Cho a,b,c là những số dương sao cho abc=1. Tìm Max P=$\sqrt{\frac{2}{1+a}}+\sqrt{\frac{2}{1+b}}+\sqrt{\frac{2}{1+c}}$

Chứng minh rằng: $P=\frac{1}{2^{0}}+\frac{2}{2^{1}}+\frac{3}{2^{2}}+\frac{4}{2^{3}}+...+\frac{2014}{2^{2013}}<4$

Câu 3:

Từ gt, ta có:a^2+b^2+c^2=1\Rightarrow a,b,c\leqslant 1.

Mặt khác, có: a^2+b^2+c^2=a^3+b^3+c^3\Leftrightarrow a^2(1-a)+b^2(1-b)+c^2(1-c)=0

VT\geq 0 nên hai trong 3 số bằng 0, số còn lại bằng 1.

Vậy P=1

ĐỀ THI HSG TỈNH QUẢNG BÌNH NĂM 2013-2014

Thời gian: 150 phút

Câu 1: (3đ)

a) Cho x=$\sqrt[3]{7+5\sqrt{2}}+\sqrt[3]{7-5\sqrt{2}}$.

Chứng minh x là nghiệm của p/t: $x^3+3x-14=0$

b) Giải PT sau: $(1-\sqrt{1-x})\sqrt[3]{2-x}=x$

Câu 2:

a) Cho PT: $2x^2+(m-1)x-m-1=0$ (m tham số)

Tìm m để PT có 2 nghiệm là số đo 2 cạnh của một tam giác vuông có độ dài đường cao kẻ từ đỉnh góc vuông là $\frac{4}{5}$ (đơn vị độ dài).

b) Cho a,b,c là những số thực dương thỏa mãn: $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=1$

CMR: $(a-1)(b-1)(c-1))\leq \frac{1}{8}(a+1)(b+1)(c+1)$

Câu 3: Cho tam giác ABC vuông tại A (AB<AC). AH là đường cao, AD là phân giác. Qua A kẻ đường vuông góc với AD cắt đường tròn đường kính AB và AC lần lượt tại M,N. Đường thẳng BN cắt AD tại P và cắt đường tròn đường kính thứ hai tại Q (khác N). CMR:

a) Tam giác NAC vuông cân và: MA.NC=MB.NA

b) P trung điểm AD.

c) góc PQD= góc PDH.

Câu 4: Tìm n nguyên dương nhỏ nhất sao cho S(n).S(n+1)=87.

Giải hệ pt: 

$\left\{\begin{matrix}(1+x)(1+x^2)(1+x^4)=1+y^7 & & \\ (1+y)(1+y^2)(1+y^4)=1+x^7 & & \end{matrix}\right.$

ĐỀ THI HSG LỚP 9 NĂM HỌC 2013-2014

Thời gian: 150 phút

Tam giác ABC. Góc A=105 độ. Góc B = 45độ. Trung tuyến BM. Tính số đo góc C và gócAEB

GPT:

$4.x^3+4.x^2-5x+9=4.\sqrt[4]{16x+8}$

Cho các số thực x,y,z thỏa mãn: x+y+z=1.

CMR: $44(xy+yz+xz)\leq (3x+4y+5z)^2$

bài này nằm trong đề ra kỳ này THTT số 442 tháng 4 !

CMR nếu T=$2+\sqrt{12.n^2+1}$ là số tự nhiên thì T là Số chính phương.

Mình nghĩ đề sai. Vì n=1/2 thì T=6.???

Cho tam giác $ABC$ cân tại $A$. Trên tia đối tia $CA$ lấy điểm $E$, kẻ phân giác $AN$ của góc $BAC$ ( $N$ thuộc $BC$ ). GỌi $D$ là giao điểm của $AN$ và $BE$, kẻ $DF//AB$ ( $F$ thuộc $BC$ ), $A$\frac{NF}{NC}=\frac{NF}{BN}=\frac{FD}{AB}=\frac{FM}{AM} \Rightarrow \frac{NF}{NC}=\frac{FM}{AM}$$ cắt $BE$ tại $M$. Gọi $N$ là trung điểm $BC$. Chứng minh rằng : $MN//AC$

Bài này sử dụng hệ quả Talet: như sau:

$\frac{NF}{NC}=\frac{NF}{BN}=\frac{FD}{AB}=\frac{MF}{MA} \Rightarrow \frac{NF}{NC}=\frac{MF}{MA}\Rightarrow NM//AC$$

5.Tìm số nguyên tố p thỏa mãn: $4p^{2}+1$ và $6p^{2}+1$ cũng là số nguyên tố

Bài 5:

Xét p=5k$\pm$1 thì $4p^2+1$ chia hết 5 (loại)

Xét p=5k$\pm$2 thì $6p^2+1$ chia hết 5 (loại)

Vậy p=5k => p=5 (thỏa mãn)

 

2/ Cho tỉ lệ thức $\frac{a}{b}$=$\frac{c}{d}$ . Chứng minh rằng:

 a) $\frac{a+b}{a-b}$=$\frac{c+d}{c-d}$

 b)$\frac{5a+2c}{5b+2d}$=$\frac{a-4c}{b-4d}$

 c)$\frac{ab}{cd}$=$\frac{(a+b^){2}}{(c+d)^{2}}$

Nói chung câu này đặt: a/b=c/d=k suy ra:a=bk, c=dk rồi thế vào, rút gọn là 2 về = nhau

Tìm nghiệm nguyên của phương trình $2^{x}+1=xy$

Bạn xem trang này nhá!

http://diendantoanho...cho-2n1vdots-n/

Cho a,b,c>0 thỏa mãn: abc=1.

CMR:

T=$\frac{1}{a^3(b+c)}+\frac{1}{b^3(a+c)}+\frac{1}{c^3(a+b)}\geq \frac{3}{2}$

GPT: $x^{2014}=x^{2013}+x^{2012}...+x^2+x+2-\sqrt{2014x-4028}$

Chứng minh rằng nếu $a,b,c$ là độ dài ba cạnh của một tam giác có $p$ là nửa chu vi thì 

$\sqrt{p-a}+\sqrt{p-b}+\sqrt{p-c}\leq\sqrt{3p}$

Vì a,b,c là 3 cạnh của tam giác nên căn (p-a),... dương hết.

Áp dụng bđt Bunhiacopxki, ta đc:

$(\sqrt{p-a}+\sqrt{p-b}+\sqrt{p-c})^2\leq 3.(3p-a-b-c)=3.p \Leftrightarrow VT\leq \sqrt{3p}$ (đpcm)

Đẳng thức xảy ra: p-a=p-b=p-c hay a=b=c

với n=1 (đ)

n chẵn là hợp số

n lẽ: n=2k+1

$n^{4}+4^n=(n^2)^2+4^{2k+1}=(n^2)^2+(4^k.2)^2 =(n^2+4^k.2)^2-2.n^2.4^k.2 =(n^2+4^k.2)^2-(2.n.2^k)^2 =(n^2-2.n.2^k+4^k.2)(n^2+2.n.2^k+4^k.2)$ 

Mà mỗi số trong ngoặc dương hết. Là hợp số

Đ/S: n=1.

1.Cho a,b,c khác 0 và thỏa mãn: $\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}+\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}+\frac{b^2+a^2-c^2}{2ba}=1$ thì 2 trong 3 phân thức trên bằng 1 , phân thức còn lại =-1

2. Tìm GTNN: $\left | x+5 \right |-\left | x+1 \right |$

Giải phương trình $\sqrt[3]{x^3+12x+7}=\frac{3}{2}\sqrt{x^2-3x-2}+2x+2$

Bài này là của tạp chí TTT. Bạn tìm mua số tháng 3/2014 là có nhé! Mục GTQT đó bạn!

 

Giải phương trình, hệ phương trình

2. $\left\{\begin{matrix} 4xy+4(x^2+y^2)+\frac{3}{(x+y)^2}=7\\ 2x+\frac{1}{x+y}=3 \end{matrix}\right.$

Đặt: x+y=a; x-y=b.

$4xy=(x+y)^2-(x-y)^2$;

$x^2+y^2=\frac{1}{2}(a^2+b^2)$

$2x=a+b$

Ta có HPT: $a^2+b^2+2.(a^2+b^2)+\frac{3}{(x+y)^2} =7\right .$

và $a+b+\frac{2}{a}=3$

Đến đây thì giải tiếp thôi!

Cho 2 số thực x,y thỏa mãn đk x+y=1 và xy=1
CMR: $\frac{x}{y^{3}-1}-\frac{y}{x^{3}-1}+\frac{2\left ( x- y\right )}{x^{2}y^{2}+3}$=0

Đề này bị sai rồi, từ xy=x+y=1 thế thì kg có x,y thỏa mãn. 

Cho a,b,c :a+b+c=1. CMR: $44(ab+ac+bc)\leq (3a+4b+5c)^2$

Làm mãi mà kg có dấu bằng????

CHo x,y là những số tự nhiên, x+y=2014.

Tìm Min, Max: $M=x.(x^2+y)+y(y^2+x)$

Mình làm thế này. Sai thì thôi mọi người chỉ bảo 

 

Ta có $M=2014^3-6040xy$

 

Theo BĐT $AM-GM$ thì $xy\leqslant \frac{(x+y)^2}{4}=1014049$

 

Do đó $Min(M)=2014^3-1014049=8168164695$

 

Đẳng thức xảy ra khi $x=y=1007$

 

Vi $x,y\in \mathbb{N}\Rightarrow xy\geqslant 0\Rightarrow Max(M)=2014^3$

 

Đẳng thức xảy ra tại bộ $(x;y)=(0;2014)$ và hoán vị 

À, đề thiếu tí, x,y thuộc n sao chứ ghi rứa thì dễ!