Bài toán. Cho $f:[0,1]\times [0,1]\rightarrow \mathbb{R}$ là một hàm số liên tục

Tính $lim_{n\rightarrow \infty }\left ( \frac{(2n+1)!}{ (n!)^{2}} \right )^{2}\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}(xy(1-x) (1-y))^{n}f(x,y)dxdy$

  Nguồn gốc : Từ cuộc thi Annual Vojtech Jarnik

Lưu ý với các bạn là có một số bài không thấy ghi lời giải

 1991  j01solutions.pdf   111.92KB   195 downloads               1998  j08solutions.pdf   175.1KB   182 downloads

 1992  j02solutions.pdf   114.65KB   150 downloads                1999  j09solutions.pdf   147.21KB   183 downloads

 1993  j03solutions.pdf   130.89KB   183 downloads                 2000  j10solutions.pdf   164.37KB   189 downloads

 1994  j04solutions.pdf   124.13KB   133 downloads                 2001  j11solutions.pdf   180.96KB   149 downloads

1995  j05solutions.pdf   133.48KB   149 downloads                  2002  j12solutions.pdf   146.28KB   291 downloads

 1996  j06solutions.pdf   117.64KB   131 downloads                 2003  j13solutions.pdf   132.82KB   181 downloads

 1997  j07solutions.pdf   176.82KB   152 downloads                 2004  j14solutions.pdf   258.96KB   154 downloads

                                    2005  j15solutions.pdf   156.88KB   177 downloads

                                    2006  j16solutions.pdf   162.29KB   145 downloads

         2007  j17solutions1.pdf   85.79KB   249 downloads  j17solutions2.pdf   77.4KB   176 downloads

        2008  j18solutions1.pdf   86.36KB   148 downloads  j18solutions2.pdf   91.7KB   174 downloads

        2009  j19solutions1.pdf   81.52KB   141 downloads  j19solutions2.pdf   87.67KB   137 downloads

        2010  j20solutions1.pdf   87.35KB   175 downloads  j20solutions2.pdf   90.56KB   150 downloads

        2011  j21solutions1.pdf   148.38KB   141 downloads  j21solutions2.pdf   149.88KB   151 downloads

        2012  j22solutions2.pdf   185.63KB   145 downloads  j22solutions1.pdf   211.59KB   146 downloads

        2013  j23solutions1.pdf   136.86KB   154 downloads  j23solutions2.pdf   156.03KB   151 downloads

        2014  j24solutions1.pdf   133.64KB   157 downloads  j24solutions2.pdf   155.63KB   141 downloads

        2015  j25solutions1.pdf   147.43KB   212 downloads  j25solutions2.pdf   157.17KB   178 downloads

Bài toán ( Annual Vojtech Jarnik-2005) Cho R là một vành thỏa:

 Với mọi a,b thuộc R , tồn tại c thuộc R ( phụ thuộc vào hai giá trị a,b) sao cho $a^{2}+b^{2}=c^{2}$

 Chứng minh rằng :

   Với mọi a,b,c thuộc R , luôn tồn tại d thuộc R sao cho $abc+abc=d^{2}$

Bài toán .(AVJ- 2015)

  Tìm tất cả các số thực x sao cho chuỗi sau hội tụ

    $\sum_{n=1}^{\infty }\left ( \sum_{k_{1},..,k_{n}\geq 0,k_{1}+2k_{2}+...+nk_{n}=n}\frac{(k_{1}+...+k_{n})!}{k_{1}!...k_{n}!}x^{k_{1}+...+k_{n}}\right )$

  Tìm tổng của chuỗi khi nó hội tụ

Lưu ý với các bạn là có một bản chứng minh công thức Faa di Bruno bằng tiếng việt trong cuốn bài tập giải tích tập 2 trong phần '' Bộ tài liệu ôn thi olympic môn giải tích '' bằng phương pháp giải tích hàm

Bài toán sau đây là chìa khóa cho lời giải bài toán trên có thể tìm được lời giải tiếng việt trong tài liệu tham khảo đã dẫn.

Bài toán . Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n và số thực x>0 ta luôn có

      $\sum_{k_{1},...,k_{n}\geq 0,k_{1}+2k_{2}+...+nk_{n}=n}\frac{(k_{1}+k_{2}+...+k_{n})!}{k_{1}!k_{2}!...k_{n}!}x^{k_{1}+k_{2}+..+k_{n}}=x(1+x)^{n-1}$

   Tiếp theo là một minh họa khác cho việc áp dụng công thức Faa di Bruno

Bài toán. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n ta đều có

     $\sum_{k_{1},...,k_{n}\geq ;k_{1}+2k_{2}+...+nk_{n}=n}\frac{(-1)^{k_{1}+...+k_{n}}(k_{1}+...+k_{n})!}{k_{1}!k_{2}!..k_{n}!}\binom{\frac{1}{2}}{1}^{k_{1}}...\binom{\frac{1}{2}}{1}^{k_{n}}=2(n+1)\binom{\frac{1}{2}}{n+1}$

  Lưu ý $\binom{m}{k}=\frac{m(m-1)...(m-k+1)}{k!}$

   2012-  sols2012.pdf   120.83KB   329 downloads

   2013  sols2013.pdf   125.05KB   150 downloads

2014  sols2014.pdf   158.04KB   179 downloads

Bài toán ( AVJ-2001). Cho a,b,c là các phần tử có cấp hữu hạn của một nhóm. Gỉa sử

          $a^{-1}ba=b^{2};b^{-2}cb^{2}=c^{2};c^{-3}ac^{3}=a^{2}$

Chứng minh rằng a=b=c=e, trong đó e là phần tử đơn vị của nhóm đang xét

Bài toán (AVJ-2014) Cho p là một số nguyên tố và A là một nhóm con của nhóm nhân $F_{p}^{*}$ của trường hữu hạn $F_{p}$.

 Chứng minh rằng: Nếu cấp của nhóm A chia hết cho 6 thì tồn tại x,y,z thuộc A sao cho x+y=z

Bài toán ( Sydney-2013). Tính định thức của ma trận vuông cấp n trong đó phần tử (i,j) bằng i nếu $i\neq j$ và bằng i+1 nếu i=j

Lời giải. Gọi $M_{n}$ là ma trận được định nghĩa, $I_{n}$ là ma trận đơn vị cấp n.

Khi đó ta thấy từ định nghĩa thì ma trận $M_{n}-I_{n}$ có hàng thứ i là (i,i,...,i) nên có hạng bằng 1 và định thức bằng 0 .

 Suy ra 1 là một giá trị riêng của ma trận $M_{n}$ có số bội bằng n-1.

Ta thấy vết của ma trận $M_{n}$ bằng $\sum_{i=1}^{n}(i+1)=\frac{n^{2}+3n}{2}$ nên giá trị riêng còn lại của ma trận $M_{n}$ bằng $\frac{n^{2}+3n}{2}-(n-1)=\frac{n^{2}+n+2}{2}$

  Do đó : $detM_{n}=1^{n-1}\times\frac{n^{2}+n+2}{2}=\frac{n^{2}+n+2}{2}$

Bài toán ( Sydnney-2010) Chứng minh rằng nếu R là một vành thỏa $r^{4}=r$ với mọi $r\in R$ thì R là một vành giao hoán.

Bài toán ( AVJ-?) Cho M là ma trận

                     $M=\begin{pmatrix} -1 & 3 & 0 & ... &0 \\ 3 & 2 & -1 & ... &... \\ 0 & -1 & 2 &... & ...\\ ...& ... & ... &... &... \\ 0 & ... & ... &-1 &2 \end{pmatrix}$

 Chứng minh rằng M có đúng 9 giá trị riêng dương ( tính luôn cả trường hợp bội )

Bài toán ( Sydney-2009 ) Cho $A_{n}$ là ma trận vuông cấp n trong đó phần tử (i,j) bằng 1 nếu $n\leq i+j\leq n+1$ và bằng 0 trong các trường hợp còn lại.

 Tìm các giá trị riêng của $A_{n}$

Bài toán ( Sydney-2005). Tính định thức của ma trận vuông A cấp n trong đó

                                                             $a_{ij}=\frac{(2i+2j-2)!}{2^{2i+2j-2}(i+j-1)!}$

Lời giải. Ta chứng minh kết quả sau:

  Cho  $\alpha \in \mathbb{R}$ , giả sử $C=(c_{ij})_{i,j=1}^{n}$ thỏa $c_{i,j+1}=(i+j-\alpha )c_{ij}$

 với mọi $1\leq i\leq n,1\leq j\leq n-1$ thì $detC=\prod_{i=1}^{n}(i-1)!c_{i,1}$

Bài toán ( Sydney -1999) Chứng minh rằng:

Tích diện tích của hai tam giác cùng nằm trong một mặt phẳng có các đỉnh $A_{1},A_{2},A_{3}.$ và$B_{1},B_{2},B_{3}.$ bằng

                            $\pm\frac{1}{16}\begin{vmatrix} d_{1,1}^{2} &d_{1,2}^{2} &d_{1,3}^{2} & 1\\d_{2,1}^{2} & d_{2,2}^{2} & d_{2,3}^{2} &1 \\d_{3,1}^{2} & d_{3,2}^{2} &d_{3,3}^{2} &1 \\1 & 1 &1 &0 \end{vmatrix}$

  trong đó $d_{i,j}$ là khoảng cách từ $A_{i}$ tới $B_{j}$

Bài toán ( Nordic-2011) Chứng minh rằng

$\begin{vmatrix} a & b & 0 & 0 & 0 & ... & 0 & 0 &0 \\ c &a &b & 0 & 0 & ... & 0 &0 &0 \\0 & c & a & b &0 & ... & 0 & 0 &0 \\... & ... & ... &... &... &... &... &... &... \\ 0 & 0 & 0 & 0 &0 & ... & a &b &0 \\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & ... & c & a &b \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 &... &0 &c & a \end{vmatrix}_{n\times n}=\prod_{k=1}^{n}\left ( a-2\sqrt{bc}cos\frac{k\pi }{n+1} \right )$

Lời giải. Ta sẽ tính định thức bằng các xác định các giá trị riêng của ma trận.

  Trước tiên để cho thuận tiện trong các trình bày ta sẽ xét một trường hợp đặc biệt khi a=0 và bc=1

kí hiệu là $D_{n}$ . Đặt $P_{n}(\lambda )=det(\lambda I_{n}-D_{n})$ .

  Áp dụng khai triển Laplace liện tiếp cho ma trận $\lambda I_{n}-D_{n}$ , lần thứ nhất theo cột thứ nhất , lần thứ hai theo hàng thứ nhất, ta thu được hệ thức

$P_{n}(\lambda )=(-1)^{1+1}\lambda P_{n-1}(\lambda )+(-1)^{2+1}(-c) (-1)^{1+1}(-b)P_{n-2}(\lambda )=\lambda P_{n-1}(\lambda )-P_{n-2}(\lambda )$

  Ta qui ước $P_{0}(\lambda )=1$, bằng tính toán trực tiếp $P_{1}(\lambda )=1$ nên với mọi $n\geq 2$ ta luôn có

                     $P_{n}(\lambda )=\lambda P_{n-1}(\lambda )-P_{n-2}(\lambda )$

 Bằng phương pháp quy nạp ta dễ dàng nhận thấy;

                                 $P_{n}(2cos\theta )=\frac{sin(n+1)\theta )}{sin\theta }, 0< \theta < \pi$

  Dễ dàng nhận thấy $P_{n}(\lambda _{k})=0$ với $\lambda _{k}=2cos\frac{k\pi }{n+1},k=1,2,...n$  mà $degP_{n}(x)=n$ . Từ đây suy ra $\left \{ 2cos\frac{k\pi }{n+1} \right \}_{k=1}^{n}$ là tất cả các giá trị riêng của $D_{n}$.

   Trong trường hợp tổng quát ta thấy $A_{n}=aI_{n}+\sqrt{bc}\overline{D_{n}}$, trong đó $A_{n}$ là ma trận cho trong đề bài còn $\overline{D_{n}}$ có các phần tử trên đường chéo chính bằng 0 và thỏa mãn các tính chất trong trường hợp riêng mà ta đã khảo sát. Theo kết quả trên ta thấy $\left \{ a+2\sqrt{bc}cos\frac{k\pi }{n+1} \right \}_{k=1}^{n}$ là các giá trị riêng của $A_{n}$

   Do đó

       $det(A_{n})=\prod_{k=1}^{n}\left ( a+2\sqrt{bc}cos\frac{k\pi }{n+1} \right )=\prod_{k=1}^{n}\left ( a-2\sqrt{bc}cos\frac{(n+1-k)\pi }{n+1} \right )=\prod_{k=1}^{n}\left ( a-2\sqrt{bc}cos\frac{k\pi }{n+1} \right )$

Bài toán (AVJ-2009) Cho k và n là hai số nguyên dương thỏa $k\leq n-1$ . Đặt $S=\left \{ 1,2,...,n \right \}$ và $A_{1},A_{2},..A_{k}$ là các tập con khác rỗng của S. Chứng minh rằng ta có thể tô màu một số phần tử của S bằng một trong hai màu xanh hoặc đỏ ( có thể có những phần tử không được tô màu) sao cho

 i) Một phần tử bất kỳ của S hoặc không được tô màu hoặc được tô màu đỏ hoặc được tô màu xanh

 ii) Có ít nhất một phần tử của S được tô màu

 iii) Mọi tập $A_{i} (i=1,2...k)$ hoặc chứa toàn các số không được tô màu hoặc chứa ít nhất một cặp số mà mỗi số được tô bởi hai màu khác nhau

Bài toán ( Sydney-2011) Cho m, n là hai số nguyên dương sao cho $m\geq n$ Gọi A là ma trậ vuông cấp n sao cho phần tử (i,j) bằng $C_{mj}^{i}$ . Tính det A .

    Đáp số : $detA=m^{\frac{n(n+1)}{2}}$

Bài toán . Chứng minh rằng:

                 $\sum_{k=1}^{n}\left ( tan\frac{k\pi }{2n+1} \right )^{2}=n\prod_{k=1}^{n}\left (tan\frac{k\pi }{2n+1} \right )^{2}$

Đây là một bộ tài liệu nhằm bước đầu giúp các bạn làm quen với phương pháp hiện đại trong lý thuyết số . Mình mong từ bộ sách này các bạn sẽ tìm được nhiều điều thú vị.  Có một lưu ý là văn phong của các tác giả có hơn cổ và có nhiều chỗ có lỗi đánh máy .

 G. H. Hardy, E. M. Wrighy - An Introduction to the Theory of Numbers 6ed.pdf   13.2MB   184 downloads

Bài toán ( ĐH-FPT 2013 ) Tính định thức sau

         $\begin{vmatrix} x+a_{1} &a_{2} & ... &a_{n} \\a_{1} & x+a_{2} & ... & a_{n}\\ ... &... &... &... \\a_{1} & a_{2} &... & x+a_{n} \end{vmatrix}$

Cách 1 ( Biến đổi sơ  cấp )  Cộng  tất cả các cột 2 ,3,...,n vào cột đầu tiên ta thu được

                                 $\begin{vmatrix} x+a_{1}+a_{2}+...+a_{n} & a_{2} &... & a_{n}\\ x+a_{1}+a_{2}+...+a_{n}&x+a_{2} &... &a_{n} \\ ...& ....& ... &.... \\x+a_{1}+a_{2}+...+a_{n} &a_{2} &... &x+a_{n} \end{vmatrix}$

 Tiếp theo trừ hàng thứ 1 cho các hàng 2,3,...n ta được

                  $\begin{vmatrix} x+a_{1}+a_{2}+...+a_{n} & a_{2} & ... & a_{n}\\ 0 & x & ... & a_{n}\\... & ... & ... & ...\\ 0 & 0 & ... & x \end{vmatrix}$

  Đến đây dễ  thấy giá trị định thức cần tìm bằng $x^{n-1}(x+a_{1}+a_{2}+...+a_{n})$

Cách 2 ( Lý thuyết về giá trị riêng - đa thức đặc trưng )  Đặt  $P(\lambda )=det(A-\lambda I_{n})$,

trong đó $A=\begin{bmatrix} a_{1} &a_{2} & ... &a_{n} \\ a_{1} & a_{2} & ... &a_{n} \\ ...& ... & ... &... \\a_{1} & a_{2}& ... & a_{n} \end{bmatrix}$. 

  Ta thấy rank A=1 , nên 0 là một  giá trị riêng của ma trận A và có số bội bằng $n-rankA=n-1$. 

  Theo đó giá trị riêng còn lại của ma trận A  bằng $a_{1}+a_{2}+...+a_{n}$ . Lưu ý là hệ  số của $\lambda ^{n}$ trong $P(\lambda )$ là $(-1)^{n}$

nên $P(\lambda )=det(A-\lambda I_{n})(-1)^{n}\lambda ^{n-1}(\lambda +a_{1}+a_{2}+...+a_{n})$ 

 Thay $\lambda =-x$ thay thấy $det(A+xI_{n})=x^{n-1}(x+a_{1}+a_{2}+...+a_{n})$.

  Chú ý vế trái là định thức ta cần tính.

Bài toán ( Seemous 2012 )Cho k là số nguyên dương. Tính $lim_{n\rightarrow \infty }n^{k+1}\int_{0}^{1}\left ( \frac{1-x}{1+x} \right )^{n}x^{k}dx$ 

  Đáp số : $\frac{k!}{2^{k+1}}$

Bài toán ( Seemous 2010 ) Gỉa sử $f_{0}:[0,1]\rightarrow \mathbb{R}$ là một hàm số liên tục. Xây dựng dãy hàm $f_{n}:[0,1]\rightarrow \mathbb{R}$ bởi đẳng thức 

                                    $f_{n}(x)=\int_{0}^{x}f_{n-1}(t)dt, n\geq 1$

Chứng minh rằng : $\sum_{n=1}^{\infty }f_{n}(x)=e^{x}\int_{0}^{x}f_{0}(t)e^{-t}dt,\forall x\in [0,1]$

Bài toán.(ĐH - Toronto 2015 ) Tính số chiều của không gian vector con sinh bởi $\left \{ (\sigma (1);\sigma (2);...;\sigma (n)) \right \}$. trong đó $\sigma$  là một song ánh từ $\left \{ 1,2...n \right \}\rightarrow \left \{ 1,2,...,n \right \}$.

   Đáp số : n

Bài toán ( Seemous  2008 ) Cho $M_{n}(\mathbb{R})$ là tập hợp các ma trận vuông cấp n trên trường số thực. Tìm tất cả các hàm $f:M_{n}(\mathbb{R})\rightarrow \left \{ 0,1,2...,n \right \}$ thỏa mãn 

   $f(XY)\leqslant min\left \{ f(X),f(Y) \right \},\forall X,Y\in M_{n}(\mathbb{R})$

Đáp số : $f(A)=rank(A)$

Bài toán (Seemous 2008)  Cho n là một số nguyên dương và $f:[0,1]\rightarrow \mathbb{R}$ là một hàm số liê tục thỏa mãn điều kiện $\int_{0}^{1}x^{k}f(x)dx=1 ,k=1,2,...,n-1.$

   Chứng minh rằng $\int_{0}^{1}(f(x))^{2}dx\geq n^{2}$