp tuyến MB (B là tiếp điểm). Kẻ AC vuông góc MB, BD vuông góc MA. Gọi H là giao điểm của AC và BD, I là giao điểm của OM và AB.

a) CMR AMBO là tứ giác nội tiếp.

b) CMR O, K, A, M, B cùng thuộc một đường tròn.

c) CMR $OI.OM=R^2$; $OI.IM=IA^2$.

d) CMR OAHB là hình thoi.

e) CMR O, H, M thẳng hàng.

g) Tìm quỹ tích điểm H khi M chuyển động trên d.

P/s: Giúp mình câu cuối nhé, nghĩ mãi chưa ra!!!

theo mình bài này không nói rõ yếu tố thay đổi là gì và cũng không nói rõ yếu tố cố định.Nếu A cố định thì từ câu d ta suy ra luôn AH=AO suy ra H thuộc đường tròn tâm A bán kính R

Cho tam giác ABC nhọn. Tìm điểm M trong tam giác ABC để $MA+MB+MC$ đạt giá trị lớn nhất

bạn ơi lâu rồi mà không ai trả lời post lời giải đi bạn

$KD= \frac{1}{2}EF$ nên $EF = \frac{1}{4}AB$
Mà  tam giác ABH đồng dạng tam giác tam giác FEH nên $\frac{AB}{EF}= \frac{BH}{EH}$

$BH = BE
HE = 2DE$
nên BH/HE =BE/2DE=1/4
suy ra BE=2DE
suy ra $\widehat{BEA}= 60$

kéo dài  AO cắt O tại K suy ra AKB =60 đến đây tính được AB theo R nhờ có góc 60 thì dễ rồi

Áp dụng BĐT $AM-GM$ ta có

 

$\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}+a+b+c\geqslant 2\sqrt{(a+b+c)(\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a})}$

 

Giờ ta cần chứng minh

 

$(a+b+c)(\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a})\geqslant (a^2+b^2+c^2)(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a})$

 

$\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+\sum \frac{ab^2}{c}\geqslant ab+bc+ac+\sum \frac{a^2b}{c}$

 

$\Leftrightarrow \sum \frac{c(a-b)(a-c)}{b}\geqslant 0$ (cái này đúng theo BĐT S. Chur)

 

Vậy ta có đpcm

C2.

Chọn a sao cho $Max(a,b,c)\geq a\geq Min(a,b,c)$ (dòng này suy ra cuối cùng nhưng viết ở đầu)

Áp dụng bdt cauchy cho 2 số dương

$2\sqrt{(a^{2}+b^{2}+c^{2})(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a})}= 2\sqrt{\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{a}.[a.(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a})]}\leq \frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{a}+\frac{a^{2}}{b}+\frac{ab}{c}+c$

$= a+\frac{b^{2}}{a}+\frac{c^{2}}{a}+\frac{a^{2}}{b}+\frac{ab}{c}+c$

Ta có đpcm nếu cm được

$\frac{a^{2}}{b}+\frac{b^{2}}{c}+\frac{c^{2}}{a}+a+b+c\geq a+\frac{b^{2}}{a}+\frac{c^{2}}{a}+\frac{a^{2}}{b}+\frac{ab}{c}+c$

$\Leftrightarrow \frac{b^{2}}{c}+b\geq \frac{b^{2}}{a}+\frac{ab}{c}$

$\Leftrightarrow ab+ac\geq bc+a^{2}$

$\Leftrightarrow (a-b)(a-c)\leq 0$

Đúng với cách chọn a ban đầu ta có đpcm 

Học Bdt không giỏi nhưng cũng có nhiều bài hay 

145.Cho a,b,c>0 CMR

$\frac{a^{2}}{b}+\frac{b^{2}}{c}+\frac{c^{2}}{a}+a+b+c\geq 2\sqrt{(a^{2}+b^{2}+c^{2})(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a})}$

146

a,b,c là độ dài 3 cạnh tam giác CMR

$(a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a)^{2}\geq abc(a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2})$

Bài 151 : Cho : $x+y+z=3$; $0\leq x;y;z\leq 2$. Tìm $GTNN;GTLN$ của :
$$A=x^{4}+y^{4}+z^{4}+12(1-x)(1-y)(1-z)$$

$151/$

Thấy 1 bài dùng pp của bài 147 chém luôn

Đặt x-1=a

y-1=b

z-1=c

Từ giả thiết ta có a+b+c=0 a,b,c$\epsilon$ [-1;1]

A=$(a+1)^{4}+(b+1)^{4}+(c+1)^{4}-12abc$

$=a^{4}+b^{4}+c^{4}+4(a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc)+4(a+b+c)$ $+6(a^{2}+b^{2}+c^{2})+3$ 

Mặt khác $a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc=(a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ca)$

                 a+b+c=0

Nên

A=$a^{4}+b^{4}+c^{4}$ $+6(a^{2}+b^{2}+c^{2})+3$

Đến đây giải tương tự bài 147

đoạn này biến đổi ntn?

Nhân tung dòng thứ 2 ra rồi chuyển vế thôi bạn ạ

1 cách khác

$a+b+c=3\Rightarrow a-1+b-1+c-1=0$

Đặt a-1=x b-1= y c-1=z

Ta có x+y+z=0

x,y,z thuộc [-1;1]

Ta có 

$a^{2}+b^{2}+c^{2}=(x+1)^{2}+(y+1)^{2}+\left ( z+1 \right )^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}+3$

Mặt khác x+y+z=0 suy ra tồn tại 2 số dương hoặc 2 số âm g/s 2 số đó là x và y

$\Rightarrow x^{2}+y^{2}+z^{2}\leq \left | x \right |+\left | y \right |+\left | z \right |=\left | x+y \right |+\left | z \right |=2\left | z \right |\leq 2$

$\Rightarrow x^{2}+y^{2}+z^{2}+3\leq 5$

đpcm

(có thể sd cách này để cm bài bdt trong kì thi hsg tp hà nội)

Chú ý: Trích dẫn đề bài ra?

174. Giải hệ phương trình sau:

$\left\{\begin{matrix} \sqrt{\frac{20y}{x}}=\sqrt{x+y}+\sqrt{x-y} & \\ \sqrt{\frac{16x}{5y}}=\sqrt{x+y}-\sqrt{x-y}& \end{matrix}\right.$

Nhân vế theo vế cả 2 pt ta có 

$\sqrt{\frac{20.16.x.y}{5.x.y}}=(x+y)-(x-y)$

$2y=8$

$\Leftrightarrow y=4$

thay lại vào pt đầu tìm được x

165) $\left\{\begin{matrix}x+y+z=1 & & \\ xy+yz+zx=\frac{1}{2} & & \\ \frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}=2 \end{matrix}\right.$

Ta có

$\begin{matrix}\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}=2 \\ \Leftrightarrow (x+1)(y+1)+(y+1)(z+1)+(z+1)(x+1)=2(x+1)(y+1)(z+1) \\ \Leftrightarrow xy+yz+zx+2(x+y+z)+3=2xyz+2(xy+yz+zx)+2(x+y+z)+2 \\ \Leftrightarrow 3=2xyz+xy+yz+zx \\ \Leftrightarrow xyz=\frac{5}{4} \end{matrix}$

Đến đây tương tự bài 164

p/s dạo này máy load Latex hơi lâu làm 1 thể như thế này cho nhanh

Còn 1 số bài chưa có lời giải mình post lại để chống loãng topic

$176*\left\{\begin{matrix} x^2-yz=a\\ y^2-xz=b\\ z^2-xy=c \end{matrix}\right.$

Tính $x,y,z$ theo các hằng số $a,b,c$

170*.$\left\{\begin{matrix} a(a+b)=3\\ b(b+c)=30\\ c(c+a)=12 \end{matrix}\right.$ 

157) $\left\{\begin{matrix}2x+2y-\sqrt{xy}=3 & & \\ \sqrt{3x+1}+\sqrt{3y+1}=4 & & \end{matrix}\right.$

Nhân pt đầu với 3 rồi đặt $\sqrt{3x+1}=a$

                                        $\sqrt{3y+1}=b$

pt$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}6x+6y-\sqrt{9xy}=9 & & \\ \sqrt{3x+1}+\sqrt{3y+1} & & \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}2a^{2}+2b^{2}-\sqrt{(a^{2}-1)(b^{2}-1)}=12 & & \\ a+b=4 & & \end{matrix}\right.$
Đến đây đặt x+y=S xy=P rồi giải hpt đối xứng loại 1

Bài 96:GPT

$\sqrt[3]{7x-8}+\sqrt{\frac{7-2x^{2}}{6}}=x$

Chú ý STT

 

Cách 1:
$\sqrt[3]{3x^2-3x+3}-\sqrt{\frac{x^3}{3}-\frac{3}{4}}=\frac{1}{2}\Leftrightarrow \sqrt[3]{3x^2-3x+3}-x+x-\frac{1}{2}-\sqrt{\frac{x^3}{3}-\frac{3}{4}}=0\Leftrightarrow \frac{-x^3+3x^2-3x+3}{A^2+xA+x^2}+\frac{x^2-x+\frac{1}{4}-\frac{x^3}{3}+\frac{3}{4}}{x-\frac{1}{2}+\sqrt{\frac{x^3}{3}-\frac{3}{4}}}=0\Leftrightarrow (x^3-3x^2+3x-3)(\frac{-1}{A^2+xA+x^2}-\frac{1}{3(x-\frac{1}{2}+\sqrt{\frac{x^3}{3}-\frac{3}{4}})})=0$

Cách 2:

$\sqrt[3]{3x^2-3x+3}=\sqrt{\frac{x^3}{3}-\frac{3}{4}}+\frac{1}{2}=y\Rightarrow \left\{\begin{matrix}3x^3-3x+3=y^3 & & \\ \frac{x^3}{3}-\frac{3}{4}=y^2-y+\frac{1}{4} & & \end{matrix}\right.$

 

Hệ đối xứng

 

90) cách 3 mặc dù cũng tương tự cách 2 của bạn và cũng phức tạp hơn
Đặt u=$\sqrt[3]{3x^{2}-3x+3}$ $\rightarrow u^{3}=3x^{2}-3x+3$
v=$\sqrt{\frac{x^{3}}{3}-\frac{3}{4}}$ $\rightarrow v^{2}=\frac{x^{3}}{3}-\frac{3}{4}$
Ta có hệ pt 

$\left\{\begin{matrix}u-v=\frac{1}{2} \\ u^{3}=3x^{2}-3x+3 \\ v^{2}=\frac{x^{3}}{3}-\frac{3}{4} \end{matrix}\right.$

Thay $v=u-\frac{1}{2}$

ta được hệ 
$\left\{\begin{matrix} u^{3} =3x^{2}-3x+3\\x^{3}=3u^{2}-3u+3 \end{matrix}\right.$
Khá phức tạp nhỉ chắc cách bạn Hoàng vẫn hay hơn

Chà topic sôi động quá nhỉ.Đóng góp thêm 1 bài rồi off.Bài này rất hay ,phải chuyển về dx2 để giải
Bài 90
$\sqrt[3]{3x^{2}-3x+3}-\sqrt{\frac{x^{3}}{3}-\frac{3}{4}}=\frac{1}{2}$

Giải pt:

65) $x^4+\sqrt{x^2+2}=2$

 

65.$x^{4}+\sqrt{x^{2}+2}=2$

$\Leftrightarrow$$x^{4}=-\sqrt{x^{2}+2}+2 \Leftrightarrow x^{4}+x^{2}+\frac{1}{4}=x^{2}+2-\sqrt{x^2+2}+\frac{1}{4}$

$\Leftrightarrow (x^{2}+\frac{1}{2})^{2}=(\sqrt{x^{2}+2}-\frac{1}{2})^{2}$
tới đây dễ rồi

Đề đúng đó bạn ạ
96
Đặt $\sqrt[3]{7x+8}$=a  $\sqrt{\frac{7-2x}{6}}$=b
ta có hệ pt
$\left\{\begin{matrix}a+b=x \\ a^{3}-8=7x \\ 6b^{2}+2x^{2}=7 \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}b=x-a \\ a^{3}-8=7.x \\ 6b^{2}+2x^{2}=7 \end{matrix}\right.$

Thay 7 ở pt thứ 3 vào pt thứ 2 thay b=x-a ta được hpt mới

$\left\{\begin{matrix}b=x-a \\ x.[2x^{2}+6(x-a)^{2}]=a^{3}-8 \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x-a=b \\ 8x^{3}-12x^{2}a+6a^{2}x-a^{3}=-8 \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}(2x-a)^{3}=-8 \\ x-a=b \end{matrix}\right.$
Từ đó suy ra 2x-a=-2
suy ra $2x+2=\sqrt[3]{7x+8}$

Thôi chém bài 105 cho nhanh rồi off
$\left\{\begin{matrix}\frac{2x^2}{x^2+1}=y & & \\ \frac{2y^2}{y^2+1}=z & & \\ \frac{2z^2}{z^2+1}=x \end{matrix}\right.$

Từ pt suy ra x,y,z$\geq$0

Áp dụng bdt cauchy ta có $x^{2}+1\geq 2x$ Suy ra $\frac{2x^{2}}{x^{2}+1}\leq x$
Suy ra $y\leq x$

Tương tự $z\leq y$

$x\leq z$
Suy ra x=y=z=1(Dấu bằng cauchy)

160.

$\left\{\begin{matrix}x^{3}-y^{2}-y=\frac{1}{3} & & \\ y^{3}-z^{2}-z=\frac{1}{3} & & \\ z^{3}-x^{2}-x=\frac{1}{3} & & \end{matrix}\right.$

$147$: $\left\{\begin{matrix} x^4+y^2\leq 1\\ x^5+y^3\geq 1 \end{matrix}\right.$

Ta có:

$x^{4}+y^{2}\leq 1\rightarrow x;y\epsilon [-1;1]$

Mặt khác vì $x^{5}+y^{3}\geq 1$

         x thuộc [-1;1] nên suy ra y không âm

         y thuộc [-1;1] nên suy ra x không âm

Từ đó ta có $x^{5}\leq x^{4}$

                   $y^{3}\leq y^{2}$

suy ra $1\leq x^{5}+y^{3}\leq x^{4}+y^{2}\leq 1$

suy ra $x^{5}+y^{3}=x^{4}+y^{2}$

Kết luận $(x;y)=(1;0)(0;1)$

106)

$(2)\Leftrightarrow y^2-5x^2=4$ (*)

Thay vào $(1)$ được: $x^3+(y^2-5x^2)y=y^3+16x\Leftrightarrow 25y^2=x^2-32+\frac{16^2}{x^2}$
Có: $25y^2=100+125x^2$ (do (*))

Vậy $x^2-32+\frac{256}{x^2}=100+125x^2$
Nhân thêm với $x^2$ để giải

C2 (bằng pp đẳng cấp)

$x^{3}-y^{3}=16x-4y$
TH1 y=0 suy ra vô lý
TH2 y$\neq$0
Đặt x=ty ta có

$\left\{\begin{matrix}t^{3}y^{3}-y^{3}=16ty-4y & & \\ y^{2}-5t^{2}y^{2}=4 & & \end{matrix}\right.$

$\left\{\begin{matrix}t^{3}y^{2}-y^{2}=16t-4 & & \\ y^{2}-5t^{2}y^{2}=4 & & \end{matrix}\right.$

Đến đây làm tương tự pp đẳng cấp
 

161) $\left\{\begin{matrix}2y^2-x^2=1 & & \\ 2x^3-y^3=2y-x & & \end{matrix}\right.$

C2: 

$\left\{\begin{matrix}1=2y^{2}-x^{2} & & \\ 2x^{3}-y^{3}=2y-x & & \end{matrix}\right.$

Nhân vế theo vế 2 pt ta có 
$(2y^{2}-x^{2})(2y-x)=2x^{3}-y^{3}$

$\Leftrightarrow 5y^{3}-2x^{2}y-2xy^{2}-x^{3}=0$

$\Leftrightarrow (y-x)(5y^{2}+3xy+x^{2})$

Vậy x=y (do pt sau vô nghiệm)

Thay vào hệ ban đầu tìm được x