Cho a, b, c là các số nguyên dương t/m điều kiện $a^{2}+b^{2}+c^{2}=12$

CMR: $\sum \frac{1}{a+b}\geq \sum \frac{8}{a^{2}+28}$

giải phương trình đã cho ra nghiệm chỉ có a=b=c=2 thỏa mãn => thay vô bđt

Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn $a^{2}+b^{2}+c^{2}=1$

Tìm GTLN của $P=(a+b+c)^{3}+a(2bc-1)+b(2ca-1)+c(2ab-1)$

P=$P=\left ( a+b+c \right )^{3} - \left ( a+b+c \right ) + 6abc = 2.\left ( a+b+c \right ).\left ( ab+bc+ca \right )+6abc$

$\left ( a+b+c \right )^{2}\leq 3\sum a^{2}=3\Rightarrow \left ( a+b+c \right )\leq\sqrt{3}$

$\sum ab\leq \sum a^{2}=1$

$1=\sum a^{2}\geq 3\sqrt[3]{abc^{2}}\Rightarrow abc\leq \frac{1}{3\sqrt{3}}\Rightarrow 6abc\leq \frac{2\sqrt{3}}{3}$

=> $P\leq 2.\sqrt{3}+\frac{2\sqrt{3}}{3}=\frac{8\sqrt{3}}{3}$

Ta có $a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a\leq \left ( a^{2}+b^{2}+c^{2} \right )\sqrt{\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{3}}$

Và $a^{4}+b^{4}+c^{4}\geq \frac{\left ( a^{2}+b^{2}+c^{2} \right )^{2}}{3}\Rightarrow A\leq \sqrt{\frac{3}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}\leq 1$

Do đó GTLN của A là 1

Mặt khác ta đặt $x=a^{2};y=b^{2};z=c^{2}\Rightarrow x,y,z\in [1;4]\Rightarrow 3A\geq \frac{2(x+y+z)+xy+yz+zx}{5(x+y+z)-12}=f(x,y,z)$

Dễ dàng chứng minh được $f(x,y,z)\geq min\left \{ f(1,y,z),f(4,y,z) \right \}\geq min\left \{ f(1,4,z),f(1,1,z),f(4,1,z) \right \}\geq \frac{7}{8}$

bđt đầu và chỗ 3A>= ... đó biến đổi kiểu gì hay vậy bạn???

$(x+y+z)^{^{3}}-(x^{3}+y^{3}+z^{3})= 3(x+y)(y+z)(z+x) \Rightarrow 3(x+y)(y+z)(z+x)=15^{3}-495=2880$$\Rightarrow (x+y)(y+z)(z+x)=960=2^{6}\times 3\times 5$

suy ra x+y, y+z, z+x co 2 so chan, 1 le rồi xét các trường hợp ra nghiệm

cả 3 số x+y, y+z, z+x cùng chẵn thì sao nghiệm (3;5;7) mà

Một hình chữ nhật và một hình vuông có chu vi bằng nhau nhưng diện tích hình chữ nhật kém diện tích hình vuông 49 cm². Đường chéo của hình chữ nhật dài 26cm. Vậy, diện tích hình chữ nhật bằng bao nhiêu cm2.

Gọi chiều dài hcn là x, chiều rộng là y (x>y>0), cạnh hình vuông là a(a>0).

Theo đề bài ta suy ra: x+y=2a                                            

                                   xy + 49 = $a^{2}$                                (1)

                              => xy + 49 = $\left ( \frac{x+y}{2} \right )^{2}$

                               $\Leftrightarrow 4xy+49=x^{2}+2xy+y^{2} \Leftrightarrow \left ( x-y \right )^{2}=14^{2} \Leftrightarrow x-y=14 (x>y)$

Ta có hệ: x+y=2a

               x-y=14

           <=> x= a+7 ; y=a-7.Thay vào (1) tìm được a rồi tinh x,y.đến đây chắc bạn tự làm được r

Cho tam giác ABC vuông tại A có diện tích bằng 54cm². Hai cạnh góc vuông hơn kém nhau 3cm.
Khi đó độ dài hình chiếu của cạnh góc vuông dài hơn trên cạnh huyền là bao nhiêu cm
((((((((((((((((((((((((((((((((Nhập kết quả dưới dạng số thập phân gọn nhất.))))))))))))

Gọi cạnh góc vuông dài là a(a>0)

Ta có: $\frac{a(a-3)}{2}=54\Rightarrow a^{2}-3a-108=0\Rightarrow a=12(a>0)$

=> cạnh góc vuông nhỏ là 9 cm, cạnh huyền bằng 15

=>độ dài hình chiếu của cạnh góc vuông dài hơn trên cạnh huyền là : $\frac{12^{2}}{15}=9,6$cm

=>

Tìm tất cả các đa thức P(x) thỏa mãn đồng thời hai điều kiện: $P(2)=12$ và $P(x^{2})=x^{2}(x^{2}+1)P(x)$, với x là số thực

Từ đề bài => $P(1)=2P(1)=2P(-1)\Rightarrow P(1)=P(-1)=0$

                     $P(0)=0$

   $\Rightarrow P(x)=(x-1)x(x+1)Q(x)$

Ta tính được: $Q(x)=x \Rightarrow P(x)=x^{2}(x^{2}-1)$

Tìm GTLN của $P=\frac{mn}{(m+1)(n+1)(m+n+1)}$, trong đó m, n là các số tự nhiên

$P=\frac{\left ( mn+m+n+1 \right )-(m+n+1)}{(mn+m+n+1)(m+n+1)}=\frac{1}{m+n+1}-\frac{1}{mn+m+n+1}\leq \frac{1}{m+n+1}\leq 1$(do m.n là các số tự nhiên.

Giải các pt

1,$x=(\sqrt{1+x}+1)(\sqrt{x+10}-4)$

2.$\frac{6x-3}{\sqrt{x}-\sqrt{1-x}}=3+\sqrt{x-x^{2}}$

3,$\sqrt{4x^{2}+5x+1}+\sqrt{4x^{2}+5x+7}=3$

4,$2\sqrt[3]{3x-2}+3\sqrt{6-5x}=8$

5,$3(x^{2}+4x+5)=10\sqrt{x^{3}+5x^{2}+9x+6}$

3) ĐKXĐ:$x\geq \frac{-1}{4} V x\leq -1$ Nhân liên hợp ta được:

$\frac{6}{\sqrt{4x^{2}+5x+7}-\sqrt{4x^{2}+5x+1}}=3\Rightarrow \sqrt{4x^{2}+5x+7}-\sqrt{4x^{2}+5x+1}=2$

Kết hợp pt đầu là bạn làm được rồi

Giải các pt

1,$x=(\sqrt{1+x}+1)(\sqrt{x+10}-4)$

2.$\frac{6x-3}{\sqrt{x}-\sqrt{1-x}}=3+\sqrt{x-x^{2}}$

3,$\sqrt{4x^{2}+5x+1}+\sqrt{4x^{2}+5x+7}=3$

4,$2\sqrt[3]{3x-2}+3\sqrt{6-5x}=8$

5,$3(x^{2}+4x+5)=10\sqrt{x^{3}+5x^{2}+9x+6}$

5)ĐKXĐ:x>=-2

PT<=>$3(x^{2}+4x+5)=10\sqrt{(x+2)(x^{2}+3x+3)}$

đặt $a=\sqrt{x+2};b=\sqrt{x^{2}+3x+3}$.Ta có pt mới:

$3(a^{2}+b^{2})=10ab\Leftrightarrow (a-\frac{b}{3})(a-3b)=0$

Đến đây bạn tự giải nhé ))

Dấu "=" ko xảy ra :3

ừ nhỉ quên mất

hay. đánh giá theo kiểu này đỡ hơn tí xíu $x^{6}+64+64\geq 3.16.x^2\geq 6x^3(\frac{1+5-x^2}{2})\geq 6y^3(3+\sqrt{5-x^2})$

bđt thứ 2 từ đâu suy ra đó bạn???

Cho 3 số thực $a,b,c\geq 1$ tìm GTLN của: $P=\frac{(1+a)(1+b)(1+c)}{abc+1}$

Giả sử $x^{2}\geq y^{2}\geq z^{2}\geq 0$$\Rightarrow x^{6}\geq y^{6}\geq z^{6}$

Từ (3)=>$2z^{2010}\geq x^{6}+z^6=2y^{2010}\Rightarrow z^2\geq y^2$

Tương tự $y^{2}\geq x^{2}\Rightarrow x^{2}\geq y^{2}\geq z^{2}\geq y^{2}\geq x^{2}\Rightarrow x^{2}=y^{2}=z^{2}$

Đến đây dễ dàng rùi bạn tự giải nhé )

Gọi giao điểm của BD với CM,CN lần lượt là E,F.Gọi H là giao điểm của MF vói NE.CI cắt MN tại I.

Ta có: $\angle MBF=\angle MCF=45\Rightarrow$ Tứ giác BCFM nội tiếp=> $\angle MFC=90$ => MF là đường cao của tam giác MNC.

Tương tự ta có: NE là đường cao của tam giác MNC=> H là trực tâm tam giác MNC=>CI là đường cao tam giác MNC

Ta có: tứ giác BMFC và EFNM nội tiếp=>$\angle BMC=\angle BEC=\angle CMI \Rightarrow \bigtriangleup CMB=\bigtriangleup CMI\Rightarrow MI=BM$

Tương tự ta có:NI=DN

Do đó: chu vi tam giác AMN=AN+AM+MN=AB+AD=$\frac{1}{2}$chu vi hình vuông ABCD

Với n là số nguyên dương, gọi $a_{3n-3}$ là hệ số của $x^{3n-3}$ trong khai triển thành đa thức của $(x+1)^{n}.(x+2)^{n}$ . Tìm n . Xin các bạn giải dùm cám ơn trước.

Đặt $P(x)=(x+1)^{n}.(x+2)^n=(x^2+3x+2)^n$ => lũy thừa bậc cao nhất của P(x) là 2n.

Kết hợp đề bài ta suy ra $2n\geq 3n-3\Rightarrow$ n=1 hoặc n=2 hoặc n=3.

Mình thấy cách làm của mình chưa cần dùng đến hệ số a. Bạn tham khảo và chỉnh sửa nhé

$\left\{\begin{matrix} x+y+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{9}{2}\\ xy+\frac{1}{xy}=\frac{5}{2} \\ \end{matrix}\right.$

ĐKXĐ: xy khác 0

Từ phương trình thứ 2 ta có:xy=2 hoặc xy=$\frac{1}{2}$

=> rút x theo y rồi bạn thế vào PT thứ nhất là ra phương trình bậc 2 ẩn y.Đến đây bạn tự giải được rồi

Bài 1: Cho 3 số a,b,c$\geq 1$ Tìm max của P=$\frac{(1+a)(1+b)(1+c)}{abc+1}$

Bài 2: Cho các số x,y,z dương thỏa mãn xyz=1 Chứng minh $\sum \sqrt{\frac{6}{x^{3}+1}}\leq \sqrt{\left ( x+y+z \right )^{3}}$

Bạn làm tốt chứ.Mình thấy có mấy bài Đại số lạ đó...

Mà bài 2: b, 2 nghiệm nguyên dương hay dương thui bạn. Nếu là nguyên thì giống đề

TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN

NĂNG KHIẾU TRẦN PHÚ HẢI PHÒNG NĂM HỌC 2012- 2013

Đề bài cho là y+z/x+y mà!

thế thì ko thêm $\frac{y^{2}}{y^{2}}$ nữa mà thay bằng $\frac{z^{2}}{z^{2}}$ là được mà

cho  f(x)=$x^{2009}+x^{2008}+1.$. Số dư trong phép chia đa thức f(x) cho đa thức $x^2+x+1$

$f(x)=(x^{2009}-x^{2})+(x^{2008}-x)+x^2+x+1=x^{2}.(x^{3.669}-1^{669})+x.(x^{3.669}-1^{669})+x^2+x+1$

Ta có: $x^{3.669}-1^{669}\vdots \left ( x^{3}-1 \right )$

          $x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)$

=>đpcm

Theo t/c đường phân giác và tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

$\frac{AF}{AC}=\frac{BF}{BC}=\frac{AF+BF}{AC+BC}=\frac{AB}{AC+BC}$

Tương tự: $\frac{BD}{BA}=\frac{BC}{AB+AC};\frac{CE}{CB}=\frac{AC}{AB+BC}$

  Đặt BC=a;CA=b;AB=c (a,b,c>0).Ta cần chứng minh:

  $\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\geq \frac{3}{2}$ (BĐT nesbit bạn tự CM nhá)

Bạn có thể giải cụ thể hơn được không?. Vì theo mình biết bài toán này chi có 1 đáp số duy nhất. Nhưng dù sao thì mình cũng cám ơn bạn nhiều.

bạn muốn mình giải cụ thể chỗ nào???

 kí hiệu $\sum \prod$  mình chưa lần nào viết, gần đây vào diễn đàn thấy viết thế tiết kiệm nhiều TG nhưng ko biết đi thi tỉnh được viết ko các bạn????

 

Bài 1: a) Cho hai số tự nhiên a, b thỏa mãn điều kiện  $a^{2}+a=2b^{2}+b$. Chứng minh rằng a-b và a+b+1 đều là các số chính phương        

Giải: Ta có $a^{2}+a=2b^{2}+b\Leftrightarrow a^{2}-b^{2}+a-b=b^{2}\Rightarrow (a-b)(a+b+1)=b^{2}$

Tích của hai số là một số chính phương nên hai số a - b và a + b + 1 là các số chính phương

Tích 2 số là 1 số chính phương chưa suy ra được 2 số đó chính phương đâu.

Gọi d là ước nguyên tố chung của a-b và a+b+1.

$\left\{\begin{matrix} a-b\vdots d & \\ a+b+1\vdots d & \\ b^{2}\vdots d & \end{matrix}\right.$ mà d nguyên tố

$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} b\vdots d & \\ a+b+1\vdots d & \\ a\vdots d & \end{matrix}\right. \Rightarrow 1\vdots d$

=> không có d  thỏa mãn

=> a-b và a+b+1 nguyên tố cùng nhau

=> đpcm