Mọi người cùng mình làm đề này nhé

Câu 1 : (2,5 điểm)

1, Các số thực  a,b,c đồng thời thỏa mãn 2 đẳng thức :

• (a+b)(b+c)(c+a)=abc
• $(a^{3}+b^{3})(b^{3}+c^{3})(c^{3}+a^{3})=a^{3}b^{3}c^{3}$

Chứng minh rằng abc=0

2, Các số thực dương a,b thỏa mãn ab>2013a+2014b. Chứng minh bất đẳng thức :

                     $a+b> (\sqrt{2013}+\sqrt{2014})^{2}$

Câu 2 : (2 điểm)

Tìm tất cả các cặp số hữu tỉ (a;b) thỏa mãn hệ phương trình :

$\left\{\begin{matrix} x^{3}-2y^{3}=x+4y & \\ 6x^{2}-19xy+15y^{2}=1 & \end{matrix}\right.$

Câu 3 : (1 điểm)

Câu 5 : (1 điểm)

tài liệu bổ ích. mọi người nên xem(có đề thi chuyên ĐHSP 2013-2014):http://docs.vietnamd...gchuyen2013.pdf

Cái tài liệu này hay thật!!!

$Neu 'm 'le thi sao$

ý bạn là ở trường hợp nào

 

Ai làm Bài 3 b) đi. Ngồi trong phòng thi cày mãi mà chẳng ra.  Hu..hu    ...  ....

 

ĐỀ THI HSG TOÁN 9, THANH HÓA NĂM HỌC 2014-2015

Ngày thi: 25/03/2015

Bài 3:  b) Tìm tất cả các số nguyên tố p, q sao cho tồn tại m là số tự nhiên thỏa mãn $\frac{pq}{p+q}=\frac{m^{2}+1}{m+1}$
 

Từ đề bài ta có: pq(m+1)=(p+q)$(m^{2}+1)$ (*)

+)xét p=q . Cái này bạn tự làm nhé!!!

+)xét p khác q: => $p+q$ không chia hết cho p, không chia hết cho q.Từ (*) => $(m^{2}+1)\vdots pq$ (1)

                       -)với m=0 : ta suy ra p=q=2

                       -)với m=1:  p=q=2

                       -)với $m\geq 2$ => $m+1< m^{2}+1$ .Do đó từ (*) suy ra: $pq\vdots m^{2}+1$               (2)

                    Từ (1) và (2) suy ra: $pq=m^{2}+1\Rightarrow p+q=m+1\Rightarrow (p-q)^{2}=-3m^{2}+2m-3$ (vô nghiệm)

 

ĐỀ THI HSG TOÁN 9, THANH HÓA NĂM HỌC 2014-2015

Ngày thi: 25/03/2015

 

 

Bài 2:    b) Giải hệ phương trình $\left\{\begin{matrix} x^{2}+y^{2}=2x^{2}y^{2} & \\ (x+y)(1+xy)=4x^{2}y^{2} & \end{matrix}\right.$

 

Từ PT (1)=> $(x+y)^2=2xy(xy+1)$                  (3)

Từ PT (2)=> $(x+y)^{2}(1+xy)^{2}=16xy^{4}$  (4)

Từ (3) và (4): $2xy(xy+1)^{3}=16xy^{4}$

+)xét xy=0=>x=y=0

+)xét xy khác 0 => $2(xy+1)^{3}=16xy^{3}$ => tìm được xy.Đến đây bạn tự giải được rồi nhé!

Câu 5:
Đặt $x=u+v+1\Rightarrow x+1=u+v+1=(u+1)(v+1)$
Suy ra:cộng mỗi dãy số trên với 1 thì sau mỗi lần thực hiện xóa đi hai số u+1 và v+1 thì ta viết lên dãy (u+1)(v+1)
Nếu lúc đầu dãy số có u,v,a,b,c... thì sau đó có dãy số x,a,b,c...(xóa u,v và thay bằng x)
Vì (u+1)(v+1)(a+1)(b+1)(c+1)...=(x+1)(a+1)(b+1)(c+1)....
Lúc này tích các số trên dãy số sau mỗi lần thực hiện xóa và thay số là không đổi . Tức là giá trị của số cuối cùng đó không phụ thuộc vào việc chọn các số u, v để xóa trong mỗi lần thực hiện việc biến đổi dãy . Vậy, nếu cuối cùng còn số k thì$k+1=\left ( \frac{1}{1}+1 \right )\left ( \frac{1}{2}+1 \right )...\left ( \frac{1}{2015}+1 \right )=2016\Rightarrow k=2015$ 
Suy ra k = 2015. Vậy số cuối cùng đó là 2015.

cảm ơn bạn nhé mình hiểu r.Nhưng chỗ đầu bạn viết nhầm : Đặt $x=u+v+uv \Rightarrow x+1=(u+1)(v+1)$

Chắc là quy nạp ấy ???

mình biết là dạng đó rùi nhưng vẫn ko hiểu

Câu 3/b

$PT\Leftrightarrow (x^2+1)(x+1)=(2y-1)^2\Rightarrow (x^2+1;x+1)=1\Rightarrow x^2+1=a^2$.

 

Câu 5/

QN.

Với $n=3$ thì $3$.

Ta có: $1;\frac{1}{2};...;\frac{1}{j}\Rightarrow j$.

CM: $1;\frac{1}{2};...;\frac{1}{{j+1}}\Rightarrow j+1$.

Thật vậy: $LHS=j+\frac{1}{j+1}+\frac{j}{j+1}=j+1=RHS$.

Vậy với $2015$ số thì $2015$ là đáp án cần tìm.

p/s: Key thực sự rứt đẹp.

Lòng như MT

  mình chưa hiểu lắm.Bạn có thể giải rõ hơn được ko??? Mà LHS và RHS là gì vậy

Bạn có thể giải cụ thể hơn được không?. Vì theo mình biết bài toán này chi có 1 đáp số duy nhất. Nhưng dù sao thì mình cũng cám ơn bạn nhiều.

bạn muốn mình giải cụ thể chỗ nào???

Với n là số nguyên dương, gọi $a_{3n-3}$ là hệ số của $x^{3n-3}$ trong khai triển thành đa thức của $(x+1)^{n}.(x+2)^{n}$ . Tìm n . Xin các bạn giải dùm cám ơn trước.

Đặt $P(x)=(x+1)^{n}.(x+2)^n=(x^2+3x+2)^n$ => lũy thừa bậc cao nhất của P(x) là 2n.

Kết hợp đề bài ta suy ra $2n\geq 3n-3\Rightarrow$ n=1 hoặc n=2 hoặc n=3.

Mình thấy cách làm của mình chưa cần dùng đến hệ số a. Bạn tham khảo và chỉnh sửa nhé

$(x+y+z)^{^{3}}-(x^{3}+y^{3}+z^{3})= 3(x+y)(y+z)(z+x) \Rightarrow 3(x+y)(y+z)(z+x)=15^{3}-495=2880$$\Rightarrow (x+y)(y+z)(z+x)=960=2^{6}\times 3\times 5$

suy ra x+y, y+z, z+x co 2 so chan, 1 le rồi xét các trường hợp ra nghiệm

cả 3 số x+y, y+z, z+x cùng chẵn thì sao nghiệm (3;5;7) mà

Tìm tất cả các đa thức P(x) thỏa mãn đồng thời hai điều kiện: $P(2)=12$ và $P(x^{2})=x^{2}(x^{2}+1)P(x)$, với x là số thực

Từ đề bài => $P(1)=2P(1)=2P(-1)\Rightarrow P(1)=P(-1)=0$

                     $P(0)=0$

   $\Rightarrow P(x)=(x-1)x(x+1)Q(x)$

Ta tính được: $Q(x)=x \Rightarrow P(x)=x^{2}(x^{2}-1)$

Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn $a^{2}+b^{2}+c^{2}=1$

Tìm GTLN của $P=(a+b+c)^{3}+a(2bc-1)+b(2ca-1)+c(2ab-1)$

P=$P=\left ( a+b+c \right )^{3} - \left ( a+b+c \right ) + 6abc = 2.\left ( a+b+c \right ).\left ( ab+bc+ca \right )+6abc$

$\left ( a+b+c \right )^{2}\leq 3\sum a^{2}=3\Rightarrow \left ( a+b+c \right )\leq\sqrt{3}$

$\sum ab\leq \sum a^{2}=1$

$1=\sum a^{2}\geq 3\sqrt[3]{abc^{2}}\Rightarrow abc\leq \frac{1}{3\sqrt{3}}\Rightarrow 6abc\leq \frac{2\sqrt{3}}{3}$

=> $P\leq 2.\sqrt{3}+\frac{2\sqrt{3}}{3}=\frac{8\sqrt{3}}{3}$

Tìm GTLN của $P=\frac{mn}{(m+1)(n+1)(m+n+1)}$, trong đó m, n là các số tự nhiên

$P=\frac{\left ( mn+m+n+1 \right )-(m+n+1)}{(mn+m+n+1)(m+n+1)}=\frac{1}{m+n+1}-\frac{1}{mn+m+n+1}\leq \frac{1}{m+n+1}\leq 1$(do m.n là các số tự nhiên.

Dấu "=" ko xảy ra :3

ừ nhỉ quên mất

Cho 3 số thực $a,b,c\geq 1$ tìm GTLN của: $P=\frac{(1+a)(1+b)(1+c)}{abc+1}$

Một hình chữ nhật và một hình vuông có chu vi bằng nhau nhưng diện tích hình chữ nhật kém diện tích hình vuông 49 cm². Đường chéo của hình chữ nhật dài 26cm. Vậy, diện tích hình chữ nhật bằng bao nhiêu cm2.

Gọi chiều dài hcn là x, chiều rộng là y (x>y>0), cạnh hình vuông là a(a>0).

Theo đề bài ta suy ra: x+y=2a                                            

                                   xy + 49 = $a^{2}$                                (1)

                              => xy + 49 = $\left ( \frac{x+y}{2} \right )^{2}$

                               $\Leftrightarrow 4xy+49=x^{2}+2xy+y^{2} \Leftrightarrow \left ( x-y \right )^{2}=14^{2} \Leftrightarrow x-y=14 (x>y)$

Ta có hệ: x+y=2a

               x-y=14

           <=> x= a+7 ; y=a-7.Thay vào (1) tìm được a rồi tinh x,y.đến đây chắc bạn tự làm được r

Theo t/c đường phân giác và tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

$\frac{AF}{AC}=\frac{BF}{BC}=\frac{AF+BF}{AC+BC}=\frac{AB}{AC+BC}$

Tương tự: $\frac{BD}{BA}=\frac{BC}{AB+AC};\frac{CE}{CB}=\frac{AC}{AB+BC}$

  Đặt BC=a;CA=b;AB=c (a,b,c>0).Ta cần chứng minh:

  $\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\geq \frac{3}{2}$ (BĐT nesbit bạn tự CM nhá)

Cho a, b, c là các số nguyên dương t/m điều kiện $a^{2}+b^{2}+c^{2}=12$

CMR: $\sum \frac{1}{a+b}\geq \sum \frac{8}{a^{2}+28}$

giải phương trình đã cho ra nghiệm chỉ có a=b=c=2 thỏa mãn => thay vô bđt

Cho a; b; x; y nguyên sao cho $a+b=x+y$ và $ab+1=xy$ Chứng minh rằng $x=y$

Chú ý: Cách gõ công thức Toán.

            Cách đặt tiêu đề bài viết đúng quy định.

3/

$LHS\leq \sqrt{3.\sum \frac{bc}{(a+b)(a+c)}}$.

Mà: $\sum \frac{bc}{(a+b)(a+c)}\leq \frac{1}{4}\sum (\frac{bc}{a+b}+\frac{bc}{a+c})\Rightarrow QED$

bđt đó bạn lấy từ bđt nào vậy. mình thử lại thấy sai

Ta có $a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a\leq \left ( a^{2}+b^{2}+c^{2} \right )\sqrt{\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{3}}$

Và $a^{4}+b^{4}+c^{4}\geq \frac{\left ( a^{2}+b^{2}+c^{2} \right )^{2}}{3}\Rightarrow A\leq \sqrt{\frac{3}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}\leq 1$

Do đó GTLN của A là 1

Mặt khác ta đặt $x=a^{2};y=b^{2};z=c^{2}\Rightarrow x,y,z\in [1;4]\Rightarrow 3A\geq \frac{2(x+y+z)+xy+yz+zx}{5(x+y+z)-12}=f(x,y,z)$

Dễ dàng chứng minh được $f(x,y,z)\geq min\left \{ f(1,y,z),f(4,y,z) \right \}\geq min\left \{ f(1,4,z),f(1,1,z),f(4,1,z) \right \}\geq \frac{7}{8}$

bđt đầu và chỗ 3A>= ... đó biến đổi kiểu gì hay vậy bạn???

Cho tam giác ABC vuông tại A có diện tích bằng 54cm². Hai cạnh góc vuông hơn kém nhau 3cm.
Khi đó độ dài hình chiếu của cạnh góc vuông dài hơn trên cạnh huyền là bao nhiêu cm
((((((((((((((((((((((((((((((((Nhập kết quả dưới dạng số thập phân gọn nhất.))))))))))))

Gọi cạnh góc vuông dài là a(a>0)

Ta có: $\frac{a(a-3)}{2}=54\Rightarrow a^{2}-3a-108=0\Rightarrow a=12(a>0)$

=> cạnh góc vuông nhỏ là 9 cm, cạnh huyền bằng 15

=>độ dài hình chiếu của cạnh góc vuông dài hơn trên cạnh huyền là : $\frac{12^{2}}{15}=9,6$cm

=>

cho  f(x)=$x^{2009}+x^{2008}+1.$. Số dư trong phép chia đa thức f(x) cho đa thức $x^2+x+1$

$f(x)=(x^{2009}-x^{2})+(x^{2008}-x)+x^2+x+1=x^{2}.(x^{3.669}-1^{669})+x.(x^{3.669}-1^{669})+x^2+x+1$

Ta có: $x^{3.669}-1^{669}\vdots \left ( x^{3}-1 \right )$

          $x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)$

=>đpcm