giải hệ: $\left\{\begin{matrix} 2x(x+\sqrt{x^{2}+1})+y^{4}=\frac{1}{4} & \\ 2\sqrt{x^{2}+1}-(y+\frac{1}{y})^{2}=-\frac{3}{2}& \end{matrix}\right.$

Giải hệ: $\left\{\begin{matrix} 2x(x+\sqrt{x^{2}+1})+y^{4}=\frac{1}{4} & \\ 2\sqrt{x^{2}+1}-(y+\frac{1}{y})^{2}=-\frac{3}{2} & \end{matrix}\right.$

Bài 2: Trong các số có 7 chữ số phân biệt thiết lâp từ các chữ số 1,2,3,4,5,6,7 không có số nào chia hết cho một số khác còn lại

Cho n là số nguyên dương. CMR: $1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{2^{n}-1}> \frac{n}{2}$

(cm bằng pp quy nạp ạ)

Chứng minh phản chứng:

Bài 1: Nếu số tự nhiên có 3 chữ số $\overline{abc}$ là số nguyên tố thì $b^{2}-4ac$ không phải là số chính phương

Bài 2: Trong các số có 7 chữ số phân biệt thiết lâp từ các chữ số 1,2,3,4,5,6,7 không có số nào chia hết cho một số khác còn lại

Bài 3: Cho các số a,b,c thỏa mãn: $\left | a \right |+\left | b \right |+\left | c \right | >17, f(x)=ax^{2}+bx+c$. CMR: Tồn tại x thuộc đoạn [0,1] sao cho $\left | f(x_{0}) \right |>1$ 

giải pt : $\sqrt{5x^{2}+14x+9}-\sqrt{x^{2}-x-20}=5\sqrt{x+1}$

giải pt : $\sqrt{2}(x^{2}+8)=5\sqrt{x^{3}+8}$

Giải bằng phương pháp quy nạp 

Bài 1: Cho $x_{i}> 1$ với $i=1,2,...,n$ CMR: $\frac{1}{1+x_{1}}+\frac{1}{1+x_{2}}+...+\frac{1}{1+x_{n}}\geq \frac{n}{1+\sqrt[n]{x_{1}x_{2}...x_{n}}}$

giải pt $\sqrt{x(x+1)}+\sqrt{x(x+2)}=\sqrt{x(x-3)}$

Tìm GTLN của $P= x(1-x^{2})$ với 0<x<1

 Do ta chưa biết dấu bằng xảy ra khi nào nên giả sử P đạt cực trị tại x=$\sqrt{k}$

 

Ta sẽ tách như sau : $-P\doteq x^{4}-x=\left ( x^{2}-k \right )^{2}+2k\left ( x-\sqrt{k} \right )^{2}-3k^{2}$

 

Sau đó ta sẽ giải phương trình : $4k\sqrt{k}=1$ và tìm ra k

Có thể dùng BĐT AG-GM để giải được không ạ??

Tìm GTLN của $ P= x(1-x^{3})$ với 0<x<1

Cho $M> m> 0$ là các hằng số. Tìm Max của $P=\frac{a}{b}+\frac{b}{a}$ với a,b $\epsilon$ [m,M]

cho ba số dương a,b,c. CMR:

$\sqrt{3a^{2}+8b^{2}+14ab}+\sqrt{3b^{2}+8c^{2}+14bc}+\sqrt{3c^{2}+8a^{2}+14ca}\leq 5(a+b+c)$

Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix} \sqrt{x+1}+\sqrt{y+1}=4 & \\ x+y-\sqrt{xy}=3& \end{matrix}\right.$

Cho tam giác ABC nhọn có các trung tuyến BM, CN vuông góc với nhau. CM : $cotgB+cotgC\geq \frac{2}{3}$

Cho x,y,z >0 , x+y+z=1 

Tìm GTNN của  $P=\frac{(1+x)(1+y)(1+z)}{(1-z)(1-y)(1-z)}$

Giải phương trình : $9x^{2}+12x-2= \sqrt{3x+8}$

cho $a,b,c \epsilon [0;1]$ CMR: $(1+a+b+c)^{2}\geq 4(a^{2}+b^{2}+c^{2})$

cho ba số dương a,b,c thỏa mãn $a+b+c=2$ CMR: $\frac{a^{2}}{b+c}+\frac{b^{2}}{a+c}+\frac{c^{2}}{a+b}\geq 1$

Giải hệ phương trình $\left\{\begin{matrix} 6x^{2}-3xy+x=1-y & \\ x^{2}+y^{2}=1 & \end{matrix}\right.$

Thay x vào phương trình trên trở thành:

$(\sqrt{5}-\sqrt{3})^2+(\sqrt{5}-3)(\sqrt{5}+3)b+c(\sqrt{5}+\sqrt{3})=0$

$=>8+2b+8c+2\sqrt{15}(c-1)=0$

Vì b,c là các số hữu tỉ nên c=1

Do đó $b=-8$

có cách khác không bạn, không thì bạn giải rõ hơn phần cuối mình xem. Vì sao mà b,c là số hữu tỉ nên c=1 do đó b=-8 vậy

tìm các số hữu tỉ b,c để phương trình $x^{2}+bx+c=0$ có nghiệm là $x=\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}$

a) $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} (x^{2}+1)+y(y+x-2)=2y & \\ (x^{2}+1)(y+x-2)=y & \end{matrix}\right.$

Đặt $\left\{\begin{matrix} x^{2}+1=a & \\ & y+x-2=b \end{matrix}\right.$

Ta có hệ pt $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} & a+yb=2y (1)\\ & ab=y (2) \end{matrix}\right.$

Trừ (1) cho (2) : $a+yb-ab=y$ $\Leftrightarrow(a-y)(1-b)=0$$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} &a=y \\ &b=1 \end{matrix}\right.$

                           $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x^{2}+1=y & \\ y+x-2=1 & \end{matrix}\right.$

                           $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=1 & \\ y=2 & \end{matrix}\right.$ hoặc $\left\{\begin{matrix} x=-2 & \\ y=5 & \end{matrix}\right.$

Chứng minh rằng với số nguyên dương $n\geq 6$ thì số:

$a_{n}=1+\frac{2.6.10.....(4n-2)}{(n+5)(n+6).....(2n)}$ là một số chính phương