$a^{2}+b^{2}+1=2\left ( ab+a+b \right ) \Rightarrow \left ( a+b-1 \right )^{2}=4ab\Rightarrow ab$ là số chính  phương

gọi (a,b)=d suy ra$a^{2}+b^{2}$ chia hết cho d ,2(ab+a+b) chia hết cho d suy ra 1chia hết cho d suy ra a,b nguyên tố cùng nhau

nên a,b là 2 số  chính phương (cô giáo mình giảng vậy còn đoạn liên tiếp thì mình chưa nghe)

câu 1 phần 2

biến đổi tương đương suy ra $xy=-2x-2y+2xy+1$ suy ra P=$x+y+\left | x+y-1 \right |$

mà $\frac{x}{1-x}+\frac{y}{1-y}=1$ suy ra $\frac{x}{1-x}< 1,\frac{y}{1-y}< 1$ suy ra $x< \frac{1}{2}, y< \frac{1}{2}$ suy ra x+y-1$< 0$

thay vào P=x+y-x-y+1=1

mình mới làm thử bài 6 ,cũng dễ

lấy N là trung điểm của AD suy ra BN=AD

nối E với C

do góc EBC =EDC=90 độ suy ra EBCD là tứ giác nội tiếp

do góc EBC=DAC=90 độ ,góc BEC =ADC (EBCD là tứ giác nội tiếp) suy ra tam giác BEC đồng dạng với ADC

suy ra BC/AC=BE/AD=BE/BN mà góc EBN=BAC suy ra tam giác BEN đồng dạng CBA suy ra góc BNE=90 độ .....

câu 5 mình làm thử có vẻ giống cách của HoangViemDuy

từ xy+yz+zx=xyz $\rightarrow \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1$

ta có : $\frac{1}{x}+\frac{1}{x}+\frac{1}{x}+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{y}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\geq \frac{(1+1+1+1+1+1+1+1)^{2}}{4x+3y+z}=\frac{64}{4x+3y+z}$ 

CMTT rồi cộng 3 vế vào $\rightarrow \sum \frac{64}{4x+3y+z}\leq 8(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})=8\rightarrow \sum \frac{1}{4x+3y+z}\leq \frac{1}{8}$

AM-GM:

$\frac{a}{2\sqrt{b}-5}+2\sqrt{b}-5\geq 2\sqrt{\frac{a}{2\sqrt{b}-5}.(2\sqrt{b}-5)}=2\sqrt{a}$

CMTT:$\frac{b}{2\sqrt{c}-5}+2\sqrt{c}-5\geq 2\sqrt{b}$

$\frac{c}{2\sqrt{a}-5}+2\sqrt{a}-5\geq 2\sqrt{c}$

$\Rightarrow \sum \frac{a}{2\sqrt{b}-5}+\sum 2\sqrt{a}-15\geq \sum 2\sqrt{a}\Leftrightarrow \sum \frac{a}{2\sqrt{b}-5}\geq 15$

DBXR khi $x=y=z=5$

bạn Dinh Xuan Hung ơi, đề bài cho  a,b,c$> \frac{25}{4}$=6,25 sao dấu bằng xảy ra lại a=b=c=5

câu 9-tự luận

kẻ AN vuông góc với DB (N thuộc DB)

tự chứng minh $\Delta DAN$ đồng dạng $\Delta DBI$

suy ra $\frac{AN}{IB}=\frac{AD}{DB}\Rightarrow AN.DB=IB.DA\Rightarrow IB.DA\leq AO.DB\Rightarrow IB.DA.CH\leq AO.DB.CH= DB.KO.AC$

tìm nghiệm x,y,z nguyên dương của phương trình x+y+z=xyz

Cho tam giác ABC có:

M $\epsilon \Delta ABC$

MN//AB ( N $\epsilon AC$ )

MP//AC ( P $\epsilon AB$ )

MP $\cap BN = {E}$

MN $\cap CP = {F}$

Chứng minh  EF//BC

ta có : NF/BP=LF/PL (NF//BP)(1)

           PE/NC=PL/LC (PE//NC)(2)

nhân 2 vế (1) và (2) suy ra NF/BP .PE/NC =LF/LC(3)

CMTT: NF/BP .PE/NC =LE/LB(4)

từ (3) và (4) suy ra LE/LB = LF/LC suy ra EF//BC

chứng minh rằng phương trình : $2^{x}-3=65y$ không có nghiệm nguyên

cho a,,b,c là 3 số ko âm tm a+b+c=1

CMR $(1+a^{2})(1+b^{2})(1+c^{2}) \geq \frac{10^{3}}{9^{3}}$

mình làm thử bạn xem thấy có đúng không nhé 

tứ giác BHCO có BOC+BHC=90+90=180 suy ra BHCO nt suy ra OHC=BOC=45(1)

tự chứng minh BH/HC=BC/CN=AB/CN=BM/MC suy ra MH là đường phân giác BHC suy ra MHC=45(2)

từ (1) và (2) suy ra O,M,H thẳng hàng

ecchi123 nè sao mấy bài này quen quen

hachinh2013 siêu thật  , mình làm bài này tịt luôn

cho a,b,c >0 tm $a^{2}+b^{2}+c^{2}=3$

CMR: $\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\geq \frac{9}{a+b+c}$

cho $1\leq a,b,c\leq 3, a+b+c=6$

tìm GTNN

P : $\frac{(a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2+12abc+72)}{ab+bc+ca}-\frac{1}{2}abc$

cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn $a^2+b^2+c^2=3$

CMR :$\sum \sqrt{\frac{3}{\left (a+b \right )^{2}}+c^2} \geq \frac{3\sqrt{7}}{2}$

$\frac{AB}{GI}=\frac{AB}{AF}=\frac{AC}{AG}=\frac{AC}{FI}$

do AGIF là hình bình hành suy ra $\widehat{FAG}+\widehat{AGI}=180\rightarrow 90+\widehat{BAC}+\widehat{AGI}=180\rightarrow \widehat{BAC}+\widehat{AGI}=90$(1)

mà $\widehat{AGI}+\widehat{IGC}=90$(2)

tù (1) và (2) suy ra góc BAC =IGC nên 2 tam giác BAC và IGC đồng dạng $\rightarrow \widehat{ACB}=\widehat{GCI}\rightarrow \widehat{ICB}=\widehat{ACG}=45$

đúng thì like nhé

lấy F,G là trung điểm của AD ,AE

bạn tự chúng minh $\Delta FIB= \Delta GCI$ suy ra IB=IC

còn chứng minh 90 độ thì dễ rùi

sorry

sữ dụng kiến thúc về đường trung bình suy ra FI=$\frac{1}{2}AE= GC$

                                                                         GI...=FB

do $\widehat{AFB}= \widehat{AGC}\rightarrow \widehat{AFI}+\widehat{BFI}=\widehat{AGI}+\widehat{IGC}\rightarrow \widehat{BFI}=\widehat{IGC}$

từ ba điều đó suy ra 2tam giác FIB=GCI (C-G-C)

chứng minh định lý Wilson :cho p là số nguyên tố khi đó $(p-1)!+1 chia hết cho p

các bạn giải cách dễ hiểu dùm nhé

$cho 0\leq x\leq 2 ,0\leq y\leq 2 CMR x^{2}+y^{2} \leq 5$

xin lỗi các bạn nhé ! đề bài phải là: $cho 0\leq x\leq 2 ,0\leq y\leq 2, x+y=3 .CMR: x^{2}+y^{2}\leq 5$

cho a,b,c là ba số nguyên tố và n là số nguyên dương thỏa mãn $a^{n}+b^{n}=c^{2}$

chứng minh rằng $n=1$

a)tam giác EQC đồng dạng DPB(3) suy ra góc DBP= ECQ(1)

   tam giác DMB đồng dạng EMC(4) suy ra góc DBM=ECM(2)

trừ từng vế (1) cho (2) suy ra góc MBP=MCQ(5)

từ (3) QC/BP=EC/DB(6)

từ (4) MC/MB=EC/DB(7)

từ (5), (6) và (7) suy ra tam giác MQC đồng dạng MPB suy ra ...

b)giả sử HI cắt DP tại M' rồi chứng minh M trùng M' (phần này dễ nên bạn tự chứng minh nhé)

Cho $\Delta ABC$ cân tại $A$. Một đường thẳng song song với $BC$ theo thứ tự cắt $AB,AC$ tại $E$ và $F$. $M$ là một điểm tùy ý thuộc $EF$. $BM$ và $CN$ theo thứ tự cắt $AC$ và $AB$ tại $P$ và $Q$. Chứng minh rằng tổng $\frac{1}{BQ}+\frac{1}{CP}$ không phụ thuộc vào vị trí của $M$
(Chỉ giải bằng cách dùng định lí Thales thuận, đảo, hệ quả, không dùng tam giác đồng dạng hay kiến thức lớp cao)
Thầy em gợi ý là gọi $AM \cap BC=N$

mìnhl àm rồi nhưng không biết có đúng không?

ta có: EM/BC = EQ/QB = (BQ-BE)/QB = 1-BE/QB (1)

CMTT: MF/BC = 1-FC/PC (2)

cộng (1) với (2) : EF/BC = 2 - BE(1/BQ+1/CP)

                 suy ra:AE/AB = 2 - BE(1/BQ+1/CP)

                 suy ra 1-BE/AB= 2 - BE(1/BQ+1/CP)

                 suy ra  BE(1/BQ+1/CP-1/AB)=1      

                 suy ra  1/BQ+1/CP=1/BE+1/AB

Do EF là cố định nên 1/BQ+1/CP không phụ thuộc vào vị trí điểm M