Cho $36x^2+16y^2=9$.Chứng minh $\begin{vmatrix}y-2x\end{vmatrix}\leq \frac{5}{4}$

$y-2x=t\Rightarrow y=2x+t\Rightarrow 36x^2+16.(2x+t)^2=9;\Delta _t\geqslant 0$

Giải phương trình:

$x^2+3x-2=\frac{9x\sqrt{3x+1}}{(1+\sqrt{3x+1})^2}$

Câu 3 và 5a

Gpt nghiệm nguyên:

$(2.b^2+ab+a^2)(2b-a)+b+13=0$

1. ABC nội tiếp (O). I chính giữa cung BC kg chứa A. Vẽ đường tròn $(O_1)$ đi qua I và tiếp xức vs AB tại B. $(O_2)$ đi qua I tiếp xúc vs AC tại C. K là giao điểm của $(O_1);(O_2)$. a/ B,K,C thẳng hàng. b/ D thuộc AB. E tia đối CA: BD=CE. CM đường tròn ngoại tiếp tg ADE đi qua 1 điểm khác A.
2. Tứ giác ABCD nội tiếp (O). I,J trđiểm AC,BD. CMR: I,O,J thằng hàng.

Tìm x,y $\epsilon$ N* để $x^{2}+x+1$ chia hết cho xy - 1

$y(x^2+x+1)=yx^2+xy+y=(xy-1)x+xy-1+x+y+1\Rightarrow x+y+1\geqslant xy-1\Leftrightarrow (x-1)(y-1)\leqslant 3$

Giải hệ phương trình :

$\left\{\begin{matrix} \sqrt{4x+3}+\sqrt{3-2x}=4y^2+2\\ x^2+y^2-x+y=\frac{1}{2} \end{matrix}\right.$

Cho $a$,$b$,$c$ > $0$ thỏa $a^2+b^2+c^2=3$. chứng minh:

$\sum\dfrac{1}{4-\sqrt{ab}} \leq 1$

Đây là 1 bài toán cực kì quen thuộc với:

$\sum a^4=3.Find_{Max}=\sum \frac{1}{4-ab}$

Lôi về tiếp tuyến :v

Cho a,b,c>0. 

CMR: $\sum \frac{a+b}{ab+c^2}\geq 4.\sqrt{1+\frac{3abc}{\sum (a+b)^3}}$

cho xx"song song yy" là 2 đường này cắt d tại A,B phân giác góc x"AB cắt phân giác góc ABy" ở C. Phân giác góc BAx cắt phân giác ABy ở D.

a, c/m CA vuông góc DA,CB vuông góc DB

b, c/m AC//BD,AD//BC

Cho x,y,z> 0 và $\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}=\frac{2}{z^2}$

Tìm Min $P=\frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}$

Giải bpt

$\sqrt{(x+1)(4x+1)}-\sqrt{2x^2+2x-5+\frac{1}{x}}\leq \sqrt{2x+\frac{2}{x}+1}$

Oh, có sự trùng hợp ngẫu nhiên.Thầy mình cũng ra bài tập này nè.

C/m : P,O,I thẳng hàng và IO= PO/2= R/2

P/s : Bạn học trường nào vậy.Mình cũng ở Huế nè

1.Cho n,p,k là ba số nguyên dương bất kì.Chứng minh rằng các số $n^{p+4k}$ và $n^p$ có chữ số hàng đơn vị giống nhau.

2.Cho 4 số tự nhiên a,b,c,d biết rằng tổng số của bốn số đó chia hết cho một số bất kì trong 4 số đó và một số bất kì trong 4 số đó nhỏ hơn tổng của 3 số còn lại.Chứng minh rằng có ít nhất hai số bằng nhau.

$(1)$ $n^{p+4k}-n^p=n^p.(n^{4k}-1)=n^{p-1}(n^5-n).A\vdots 30$

$(2)$

$1\leq a<b<c<d;a+b+c+d=ma=nb=pc=qd\Rightarrow q<p<n<m\Rightarrow a+b+c>d=>qd>2d=>q\geqslant 3;p\geqslant 4;n\geq 5;m\geqslant 6\Rightarrow \sum \frac{1}{m}\leqslant \frac{19}{20}<1\rightarrow \boldsymbol{False}$

Bài 2/

Theo gt, có: $\left\{\begin{matrix} x-1+9\vdots 3\\ x-6+14\vdots 7 \end{matrix}\right.\rightarrow x=21k-8=42h-8$

Đến đây thì dễ!!!

có cách khác nữa nè :v

Ta có (2;3) =(2;7)= (3,7)=1 nên hệ có nghiệm duy nhất

m= 2*3*7=42

m_1= 3*7=21            m_2=2*7 =14       m_3=2*3=6

$21 y\equiv 1 (mod2)$

$y\equiv 1 (mod2) chọn y_1 =1$

$14y\equiv 1 (mod 3)$

$y\equiv 2 ( mod 3 ) chọn y_2 =2$

6$y\equiv 1 (mod 7)$

y\$equiv 6 (mod 7)  chọn y_3 =6$

Vậy hệ có nghiệm là

$21* 0* 1 +14*2*1 +6*6* (-1)  \equiv 34 (mod 42)$

Với a,b,c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện abc=1. Chứng minh rằng:

$\frac{a}{(ab+a+1)^2}+\frac{b}{(bc+b+1)^2}+\frac{c}{(ca+c+1)^2}\geq \frac{1}{a+b+c}$

$LHS.(a+b+c)\geqslant ^{B-C-S}(\sum \frac{a}{ab+a+1})^2=1\Rightarrow LHS\geqslant \frac{1}{a+b+c}$

Chứng minh với mọi số dương a,b,c có tích bằng 1:

$\frac{1}{2a^{3}+b^{3}+c^{3}+2}+\frac{1}{a^{3}+2b^{3}+c^{3}+2}+\frac{1}{a^{3}+b^{3}+2c^{3}+2}\leq \frac{1}{2}$

$VT=\sum \frac{1}{(a^3+b^3+1)+(a^3+c^3+1)}\leqslant \frac{1}{4}\sum (\frac{1}{a^3+b^3+1}+\frac{1}{a^3+c^3+1})$

Quá đơn giản cho việc cm: $\sum \frac{1}{a^3+b^3+1}\leqslant \sum \frac{1}{ab(a+b)+abc}=\sum \frac{c}{a+b+c}=1\Rightarrow VT\leqslant \frac{1}{2}$

$x,y,z\geqslant 0.CMR:\sum \sqrt{\frac{x}{x+y+7z}}\geqslant 1$

giải hpt $\left\{\begin{matrix} 2x^2(4x+1)+2y^2(2y+1)=y+32\\ x^2+y^2-x+y=\frac{1}{2} \end{matrix}\right.$

Cho a,b là những số hữu tỉ dương thỏa: $a+b$ và $ab$ là số nguyên dương. CMR: a,b tự nhiên.

Mình cần gấp!

Vì $ab, a+b \ge 0 $

 

Suy ra: $a , b \ge 0$

 

Giả sử $a \ge b \ge 0$ 

 

Khi đó:

 

$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ là số nguyên

 

Nên: $a^2+b^2$ là số nguyên

 

$(a-b)^2$ là số nguyên

 

$a-b$ là số nguyên

 

$2a$ là số tự nhiên.

 

Nên a là số hữu tĩ hoặc số tự nhiên

 

Do $ab$ nguyên dương

 

Nên a là số tự nhiên.

 

Từ a+b là nguyên dương nên b cũng là số tự nhiên

vì sao ab và 2a tự nhiên => a tự nhiên????

tìm k nguyên dương để pt có nghiệm nguyên dương:

$x^2+y^2+x+y=kxy$

Cho các số thực $a,b$ không âm không đồng thời bằng $0$ .

Chứng minh rằng : $\frac{x^{4}+y^{4}}{(x+y)^{4}}+\frac{\sqrt{xy}}{x+y}\geq \frac{5}{8}$

Chuẩn hóa với: $x+y=2\Rightarrow \frac{(4-y)^4+y^4}{16}+\frac{\sqrt{(2-y)y}}{2}\geqslant \frac{5}{8}$

Biến đổi thành bậc 8.

1/ Tìm GTLN của: $A=x(2006-x^{2005})$

2/ Cho a,b,c: $\sum a^2=2;\sum ab=1.$. Tìm Max, min của a,b,c

tam giác ABC,1 điểm D_^​​ thuộc BC,M trung điểm AD. 

trên tia đối tia MB lấy E : ME = MB.

trên tia đối tia MC lấy F : MC = MF. chứng minh rằng:

A nằm giữa D và E