Cho 3 số dương $a,b,c$ đôi một khác nhau và 2 số dương $x,y$ thỏa mãn $x+y=1$

Tìm GTLN của $\frac{(a-x)(a-y)}{a(a-b)(a-c)}+\frac{(b-x)(b-y)}{b(b-a)(b-c)}+\frac{(c-x)(c-y)}{c(c-a)(c-b)}$

1, cho $a,b,c>0$ cm $\frac{1}{a^{2}+2bc}+\frac{1}{b^{2}+2ac}+\frac{1}{c^{2}+2ab}\geq 9$  biết $a+b+c=1$.

2,cho $a,b,c>0$.cm $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geq 3(\frac{1}{2a+b}+\frac{1}{2b+c}+\frac{1}{2c+a})$  

3, cho $a,b,c>0$ cm $\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\geq \frac{3}{2}$  

4, cho $a,b,c$ là 3 số dương $<2$. cm ít nhất $1$ trong các bđt sau sai:

a.$ a(2-b)>1$  b,$b(2-c)>1$  c, $c(2-a)>1$

1. $\Leftrightarrow VT\geq \frac{9}{a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac}$

Áp dụng $Cauchy-Schwarz$ $\Rightarrow 3(a^2+b^2+c^2)\leq (a+b+c)^2$

$\Rightarrow a^2+b^2+c^2\leq \frac{1}{3}$

Lại có $a^2+b^2+c^2\geq ab+bc+ac$ $\Leftrightarrow ab+bc+ac\leq \frac{1}{3}$

$\Rightarrow a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca\leq 1$

$\Rightarrow đpcm$

bạn giải câu nào v?

cho tam giác ABC nội tiếp (O;R). chứng minh

 $\frac{1}{m_a}+\frac{1}{m_b}+\frac{1}{m_c}\geq \frac{2}{R}$  ( $m_a,m_b,m_c$ là độ dài các đường trung tuyến kẻ từ A,B,C đến 3 cạnh của tam giác)

Cho tam giác $ABC$, $M$ là trung điểm $BC$. $R;R_1;R_2$ là bán kính đường tròn nội tiếp các tam giác $ABC,ABM,ACM$. Đặt BC=a Chứng minh $\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}\geq 2(\frac{1}{R}+\frac{2}{a})$

Cho $x,y,z>0$ và $xyz=1$ Chúng minh

$\frac{1}{x+2y+3}+\frac{1}{y+2z+3}+\frac{1}{z+2x+3}\leq \frac{1}{2}$

Bài 1

cho x,y,z>0 thỏa mãn $x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$ Chứng minh $\frac{x}{y^{2}+z^{2}}+\frac{y}{x^{2}+z^{2}}+\frac{z}{x^{2}+y^{2}}\geq \frac{3\sqrt{3}}{2}$

Bài 2

cho x,y,z>0 thỏa mãn $xyz=1$ Chứng minh $\frac{1}{x^{3}(y+z)}+\frac{1}{y^{3}(x+z)}+\frac{1}{z^{3}(x+y)}\geq \frac{3}{2}$

Giải pt

1,$\frac{2x^{2}}{(3-\sqrt{9+2x})^{2}}=x+21$

2,$\sqrt{2x^{2}+16x+18}+\sqrt{x^{2}-1}=2x+4$

3,$\frac{1}{\sqrt[4]{2x+1}}-\frac{1}{\sqrt[4]{x+2}}=\frac{x-1}{\sqrt[4]{x}}$

1, Cho a,b,c đôi một khác nhau. C/m

$\frac{a^{3}-b^{3}}{(a-b)^{3}}+\frac{b^{3}-c^{3}}{(b-c)^{3}}+\frac{c^{3}-a^{3}}{(c-a)^{3}}$

2, cho $a,b,c\geq 0$ Cm

a, $\sqrt{a^{2}+ab+b^{2}}+\sqrt{b^{2}+bc+c^{2}}+\sqrt{c^{2}+ca+a^{2}}\geq \sqrt{3}(a+b+c)$

b, $\sum a(-\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})\leq 3\sqrt{abc}$

3, cho a,b,c>0 Cm

$\frac{a^{8}+b^{8}+c^{8}}{a^{3}*b^{3}*c^{3}}\geq \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$

4, cho a,b,c,d>0 Cm

$\frac{a+b}{a+b+c}+\frac{b+c}{b+c+d}+\frac{c+d}{c+d+a}+\frac{d+a}{d+a+b}< 3$

Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn $\sqrt{a^{2}+b^{2}}+\sqrt{b^{2}+c^{2}}+\sqrt{c^{2}+a^{2}}=\sqrt{2015}$

Chứng minh $\frac{a^{2}}{b+c}+\frac{b^{2}}{c+a}+\frac{c^{2}}{a+b}\geq \frac{1}{2}\sqrt{\frac{2015}{2}}$

dấu $=$ xảy ra khi nào?

2,Cho $a,b,c$ thỏa mãn $abc>1$ và $a^{3}>36$

Chứng minh $\frac{a^{2}}{3}+b^{2}+c^{2}> ab+bc+ca$

Anh nhầm! Đó là BĐT Hoán vị (Tham khảo trong sách Sáng tạo BĐT của Phạm Kim Hùng)

anh giả sử a>=b;a>=c à?

Theo Chebyshev:

$\sum \frac{a^{2}}{b+c}\geq \sum \frac{b^{2}}{b+c};\sum \frac{a^{2}}{b+c}\geq\sum \frac{c^{2}}{b+c}$

$\Rightarrow \sum \frac{a^{2}}{b+c}\geq \frac{1}{2}\sum \frac{b^{2}+c^{2}}{b+c}\geq \frac{1}{2}\sum \frac{b^{2}+c^{2}}{\sqrt{2\left ( b^{2}+c^{2} \right )}}=\frac{1}{2}\sum \frac{\sqrt{b^{2}+c^{2}}}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2015}}{2\sqrt{2}}$

Đẳng thức xảy ra khi 3 biến bằng nhau!

em không biết chebyshev.anh viết bđt đó ra được không

câu 2 là 1>abc hay sao hở bạn

mình nghĩ là đề đúng.nếu abc<1 thì bạn trình bày lời giải được không

1,Cho $a,b,c>0$ và $a+b+c=2$ Chứng minh $\frac{a^{2}}{b+c}+\frac{b^{2}}{c+a}+\frac{c^{2}}{a+b}\geq 1$

2, Cho $a,b,c>0$ và $a+b+c=1$ Chứng minh $b+c\geq 16abc$

3, Cho $x,y,z>0$ và $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1$ Chứng minh $(1-\frac{1}{x^{2}+1})(1-\frac{1}{y^{2}+1})(1-\frac{1}{z^{2}+1})>\frac{1}{2}$

4, C/m với mọi a>0 ta có $\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{a^{2}}\leq a+1$

5, Cho $a,b>0$ Chứng minh $\sqrt[3]{(a+b)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})}<\sqrt[3]{\frac{a}{b}}+\sqrt[3]{\frac{b}{a}}$

1,Cho $a,b,c$ là các số thực dương,Chứng minh $\frac{ab}{a+3b+2c}+\frac{bc}{b+3c+2a}+\frac{ac}{c+3a+2b}\leq \frac{a+b+c}{6}$

2,Cho $x,y,z$ thỏa mãn $x^{2}+y^{2}+z^{2}=2012$.Tìm min của $M=2xy-yz-xz$

3, Cho $x,y,z>0$ và $x+y+z=1$. Chứng minh $\frac{\sqrt{xy+z}+\sqrt{2x^{2}+2y^{2}}}{1+\sqrt{xy}}\geq 1$

mọi người giúp mình câu b với

Bài 1

Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn $a^{2}+b^{2}+c^{2}=3$

Chứng minh $\frac{1}{\sqrt{1+8a^{3}}}+\frac{1}{\sqrt{1+8b^{3}}}+\frac{1}{\sqrt{1+8c^{3}}}\geq 1$

Bài 2

Cho 3 số dương $a,b,c$ đôi một khác nhau và 2 số dương $x,y$ thỏa mãn $x+y=1$

Tìm GTLN của $\frac{(a-x)(a-y)}{a(a-b)(a-c)}+\frac{(b-x)(b-y)}{b(b-a)(b-c)}+\frac{(c-x)(c-y)}{c(c-a)(c-b)}$

Bài 1 Giải phương trình $(\sqrt{x+9}+3)(x+1+2\sqrt{x-7})=8x$

Bài 2 Giải hệ $\left\{\begin{matrix} \sqrt{5-x^{2}}+\sqrt{5-\frac{1}{x^{2}}}=y^{2}+3 & \\ \frac{1}{2}(x+\frac{1}{x})+2y=3 & \end{matrix}\right.$

Bài 3 Giải phương trình nghiệm nguyên $y=x+\sqrt{y^{2}+2(x+1)y+4x}$

Bài 4 Tìm số chính phương có 4 chữ số biết rằng khi tăng thêm mỗi chữ số 1 đơn vị thì số mới được tạo thành cũng là số chính phương

Bài 5. Đặt biểu thức ở vế trái là $A$

$\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{a}}+\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{b}}+\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{c}}\geqslant \dfrac{3}{\sqrt[3]{A}}$

$\dfrac{\dfrac{1}{a}}{1+\dfrac{1}{a}}+\dfrac{\dfrac{1}{b}}{1+\dfrac{1}{b}}+\dfrac{\dfrac{1}{c}}{1+\dfrac{1}{c}}\geqslant \dfrac{3.\dfrac{1}{\sqrt[3]{abc}}}{\sqrt[3]{A}} \geqslant \dfrac{9}{\sqrt[3]{A}}$

Do đó $3\geqslant \dfrac{12}{\sqrt[3]{A}}\Leftrightarrow A\geqslant 64$

bạn giúp mình 4 bài trước với

Bài 5. Đặt biểu thức ở vế trái là $A$

 

$\dfrac{\dfrac{1}{a}}{1+\dfrac{1}{a}}+\dfrac{\dfrac{1}{b}}{1+\dfrac{1}{b}}+\dfrac{\dfrac{1}{c}}{1+\dfrac{1}{c}}\geqslant \dfrac{3.\dfrac{1}{\sqrt[3]{abc}}}{\sqrt[3]{A}} \geqslant \dfrac{9}{\sqrt[3]{A}}$

 

đoạn này mình hơi khó hiểu,không biết bạn biến đổi làm sao

Bài 1

cho x,y,z>0 thỏa mãn $x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$ Chứng minh $\frac{x}{y^{2}+z^{2}}+\frac{y}{x^{2}+z^{2}}+\frac{z}{x^{2}+y^{2}}\geq \frac{3\sqrt{3}}{2}$

Bài 2

cho các số thực x,y thỏa mãn $9x^{2}+y^{2}=1$ Chứng minh

$\begin{vmatrix} x-y \end{vmatrix}\leq \frac{\sqrt{10}}{3}$

Bài 3

Cho $x^{2}+4y^{2}=1$ Chứng minh $\begin{vmatrix} x-y \end{vmatrix}\leq \frac{\sqrt{5}}{2}$

Bài 4

Cho x,y>0 thỏa mãn $x^{3}+y^{4}\leq x^{2}+y^{3}$ Chứng minh $x^{3}+y^{3}\leq x^{2}+y^{2}\leq x+y\leq 2$

Bài 5

cho a,b,c>0 thỏa mãn a+b+c=1 Chứng minh $(1+\frac{1}{a})(1+\frac{1}{b})(1+\frac{1}{c})\geq 64$

Tìm $m$ để phương trình có 4 nghiệm p.biệt

$(x^{2}+mx+1)(x^{2}+x+m)=0$

Tìm $m$ để pt sau có nghiệm thỏa mãn $-1\leq x\leq 2$

$(x^{2}+x)^{2}-4(x^{2}+x)-3m+1=0$

Tìm $m$ để pt sau có nghiệm thỏa mãn $-1\leq x\leq 2$

$(x^{2}+x)^{2}-4(x^{2}+x)-3m+1=0$