nek mọi người ơi chỉ giúp mình mấy bài này nha, mình mới tham gia nên chưa rành lắm:

1) Cho a,b,c>0. CMR: $\frac{a^{2}}{b^{2}+c^{^{2}}}+\frac{b^{2}}{c^{2}+a^{2}}+\frac{c^{2}}{a^{2}+b^{2}}\geq \frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}$

2) Cho a,b,c>0 thỏa abc=1. CMR: $\frac{ab}{a^{5}+b^{5}+ab}+\frac{bc}{b^{5}+c^{5}+bc}+\frac{ca}{c^{5}+a^{5}+ca}\leq 1$

3) Cho các số thực a,b,c thuộc [0;1]. CMR: $\frac{a}{bc+1}+\frac{b}{ca+1}+\frac{c}{ab+1}\leq 2$

cảm ơn nhiều hen.     

 1. Biến đổi tương đương thành $\sum ab(a-b)\left [ \frac{1}{(b+c)(b^2+c^2)}-\frac{1}{(a+c)(a^2+c^2)} \right ]\geq 0$

 Giả sử $a\geq b\geq c$ là xong

 Hoặc biến đổi trong ngoặc vuông và viết tiếp hiệu thành:

 $\sum \frac{ab(a-b)^2(a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca)}{(a+c)(b+c)(a^2+c^2)(b^2+c^2)}\geq 0$ đúng

 2. Áp dụng $a^5+b^5\geq a^2b^2(a+b)$

                   $\Rightarrow \sum \frac{ab}{a^5+b^5+ab}\leq \sum \frac{ab}{a^2b^2(a+b)+ab}=\sum \frac{c}{a+b+c}=1$

 3. $\sum \frac{a}{bc+1}\leq \sum \frac{2a}{a+bc+1}\leq \sum \frac{2a}{a+b+c}=2$

 p/s : 10 tuổi mà làm mấy bài này rồi à :v

cảm ơn anh. 

ak tại e đọc sách bất dẳng thức của chị thấy hay nên thử. 

mình có một bài toán khó, mọi người giải giúp nha:

Cho tứ giác ABCD (AB//CD) có $\widehat{C} < \widehat{D}$. CMR: AC>BD

Tìm GTNN của T= (x+y)² + (x-1)² + (y-1)² + 5

Cho a, b, c là 3 cạnh của tam giác. CMR: $a^{2}b(a-b)+b^{2}c(b-c)+c^{2}a(c-a)\geq 0$

Cho A_n= ($\frac{3+\sqrt{5}}{2}$)ⁿ+($\frac{3-\sqrt{5}}{2}$)ⁿ. TÌm n để A_n là số chính phương.

1.$x^{2}=\sqrt{x^{3}-x^{2}}+\sqrt{x^{2}-x}$

2.16x⁴+5=6$\sqrt[3]{4x^{3}+x}$

3.2x³-x²-3x+1=$\sqrt{x^{5}+x^{4}+1}$

4.$\sqrt[4]{2-x^4}=x^2-3x+3$

5.$\sqrt{x}+\sqrt{1-x}+\sqrt{1+x}=2$

1. cho 3 số a, b, c thỏa: a²+b²+c²=1. Cmr: abc + 2(1+a+b+c+ab+bc+ac)$\geq$0

2. cho 3 số a, b, c thỏa: ac>0, $\frac{1}{a}+\frac{1}{c}=\frac{2}{b}. Cmr:\frac{a+b}{2a-b}+\frac{c+b}{2c-b}\geq 4$

3. cho n là số nguyên dương. cmr: $\frac{1.3.5...(2n-1)}{2.4.6...(2n)}< \frac{1}{\sqrt{2n+1}}$

1. cho tam giác nhọn ABC có H là trực tâm. gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC và AH. đường phân giác trong góc A cắt MN tại K. cmr AK vuông góc với HK.

2. cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). gọi AH, AD lần lượt là đường cao, đường phân giác trong của tam giác ABC (H,D $\epsilon$ BC). tia AD cắt (O) tại E, tia EH cắt (O) tại F và tia FD cắt (O) tại K. cmr AK là đường kính của (O).

cho  2 số thực dương x, y thỏa mãn điều kiện $\frac{x}{1+x}+\frac{2y}{1+y} =1$. tìm gtln của BT $P=xy^2$

cho  2 số thực dương x, y thỏa mãn điều kiện $\frac{x}{1+x}+\frac{2y}{1+y}=1$. tìm gtln của BT P=xy²

Tìm x, y nguyên thỏa mãn phương trình: (x+y)(x+2y)=x+5

1.giải hệ phương trình:

$\left\{\begin{matrix} y^{2}\sqrt{2x-1}+\sqrt{3}=5y^{2}-\sqrt{6x-3} & & \\ 2y^{4}(5x^{2}-17x+6)=6-15x & & \end{matrix}\right.$

2. cho hàm số y = ax+b (a$\neq$0) có đồ thị là (d). Lập phương trình đường thẳng (d), biết (d) đi qua điểm A(1;2) và cắt trục hoành  tại điểm B có hoành độ dương, cắt trục tung tại điểm C có tung độ dương và thỏa mãn (OB+OC) nhỏ nhất (O là gốc tọa độ.

cho ba số a, b, c $\geq$ 1 thỏa mãn 32abc = 18(a+b+c) + 27. tìm GTLN của BT:

$P=\frac{\sqrt{a^{2}-1}}{a}+\frac{\sqrt{b^{2}-1}}{b}+\frac{\sqrt{c^{2}-1}}{c}$

1. Cho 3 số dương a,b,c. CMR: $(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a})^{2}\geq(a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})$

2. Cho các só thực x,y, z thỏa mãn điều kiện: x² +y² +z²=1. Tìm GTLN của A=xy+yz+2xz

3. Cho các số thực a,b,c thuộc đoạn [-2;5] tm: a+2b+3c$\leq$2. Tìm GTLN: a²+2b²+3c²

4. Cho a,b,c>0 tm: $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$=1. CMR:$\frac{a^{2}}{a+bc}+\frac{b^{2}}{b+ca}+\frac{c^{2}}{c+ab}\geq \frac{a+b+c}{4}$

Cho $\Delta ABC$. Đường cao AD, đường phân giác AO (D, O $\epsilon$ BC). Đường tròn tâm O tiếp xúc với AB, AC lần lượt tại M và N. Đường thẳng qua O vuông góc với BC cắt MN tại I, AI cắt BC tại K. CMR: K là trung điểm BC

 

Cho tam giác ABC. Gọi H,G,O lần lượt là trực tâm, trọng tâm, giao điểm của 3 đường trung trực.

Chứng minh a) Độ dài AH bằng 2 lần khoảng cách từ O tới BC

b) H,G,O thẳng hàng và GH=2GO

 

a)Có O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Vẽ đường kính AE.

Có: BH$\angle$AC

       EC$\angle$AC

=> BH//EC

Ttự có: EB//CH => BHCE là hình bình hành

Gọi D là trung điểm CB => H, D, E thẳng hàng và D là trung điểm  HE.

=> OD là đường trung bình $\Delta$AHE => OD=$\frac{1}{2}AH$ => 2OD=AH

b) Gọi G' là giao điểm AD và HD

Có: OD//AH => $\frac{G'D}{GA}=\frac{OD}{AH}=\frac{1}{2}$

=>$\frac{G'D}{AD}=\frac{1}{3}$ => G' là trọng tâm $\Delta$ABC

=> G$\equiv$G' => H,G, O thẳng hàng và 2GO=GH 

Cho $\triangle{ABC}$. Đường cao $AD$, đường phân giác $AO$ ($D, O \in BC$). Đường tròn tâm $O$ tiếp xúc với $AB, AC$ lần lượt tại $M$ và $N$. Đường thẳng qua $O$ vuông góc với $BC$ cắt $MN$ tại $I, AI$ cắt $BC$ tại $K$. CMR: $K$ là trung điểm $BC$

Cho tam giác ABC vuông cân (AB=AC). Cmr: với điểm D bất kì ta luôn có: DB+DC $\geq$ DA$\sqrt{2}$

bài 4 từ gt suy ra ab+bc+ca=abc
thay vào bài sigma a^2/(a+bc) = sigma a^3/(a^2+abc)= sig ma a^3/(a+b)(a+c) 
đến đây amgm 
a^3/(a+b)(a+c) + a+b/8 +b+c/8

Viết lại giúp mình dễ hiểu nha bạn. Cảm ơn nhiều

 Vì MNQP nội tiếp => $\angle$PQN = $\angle$PNQ =$\angle$QMP =$\angle$PMN

=> QP=PN

Có: $\angle$KPL = 90^o +$\angle$KML =90^o​ +$\angle$QMP

mà: $\angle$KPL=$\angle$QPN => $\angle$QPN=90^o​ +$\angle$QMP

Có: $\angle$QPN+$\angle$NPL=180^o

=> 90^o+$\angle$QMP+2$\angle$QMP=180^o => $\angle$QMP=30^o=> $\angle$KML=60^o

=> $\angle$QMN=120^o và $\angle$PQN =$\angle$PNQ=30^o

Vì QN = 2 => dễ tính QP=PN= $\frac{2}{\sqrt{3}}$ 

Ta có $cotA.cotB+cotB.cotC+cotC.cotA=1$

$\Rightarrow \frac{1}{tanA.tanB}+\frac{1}{tanB.tanC}+\frac{1}{tanC.tanA}=1$

$\Rightarrow tanA+tanB+tanC=tanA.tanB.tanC$

Ta có $tan(A+B)=\frac{tanA+tanB}{1-tanAtanB}$

$\Rightarrow tanA+tanB=tan(A+B)(1-tanAtanB)$

$\Rightarrow tanA+tanB+tanC=tan(A+B)(1-tanAtanB)+tanC=tan(\Pi -C)(1-tanAtanB)+tanC=-tanC(1-tanAtanB)+tanC=tanAtanBtanC$

mình có cách khác nah    

cotA=$\frac{AI}{BI} =\frac{AF}{FC}$

cotB=$\frac{BE}{AE} =\frac{BF}{FC}$

cotC=$\frac{CI}{BI} =\frac{CE}{AE}$

Có: cotA.cotB+cotB.cotC+cotC.cotA=$\frac{AI}{BI}.\frac{BE}{AE}+\frac{BF}{FC}.\frac{CI}{BI}+\frac{CE}{AE}.\frac{AF}{FC}$

Có: $\frac{AF}{AE}= \frac{AH}{AC} \Rightarrow \frac{AI}{BI}.\frac{BE}{AE} =\frac{AH.BE}{AC.BI}= \frac{S_{BHA}}{S_{ABC}}$

tương tự có: $\frac{BF}{FC}.\frac{CI}{BI}= \frac{S_{BCH}}{S_{ABC}}$

                    $\frac{CE}{AE}.\frac{AF}{CF}= \frac{S_{ACH}}{S_{ABC}}$

Cộng vế theo vế, có: 

cotA.cotB+cotB.cotC+cotC.cotA=$\frac{S_{ABH}+S_{BCH}+S_{ACH}}{S_{ABC}} = 1$

=> ĐPCM

BÀI 44: (ASM-CHUYÊN TOÁN - 2015)

Cho ba số thực dương a,b,c thỏa mãn (a+b)(b+c)(c+a)=1. Chứng minh:

                           $ab+bc+ca\leq \frac{3}{4}$

Bài 76(Chuyên Bến Tre 2013-2014)

Cho đường tròn tâm O.Từ một điểm A nằm ngoài đường tron kẻ các tiếp tuyến AT và AS với đường tròn (T,S là các tiếp điểm).Trên cung lớn TS lấy diem D sao cho $\angle TOD<\angle SOD<180$.Kẻ các đường cao TE,SF và đường trung tuyến DM cua tam giác TSD.

a)Chứng minh rằng:

 i)DE.TA=DT.TM

 ii) $\angle DOT=\angle ETM$

 iii)Tam giác DEM đồng dạng với tam giác DTA

b)Gọi N la giao điểm cua DM và EF; P là giao điểm của AD và TS. Chứng minh rằng NP song song với AM

Lời giải bài 76:

a)

i) Dễ thấy: $\Delta TAM$ vuông tại M và: $\angle MTA =\angle TOM = \frac{\angle TOS}{2} = \angle TDE$

=> $\Delta DTE \sim \Delta TAM (g-g) \rightarrow \frac{DT}{TA} = \frac{DE}{TM}\rightarrow DT.TM=DE.TA$

ii) (bạn xem lại đề nhé)

iii) Dễ thấy: TM = ME = MS 

Có: $\widehat{DEM}=90^{o}+\widehat{TEM}=90^{o}+\widehat{ETM}=\widehat{TDE}+\widehat{DTE}+\widehat{ETM}=\widehat{DTM}+\widehat{MTA}= \widehat{DTA}$

=> $\widehat{DEM}= \widehat{DTA}$

mà: $\frac{DT}{TA}= \frac{DE}{TM}=\frac{DE}{EM} \Rightarrow \Delta DTA\sim \Delta DEM (c-g-c)$

b)Dễ thấy: EFTS nội tiếp => $\widehat{DEN} = \widehat{DTP}$ (1)

vì $\Delta DTA \sim \Delta DEM (c-g-c) \rightarrow \widehat{TND} = \widehat{NDE}$ (2)

và: $\frac{DT}{DE}= \frac{DA}{DM}$

Từ (1) và (2) => $\Delta DTP \sim \Delta DEN (g-g)\rightarrow \frac{DT}{DE}= \frac{DP}{DN} \rightarrow \frac{DP}{DN}= \frac{DA}{DM}$

=> NP//AM