Đề thi thử tốt nghiệp THPT - Quốc Học Huế 2014-2015

Giải bpt

$\sqrt{(x+1)(4x+1)}-\sqrt{2x^2+2x-5+\frac{1}{x}}\leq \sqrt{2x+\frac{2}{x}+1}$

đa thức

Giải hệ phương trình :

$\left\{\begin{matrix} \sqrt{4x+3}+\sqrt{3-2x}=4y^2+2\\ x^2+y^2-x+y=\frac{1}{2} \end{matrix}\right.$

Giải phương trình:

$x^2+3x-2=\frac{9x\sqrt{3x+1}}{(1+\sqrt{3x+1})^2}$

cho xx"song song yy" là 2 đường này cắt d tại A,B phân giác góc x"AB cắt phân giác góc ABy" ở C. Phân giác góc BAx cắt phân giác ABy ở D.

a, c/m CA vuông góc DA,CB vuông góc DB

b, c/m AC//BD,AD//BC

$x,y,z\geqslant 0.CMR:\sum \sqrt{\frac{x}{x+y+7z}}\geqslant 1$

1, cho $f(x)=x^{2n}+a_{2n-1}x^{2n-1}+...+a_1x+a_0$

n thuộc N*, a_i thuộc R

C/m rằng : $f(x)=(p(x))^2+ r(x)$ với p(x), r(x) thuộc R[x]và bậc deg(x) <n

2, cho $\alpha \epsilon R$ sao cho $\alpha \neq 0$:

C/m rằng mọi $x\geqslant 2$ thì:  $p(x)= x^nsin\alpha -x(sin(n\alpha))+sin(n-1)\alpha \vdots x^2-2xcos\alpha+1$

3, P(x), Q(x),R(x),S(x) thuộc R[x]sao cho:

$P(x^5)+xQ(x^5)+x^2 R(x^5)= (x^4+x^3+x^2+x+1)S(x)$

C/m: $p(x)\vdots (x-1)$

Câu 3 và 5a

Cho a,b,c>0. 

CMR: $\sum \frac{a+b}{ab+c^2}\geq 4.\sqrt{1+\frac{3abc}{\sum (a+b)^3}}$

Gpt nghiệm nguyên:

$(2.b^2+ab+a^2)(2b-a)+b+13=0$

tìm lim

Cho a,b,c là các số thực dương. Giải hệ phương trình 

$\left\{\begin{matrix} ax+by=(x-y)^2\\ by+cz=(y-z)^2\\ cz+ax=(z-x)^2 \end{matrix}\right.$

Dễ dàng $CM$ được: $ax.by.cz=(ax+by)(by+cz)(cz+ax)=(x-y)^2.(y-z)^2.(z-x)^2$

Đặt: $ax=m;by=n;cz=p\Rightarrow mnp=(m+n)(n+p)(m+p)=(mn+mp+n^2+np)(m+p)\Leftrightarrow \sum m^2(n+p)+mnp=0$

Để í rằng: $n+p=by+cz=(y-z)^2\geqslant 0;mnp=ax.by.cz\geqslant 0\Rightarrow VT\geqslant 0$

Do đó: $x=y=z=0$

From The Secret Makes The Women More Beautiful :v

Cho $a,b,c\geq 0$ thỏa mãn $a+b+c\geq 12$

Tìm GTNN của $P=\sum \frac{a^{3}}{\sqrt{ab}+2\sqrt{1+c\sqrt{c}}}$

$P=\sum \frac{a^3}{\sqrt{ab}+2\sqrt{(\sqrt{c}+1)(c-\sqrt{c}+1)}}\geqslant \sum \frac{a^3}{\sqrt{ab}+c+2}\geqslant \sum \frac{a^3}{\frac{a+b}{2}+c+2}\geqslant \frac{(\sum a^2)^2}{\frac{\sum a^2+3\sum ab}{2}+2\sum a}\geqslant \frac{(\sum a^2)^2}{\frac{9}{4}.\sum a^2+12}=\frac{t^2}{\frac{9}{4}t+12}\geqslant \frac{96}{5}\Leftrightarrow (t-48)(t+4.8)\geqslant 0(true:t=\sum a^2\geqslant \frac{(\sum a)^2}{3}\geqslant 48)$

tìm k nguyên dương để pt có nghiệm nguyên dương:

$x^2+y^2+x+y=kxy$

Cho $4x+ y =1$.Chứng minh $4x^{2}+y^{2}\geq \frac{1}{5}$

Chứng minh $\forall x\in \mathbb{R}$ ta có: $[x]+[x+\frac{1}{2}]=[2x]$

TH1 : nếu $0\leqslant \left \{ x \right \}< \frac{1}{2}$

 $[a+1/2]=[ [a]+ {a}+ 1/2]=[a]+ [ { a }+1/2]=[a]$

$[2a]=[2[a]+2{a}]=2[a]+[2{a }]=2[a]$

=>$[x]+[x+\frac{1}{2}]=[2x]$

TH2:  nếu $1/2 \leqslant \left \{ x \right \}< 1$

$[a+1/2]=[[a]+ { a}+1/2]=[a]+[{a}+1/2]=[a]+1$$

$[2a]=[2[a]+2{a}]=2[a]+[2 { a } ]=2[a]+1$

 =>$[x]+[x+\frac{1}{2}]=[2x]$

Đây là đề thi chuyển lớp

Chứng minh với mọi số dương a,b,c có tích bằng 1:

$\frac{1}{2a^{3}+b^{3}+c^{3}+2}+\frac{1}{a^{3}+2b^{3}+c^{3}+2}+\frac{1}{a^{3}+b^{3}+2c^{3}+2}\leq \frac{1}{2}$

$VT=\sum \frac{1}{(a^3+b^3+1)+(a^3+c^3+1)}\leqslant \frac{1}{4}\sum (\frac{1}{a^3+b^3+1}+\frac{1}{a^3+c^3+1})$

Quá đơn giản cho việc cm: $\sum \frac{1}{a^3+b^3+1}\leqslant \sum \frac{1}{ab(a+b)+abc}=\sum \frac{c}{a+b+c}=1\Rightarrow VT\leqslant \frac{1}{2}$

Các bài toán tổ hợp

1,có bao nhiêu số có 3 c/số # tạo thành từ các c/ số 1,2,3,4,6,7,9 thỏa mãn là số chẵn và lớn hơn 345
2. Tính số các stn chẵn có 3 c/số và chia hết cho 9
3. Tính số các stn có 3 c/số và chia hết cho 4

Cho x,y,z> 0 và $\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}=\frac{2}{z^2}$

Tìm Min $P=\frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}$

Cho hình chóp S.ABC. M thuộc SA, N thuộc BC. K trdiem AN. X=SK giao MN. c/m X di động trên đt cố định

1.Cho n,p,k là ba số nguyên dương bất kì.Chứng minh rằng các số $n^{p+4k}$ và $n^p$ có chữ số hàng đơn vị giống nhau.

2.Cho 4 số tự nhiên a,b,c,d biết rằng tổng số của bốn số đó chia hết cho một số bất kì trong 4 số đó và một số bất kì trong 4 số đó nhỏ hơn tổng của 3 số còn lại.Chứng minh rằng có ít nhất hai số bằng nhau.

$(1)$ $n^{p+4k}-n^p=n^p.(n^{4k}-1)=n^{p-1}(n^5-n).A\vdots 30$

$(2)$

$1\leq a<b<c<d;a+b+c+d=ma=nb=pc=qd\Rightarrow q<p<n<m\Rightarrow a+b+c>d=>qd>2d=>q\geqslant 3;p\geqslant 4;n\geq 5;m\geqslant 6\Rightarrow \sum \frac{1}{m}\leqslant \frac{19}{20}<1\rightarrow \boldsymbol{False}$

cotx - 1=cos2x / (1+tanx) + sin² x - 0.5 sin2x

đk: tanx #-1; sin X#0, cos x#0

cos x/sinx -1= (cos^2 x- sin^2 x)/(1+sin x/ cos x)+sin^2 x- sinx cos x

đến đây biến đổi tiếp:

hoặc cos x=sin x hoặc sin x cos x-sin^2 x=1

Đ/a x=pi/4+k. pi  

Cho các số thực a;b;c thỏa:$a^{2}+b^{2}+c^{2}=3$.Tìm max:

P=a+b+c-abc

$(a+b+c)^2-2\sum ab=3\Leftrightarrow p^2-2q=3;Find_{max}P=p-r$

Có: $p^3+9r\geqslant 4pq\Rightarrow r\geqslant \frac{4pq-p^3}{9}\Rightarrow P\leqslant p-\frac{4pq-p^3}{9}=p-\frac{4p(\frac{p^2-3}{2}-p^3)}{9}$

Xong :v