Tìm giá trị của $a,b$ sao cho phương trình sau có một nghiệm duy nhất :

$x^{3a}+2x^{x-1}+\sqrt[3]{x^{4}+b}=1$

Giải bất phương trình :

$3x^{3}+\frac{x^{2}}{x^{x^{3}+3}-x^{x+1}} < x^{2x^{2}-3} + 2$

Giải phương trình :

$2x^{cos x^{2}} + 3 sin ( x^{3}-1 ) = 5$

Giải hệ phương trình :$\left\{\begin{matrix}x-zy+xy-z=3 \\ xyz-y^{3}+zx^{2}=6 \\ zx^{2}-xy^{2}+yz^{2}=1 \end{matrix}\right.$

Giải phương trình : $3x^{9} + 5x^{7} - 12 x^{5} + 4x^{6} - x + 3 =0 $ 

Giải phương trình :  $4(x-1)^{|sin x|}+x^{2 cos x}=2$

Cho $k$ là một số tự nhiên . $x,y,z$ là các số thực dương có tổng bằng $1$ . 

Chứng minh rằng : $\sum \frac{x^{k+2}}{x^{k+1}+y^{k}+z^{k}} \geq \frac{1}{7}$

Cho $a,b,c$ là ba cạnh của tam giác . Chứng minh rằng 

$\sum \frac{a^{3}}{b^{2}} \geq \sum \frac{a}{c}(a+b-c)$

Cho các số thực $a,b,c$ khác $0$ và các số thực dương $x,y,z$ có tổng bằng $3$ 

Chứng minh rằng : $\frac{3}{2} \sqrt{\sum \frac{1}{a^{2}}} \geq \sum \frac{x}{1+a^{2}}$

Tìm số nguyên $N$ nhỏ nhất sao cho $N=a^{a+2b}=b^{b+2a}$ $(a$ khác $b)$

Giải hệ phương trình sau :

$\left\{\begin{matrix}a+c+\sqrt{b}=4 \\ \sqrt{ab}+bc=3 \\ a-b=1 \end{matrix}\right.$

Giải phương trình

$x^{\sqrt{x^{3}+2}}+\sqrt[3]{x^{2}+7}=3x$

Cho $a;b;c \geq 0, \sum a=1$. Chứng minh rằng

$\sum \frac{a(b+c)}{a^{2}+bc}  +3 \leq \prod(1-a)(\sum \frac{1}{1-a})^{2}$

Cho các số thực dương $a,b,c$ thỏa mãn điều kiện $72ab + 9bc + 24ca + 19abc \leq 56$ và $8a^{2}(b+c)+27abc\leq16$

Chứng minh rằng $\frac{17}{4a}+\frac{19}{9b}+\frac{166}{9c} \geq 21$

$\left\{\begin{matrix}(x+y)(17-4xy)=6x^{2}+8y+\frac{21}{2} \\ x^{2}+y^{2}-x+y=\frac{1}{2} \end{matrix}\right.$

Cho $|a| \geq 1$ , chứng minh rằng :    $-2 \leq \frac{\sqrt{a^{2}-1}+\sqrt{3}}{a} \leq 2$

Chứng minh rằng với $0<x<\frac{\pi}{2}$ thì $3x-x^{3}<\frac{2}{sin 2x}$

Tìm các số thực $a$ sao cho $x^{a} \leq x+1$

Tìm hằng số $k$ nguyên dương lớn nhất thỏa mãn : Với mọi $a,b,c$ dương mà  $abc=1$ ta có bất đẳng thức

$\sum \frac{1}{a} + \frac{k}{\sum a +1} \geq \frac{k}{4} + 3$

Cho những số thực $x,y,z$ thỏa mãn điều kiện $\left\{\begin{matrix}xyz \geq 0 \\ x+y+z=1 \end{matrix}\right.$

Chứng minh rằng $\sum \frac{x^{3}+yz}{x^{2}+yz} \leq 2$

Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $\sum ab = 1$ . Chứng minh rằng

$\sum \frac{a^{3}}{1+9b^{2}ac} \leq \frac{(a+b+c)^{3}}{18}$

Cho $a;b;c \geq 0$ chứng minh rằng

$\sum \sqrt{\frac{a^{3}+3abc}{(b+c)^{3}}} \geq \sum \sqrt{\frac{a}{b+c}}$

Cho $a_1;a_2;a_3;...;a_n \geq 0$ . Chứng minh rằng

$(n-1)\sum a_1^{2}+n.\sqrt[n]{\prod a_i^{2}}\geq(\sum a_i)^{2}$

Chứng minh rằng nếu tam giác $ABC$ có 3 góc nhọn thì $\prod ( \frac{1}{sinA} ) . \prod ( \frac{1}{cosA} ) > 197$