bài 4 từ gt suy ra ab+bc+ca=abc
thay vào bài sigma a^2/(a+bc) = sigma a^3/(a^2+abc)= sig ma a^3/(a+b)(a+c) 
đến đây amgm 
a^3/(a+b)(a+c) + a+b/8 +b+c/8

Viết lại giúp mình dễ hiểu nha bạn. Cảm ơn nhiều

Cho tam giác ABC vuông cân (AB=AC). Cmr: với điểm D bất kì ta luôn có: DB+DC $\geq$ DA$\sqrt{2}$

Cho $\triangle{ABC}$. Đường cao $AD$, đường phân giác $AO$ ($D, O \in BC$). Đường tròn tâm $O$ tiếp xúc với $AB, AC$ lần lượt tại $M$ và $N$. Đường thẳng qua $O$ vuông góc với $BC$ cắt $MN$ tại $I, AI$ cắt $BC$ tại $K$. CMR: $K$ là trung điểm $BC$

 

Cho tam giác ABC. Gọi H,G,O lần lượt là trực tâm, trọng tâm, giao điểm của 3 đường trung trực.

Chứng minh a) Độ dài AH bằng 2 lần khoảng cách từ O tới BC

b) H,G,O thẳng hàng và GH=2GO

 

a)Có O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Vẽ đường kính AE.

Có: BH$\angle$AC

       EC$\angle$AC

=> BH//EC

Ttự có: EB//CH => BHCE là hình bình hành

Gọi D là trung điểm CB => H, D, E thẳng hàng và D là trung điểm  HE.

=> OD là đường trung bình $\Delta$AHE => OD=$\frac{1}{2}AH$ => 2OD=AH

b) Gọi G' là giao điểm AD và HD

Có: OD//AH => $\frac{G'D}{GA}=\frac{OD}{AH}=\frac{1}{2}$

=>$\frac{G'D}{AD}=\frac{1}{3}$ => G' là trọng tâm $\Delta$ABC

=> G$\equiv$G' => H,G, O thẳng hàng và 2GO=GH 

Cho $\Delta ABC$. Đường cao AD, đường phân giác AO (D, O $\epsilon$ BC). Đường tròn tâm O tiếp xúc với AB, AC lần lượt tại M và N. Đường thẳng qua O vuông góc với BC cắt MN tại I, AI cắt BC tại K. CMR: K là trung điểm BC

1. Cho 3 số dương a,b,c. CMR: $(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a})^{2}\geq(a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})$

2. Cho các só thực x,y, z thỏa mãn điều kiện: x² +y² +z²=1. Tìm GTLN của A=xy+yz+2xz

3. Cho các số thực a,b,c thuộc đoạn [-2;5] tm: a+2b+3c$\leq$2. Tìm GTLN: a²+2b²+3c²

4. Cho a,b,c>0 tm: $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$=1. CMR:$\frac{a^{2}}{a+bc}+\frac{b^{2}}{b+ca}+\frac{c^{2}}{c+ab}\geq \frac{a+b+c}{4}$

cho ba số a, b, c $\geq$ 1 thỏa mãn 32abc = 18(a+b+c) + 27. tìm GTLN của BT:

$P=\frac{\sqrt{a^{2}-1}}{a}+\frac{\sqrt{b^{2}-1}}{b}+\frac{\sqrt{c^{2}-1}}{c}$

1.giải hệ phương trình:

$\left\{\begin{matrix} y^{2}\sqrt{2x-1}+\sqrt{3}=5y^{2}-\sqrt{6x-3} & & \\ 2y^{4}(5x^{2}-17x+6)=6-15x & & \end{matrix}\right.$

2. cho hàm số y = ax+b (a$\neq$0) có đồ thị là (d). Lập phương trình đường thẳng (d), biết (d) đi qua điểm A(1;2) và cắt trục hoành  tại điểm B có hoành độ dương, cắt trục tung tại điểm C có tung độ dương và thỏa mãn (OB+OC) nhỏ nhất (O là gốc tọa độ.

Tìm x, y nguyên thỏa mãn phương trình: (x+y)(x+2y)=x+5

cho  2 số thực dương x, y thỏa mãn điều kiện $\frac{x}{1+x}+\frac{2y}{1+y}=1$. tìm gtln của BT P=xy²

cho  2 số thực dương x, y thỏa mãn điều kiện $\frac{x}{1+x}+\frac{2y}{1+y} =1$. tìm gtln của BT $P=xy^2$

1. cho tam giác nhọn ABC có H là trực tâm. gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC và AH. đường phân giác trong góc A cắt MN tại K. cmr AK vuông góc với HK.

2. cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). gọi AH, AD lần lượt là đường cao, đường phân giác trong của tam giác ABC (H,D $\epsilon$ BC). tia AD cắt (O) tại E, tia EH cắt (O) tại F và tia FD cắt (O) tại K. cmr AK là đường kính của (O).

1. cho 3 số a, b, c thỏa: a²+b²+c²=1. Cmr: abc + 2(1+a+b+c+ab+bc+ac)$\geq$0

2. cho 3 số a, b, c thỏa: ac>0, $\frac{1}{a}+\frac{1}{c}=\frac{2}{b}. Cmr:\frac{a+b}{2a-b}+\frac{c+b}{2c-b}\geq 4$

3. cho n là số nguyên dương. cmr: $\frac{1.3.5...(2n-1)}{2.4.6...(2n)}< \frac{1}{\sqrt{2n+1}}$

1.$x^{2}=\sqrt{x^{3}-x^{2}}+\sqrt{x^{2}-x}$

2.16x⁴+5=6$\sqrt[3]{4x^{3}+x}$

3.2x³-x²-3x+1=$\sqrt{x^{5}+x^{4}+1}$

4.$\sqrt[4]{2-x^4}=x^2-3x+3$

5.$\sqrt{x}+\sqrt{1-x}+\sqrt{1+x}=2$

Cho A_n= ($\frac{3+\sqrt{5}}{2}$)ⁿ+($\frac{3-\sqrt{5}}{2}$)ⁿ. TÌm n để A_n là số chính phương.

Cho a, b, c là 3 cạnh của tam giác. CMR: $a^{2}b(a-b)+b^{2}c(b-c)+c^{2}a(c-a)\geq 0$

Tìm GTNN của T= (x+y)² + (x-1)² + (y-1)² + 5

mình có một bài toán khó, mọi người giải giúp nha:

Cho tứ giác ABCD (AB//CD) có $\widehat{C} < \widehat{D}$. CMR: AC>BD

 1. Biến đổi tương đương thành $\sum ab(a-b)\left [ \frac{1}{(b+c)(b^2+c^2)}-\frac{1}{(a+c)(a^2+c^2)} \right ]\geq 0$

 Giả sử $a\geq b\geq c$ là xong

 Hoặc biến đổi trong ngoặc vuông và viết tiếp hiệu thành:

 $\sum \frac{ab(a-b)^2(a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca)}{(a+c)(b+c)(a^2+c^2)(b^2+c^2)}\geq 0$ đúng

 2. Áp dụng $a^5+b^5\geq a^2b^2(a+b)$

                   $\Rightarrow \sum \frac{ab}{a^5+b^5+ab}\leq \sum \frac{ab}{a^2b^2(a+b)+ab}=\sum \frac{c}{a+b+c}=1$

 3. $\sum \frac{a}{bc+1}\leq \sum \frac{2a}{a+bc+1}\leq \sum \frac{2a}{a+b+c}=2$

 p/s : 10 tuổi mà làm mấy bài này rồi à :v

cảm ơn anh. 

ak tại e đọc sách bất dẳng thức của chị thấy hay nên thử. 

nek mọi người ơi chỉ giúp mình mấy bài này nha, mình mới tham gia nên chưa rành lắm:

1) Cho a,b,c>0. CMR: $\frac{a^{2}}{b^{2}+c^{^{2}}}+\frac{b^{2}}{c^{2}+a^{2}}+\frac{c^{2}}{a^{2}+b^{2}}\geq \frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}$

2) Cho a,b,c>0 thỏa abc=1. CMR: $\frac{ab}{a^{5}+b^{5}+ab}+\frac{bc}{b^{5}+c^{5}+bc}+\frac{ca}{c^{5}+a^{5}+ca}\leq 1$

3) Cho các số thực a,b,c thuộc [0;1]. CMR: $\frac{a}{bc+1}+\frac{b}{ca+1}+\frac{c}{ab+1}\leq 2$

cảm ơn nhiều hen.