1) Cho $a,b,c$ dương $ab+bc+ac=abc$ . C/m : 
$\sum \frac{1}{a+2b+3c}<\frac{3}{16}$ 
2) Cho $a,b,c$ dương. $a+b+c=1$. C/m :  $\frac{3}{ab+bc+ac}+\frac{2}{a^2+b^2+c^2}>14$ 
3) Tìm Min biết $a,b$ dương $a+b \ge 1$ . $B=\frac{1}{a^2+ab}+\frac{1}{b^2+ab}$

2)-Ta có: \[ab + bc + ca \le \frac{{{{(a + b + c)}^2}}}{3} = \frac{1}{3} =  > \frac{1}{{ab + bc + ca}} \ge 3(1).\]

-Và có: \[\frac{1}{{ab + bc + ca}} + \frac{1}{{ab + bc + ca}} + \frac{2}{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}} \ge \frac{{{{(1 + 1 + \sqrt 2 )}^2}}}{{{{(a + b + c)}^2}}} = 6 + 4\sqrt 2 (2).\]

-Từ (1);(2) => \[\frac{3}{{ab + bc + ca}} + \frac{2}{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}\]\[ \ge 3 + 6 + 4\sqrt 2  > 14\].

=> đpcm.

$\Delta vuông ABC . Lấy M \epsilon BC . kẻ M vuông góc AB tại D và vuông góc với AC tại E$. 
Tìm  ĐK M  để  DE  có  độ  dài  lớn  nhất

-Ta có: DAEM là hình chữ nhật => DE=AM.

=> DE có độ dài lớn nhất khi AM lớn nhất. Mà M thuộc BC nên AM =< cạnh góc vuông lớn nhất của tam giác ABC.

=> Độ dài DE lớn nhất khi M trùng với B hoặc C ( M trùng với B khi AB>AC còn M trùng với C khi AB<AC).

-Bạn ê a/b+b/a >= 2 thì có liên quan gì đến bài làm trên đâu bạn.

Tam giác  ABC có AB=AC, góc A nhọn, BH vuông góc AC. C/minh $\frac{AH}{HC}=2.\frac{AB^2}{BC^2} -1$

-Ta có: \[A{B^2} - A{H^2} = B{C^2} - H{C^2}( = B{H^2})\] \[ =  > A{B^2} - B{C^2} = A{H^2} - H{C^2} = (AH - HC)(AH + HC) = (AH - HC).AC\].

=> \[AH - HC = \frac{{A{B^2} - B{C^2}}}{{AB}};AH + HC = AC = \frac{{A{B^2}}}{{AB}} =  > 2AH = \frac{{2A{B^2} - B{C^2}}}{{AB}};2HC = \frac{{B{C^2}}}{{AB}}\]

=> \[\frac{{AH}}{{HC}} = \frac{{\frac{{2A{B^2} - B{C^2}}}{{AB}}}}{{\frac{{B{C^2}}}{{AB}}}} = \frac{{2A{B^2} - B{C^2}}}{{B{C^2}}} = \frac{{2A{B^2}}}{{B{C^2}}} - 1.\]

-Bởi vì  A^(2n) -B^(2n) =(A^2)^n -(B^2)^n chia hết cho (A^2- B^2) chia hết cho (A+B) với mọi n là số tự nhiên.

nhưng tại sao   +) A^(2n) -B^(2n) chia hết cho (A+B) với mọi n. lại đúng 1 cái là trừ sao lại chia hết cho 1 cái cộng

-Bởi vì  A^(2n) -B^(2n) =(A^2)^n -(B^2)^n chia hết cho (A^2- B^2) chia hết cho (A+B) với mọi n là số tự nhiên.

Bài số 5 thì mình thử vào đến 6 là thỏa mãn nên suy ra 6 là giá trị nhỏ nhất còn cách trình bày thì mình tạm thời chưa nghĩ ra

Bài 5 nếu thử n=6 thì 5^n+n^5= 5^6+6^5=23401 chia cho 13 dư 1 mà bạn. Bài 5 số tự nhiên n nhỏ nhất thỏa mãn phải là 12 chứ!

 chỗ 4^2n - 3^2n  để thành 16^n-9^n chia hết cho (16-9) có đúng không vì mình không hiểu chỗ 4^2n-3^2n chia hết cho (4+3) cho lắm

Chỗ 16^n-9^n luôn chia hết cho (16-9) với mọi n là số tự nhiên là đúng. Ta luôn có với mọi n là số tự nhiên thì: +) A^n -B^n chia hết cho (A-B) với mọi n.

                                                                                                                                                                              +) A^(2n) -B^(2n) chia hết cho (A+B) với mọi n.

                                                                                                                                                                              +) A^(2n+1) +B^(2n+1) chia hết cho (A+B) với mọi n.

-Ta có: (x^2+y^2+1)^2- 5x^2-5y^2=5.
=> (x^2+y^2+1)(x^2+y^2-4) =0.
-Mà x^2+y^2+1 >0 với mọi x,y.
=>x^2+y^2= 4. Mà x,y thuộc Z nên xảy ra 3TH:
+x^2=0: => x=0; y^2=4. => (x;y)=(0;2),(0;-2).
+x^2=1.=> x=1 hoặc x=-1 và y^2=3. => Loại do 3 không phải bình phương của một số nguyên còn y thuộc Z.
+x^2=4. => x=2 hoặc x=-2 còn y^2=0.
=> (x;y)=(2;0),(-2;0).
Vậy (x;y)=(0;2),(0;-2),(2;0),(-2;0).

-Giả sử CD>AB. Kẻ BE// AD( E thuộc CD).
-Ta có: ABED là hình bình hành=> AD=BE;AB=ED. Do AB<CD=> |AB-CD| =CD-AB=CD-ED=CE.
-Áp dụng BĐT trong tam giác CBE ta có BE+BC>CE.
Suy ra AD+BC> |AB-CD|.
-Vậy |AB-CD|<AD+BC.

Đề bài chỉ cho a,b,c là số>0 thôi.

$Tìm   a sao   cho : (x-a) \ast (x-10) + 1    phân    tích   thành    tích   đa    thức    bậc    nhất     có     các hệ số    nguyên$

Bạn ơi dấu * ở đây nghĩa là dấu gì vậy?

-Đặt x^4+ a.x^2+b= (x^2-x+1).(x^2+ cx+d).
=> x^4+ a.x^2+b =x^4+ (c-1).x^3+ (1-c+d).x^2 +(c-d).x +d.
-Đồng nhất hai đa thức trên, ta có: +)c-1=0.
+)1-c+d= a.
+) c-d=0.
+) d=b.
=> c=d=1=b. => a=1-c+d =1-1+1=1.
Vậy a=1; b=1.

-Ta có: a^4= b^4+c^4. => a >b; a và b cùng là số nguyên tố.
=> a là số nguyên tố lẻ. Mà a^4=b^4+c^4.
=> tồn tại 1 trong 2 số b,c là số chẵn ( vì nếu b,c cùng chẵn hoặc cùng lẻ thì a chẵn dẫn đến loại).
-Giả sử c chẵn; c là số nguyên tố=> c=2 ( b,c vai trò như nhau).
=> a^4=b^4+16.
-Ta có: -Bình phương của một số chính phương chia 5 chỉ dư 0;1 ( Do số chính phương chia 5 dư 0;1;4).
+Nếu b^4 chia 5 dư 0=> b chia hết cho 5; b là số nguyên tố.
=> b=5. Mà a^4=b^4+16; b=5.
=> a^4 =5^4+16=641 (Loại do 641 không phải bình phương của một số chính phương).
+Nếu b^4 chia 5 dư 1. Mà 16 chia 5 dư 1; a^4=b^4+ 16. => a^4 chia 5 dư 2( Loại do bình phương của một số chính phương chia 5 chỉ dư 0;1).
-Từ các điều trên => không tìm được a,b,c thoát mãn đề bài.
Vậy đpcm.

Cho hình bình hành $ABCD$ có $AB>AD$. Trên $AB$ lấy $E$ sao cho $A E=AD$. Kéo dài $DE$ cắt $BC$ ở $F$. $(O)$ và $(O')$ lần lượt là 2 đường tròn ngoại tiếp tam giác $BAC$ và $BEF$ cắt nhau ở $I$ và $B$. CMR: $IB//AC$

-Lấy I' đối xứng với D qua AC => AI'BC là hình thang cân => AI'=CB=AD=AE và CI'=AB=CD=CF.                                                                                                         -Ta có: IC=CD=CF => góc I'FC= 90 độ- góc I'CF/2= 90 độ- góc I'DF (1).

-Ta lại có: AI'=AE=AD => góc AEI'= 90 độ- góc I'AE/2= 90 độ- góc I'DE (2).

-Mà D;E;F thẳng hàng.                                                                                                                                                                                                                            -Từ (1);(2) => góc I'FC= góc AEI' => góc I'FB+ góc I'EB=180 độ => Tứ giác I'FBE nội tiếp

=> I' là giao điểm của (O) và (O') => I' trùng I => BI//AC.

Cho hình bình hành $ABCD$ có $AB>CD$. Trên $AB$ lấy $E$ sao cho $A E=AD$. Kéo dài $DE$ cắt $BC$ ở $F$. $(O)$ và $(O')$ lần lượt là 2 đường tròn ngoại tiếp tam giác $BAC$ và $BEF$ cắt nhau ở $I$ và $B$. CMR: $IB//AC$

Sao hình bình hành ABCD mà lại có AB>CD được??

Ý bạn ấy là như thế này:
$\frac{2010x+2680}{x^{2}+1}min\Leftrightarrow \frac{3x+4}{x^{2}+1}min\Leftrightarrow \frac{6x+8}{x^{2}+1}min\Leftrightarrow \frac{6x+8}{x^{2}+1}+1 min\Leftrightarrow \frac{(x+3)^{2}}{x^{2}+1}min$
Ta lại có $\frac{(x+3)^{2}}{x^{2}+1}$$\geq$ 0 do tử thức $\geq$0 còn mẫu thức >0 với mọi x
$\Rightarrow Min\frac{(x+3)^{2}}{x^{2}+1}=0 khi x=-3 \Rightarrow Min\frac{2010x+2680}{x^{2}+1}=-335 khi x=-3$
 

Đúng rồi đấy bạn. Cảm ơn bạn nhiều.

$Tìm      GTNN    của   biểu     thức    : \frac{2010x+2680}{x^{2}+1}$

-Ta có: (2010x+2680) /(x^2+1) min <=> (3x+4)/ (x^2+1) min <=> (6x+8)/ (x^2+1) min <=> (6x+8)/ (x^2+1) +1 min.

<=> (x^2+6x+9)/ (x^2+1) min <=> (x+3)^2/ (x^2+1) min.

-Ta lại có: (x+3)^2/ (x^2+1) >= 0 với mọi x . (Do tử thức>= 0 còn mẫu thức luôn >0 với mọi x).

=> Min (x+3)^2/ (x^2+1) =0 khi x= -3.

Suy ra GTNN của (2010x+2680) /(x^2+1) xảy ra khi x= -3.

Vậy GTNN của (2010x+2680) /(x^2+1) là -335 khi x= -3.

Bài 3: -Bạn sửa lại đề thành tam giác ABC chứ không phải ABCD đâu! Với lại đề không cần điểm N là trung điểm của BG làm gì cả.

Bài 3:a): -Lấy F đối xứng với A qua M;;MA cắt BC tại Q.

-Chứng minh được EFHA là hình bình hành( 2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường).

=> FH=EA; góc FHA+ góc EAH= 180 độ(FH//AE).

-Mà EA=AB; góc EAH+ góc BAC= 180 độ.

-Từ 2 điều trên=> tam giác FHA= tam giác BAC(c.g.c).

=>góc FAH= góc ACB. Mà góc FAH+ góc QAC= 90 độ.

=> góc ACB+ góc QAC= 90 độ.

=> AM vuông góc với BC.

b): -Lấy S là trung điểm của BC.

-Chứng minh tương tự phần a), ta có: AS vuông góc với EH.

-Mà tam giác EOH cân tại O có M là trung điểm của EH nên OM vuông góc với EH.

-Tương tự, ta cũng có: Ó vuông góc với BC.

-Từ các điều trên => MASO là hình bình hành. => OS=MA.(1)

-Từ phần a), ta có: tam giác FHA= tam giác BAC(c.g.c).

=> BC=FA. Mà FA=2.MA. => MA=BC/2= BS=CS.(2)

-Từ (1);(2)=> SO=MA=SB=SC và SO vuông góc BC (cmt).

=> tam giác BOC vuông cân tại O và có OA=OB=OC.

=> góc BOC=90 độ và góc BOC=2.góc BAC.

=> góc BAC=45 độ.

Chuẩn rùi đó
Do không tồn tại $n$ tự nhiên để $2^n=264$ nên phương trình không có nghiệm
_____________________________________________________

AD

Sau đây là một bài toán mà các học sinh lớp 6 "hay nhầm":
Bài toán 2 (do nthoangcute đề xuất)

Đề bài: Chứng minh: $2^{3^{100}}>3^{2^{100}}$
Lời giải: Có
$2^{3^{100}}=8^{100}$
$3^{2^{100}}=9^{100}$
Mà $ 8^{100} < 9^{100} $ nên $2^{3^{100}}<3^{2^{100}}$
Suy ra đề bài sai ! (Suy ra "đỡ phải làm")
________________________________________
Liệu bài làm trên có đúng không ? Thử giải thích xem !

Bài làm trên không đúng vì 2^(3^100) khác với (2^3)^100=8^100 còn 3^(2^100) khác với (3^2)^100=9^100.

Bài toán 4:
Đề bài: Tìm $x$:
$x$:$x$+$x.8=333$
Lời giải:
Một bạn A trả lời:
ĐKXĐ : $x \neq 0$
khi đó : $x$:$x$+$x.8=333$
$\Leftrightarrow 1+8x=333$
$\Leftrightarrow 8x=332$
$\Leftrightarrow x=\frac{83}{2}$ (thỏa mãn ĐKXĐ)
Bạn B không hiểu làm sao lại thấy sai:
Khi $x=\frac{83}{2}=41,5$, thay vào PT thì được:
$x$:$x$+$x.8$
$=1+41,5.8$
$=42,5.8$
$=340$ (sai với đề bài)
_______________________________________________
Bạn kiểm tra xem tại sao bạn B lại sai

Bạn B sai vì 1+45,5.8 khác với (1+45,5).8.

Bài toán 1 (do nthoangcute đề xuất)

Đề bài:
Giải phương trình: $2+4+...+x=526$
Với $x$ là một số hạng của cấp số nhân: $2,4,...$

Lời giải (của một bạn lớp 6)
Do giả thiết thì $x$ phải có dạng $x=2^n$ ($n \in N^*$)
Phương trình trở thành $2+2^2+...+2^n=526$
$\Leftrightarrow 2.\frac{2^n-1}{2-1}=526$
$\Leftrightarrow 2^n-1=263$
$\Leftrightarrow 2^n=264$
$\Leftrightarrow x=264$ (do $x=2^n$)
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là $x=264$

Vậy theo bạn lời giải trên đã đúng chưa?

Lời giải trên sai vì 2^8< 264=2^n <2^9 với n thuộc N. => không tìm được n là số tự nhiên thỏa mãn đề bài.

-Bạn ơi hình như bài làm của bạn sai rồi ở cái chỗ: 2(OM^2+ OP^2)= AB^2 thì phải. Nếu thế thì khác nào AM^2+MB^2= AB^2= (AM+MB)^2.( Điều này chỉ xảy ra khi M trùng A;B thôi)

-Mà đề bài sai luôn rồi đó bạn. Thử M là trung điểm AB, trường hợp MA=2 thì thấy kết quả OP trong 2 TH không giống nhau dẫn đến đề bài này sai.