Đặt $A=6^{x}+2^{x}$, $B=5^{x}+3^{x}$. Chứng minh:

+) $A>B$ khi $x>1$ hoặc $x<0$.

+) $A<B$ khi $x\epsilon (0;1)$

  Mong mọi người giúp...

  Cho $a,b,c,d,e>0$ thỏa mãn: $a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}+e^{2}=5$. Chứng minh

        $\frac{a^{2}}{b+c+d}+\frac{b^{2}}{c+d+e}+\frac{c^{2}}{d+e+a}+\frac{d^{2}}{e+a+b}+\frac{e^{2}}{a+b+c}\geq \frac{5}{3}$.

  Mọi người cho em hỏi các kí hiệu này ạ:

         $\bigcup_{k=1}^{n}A_{k}$.

         $\bigcap_{}^{}$.

 Cho $a,b,c$ dương thỏa mãn $a+b+c=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$. Chứng minh:

          $(ab+bc+ca)(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca})^{2}\geq 27$.

P/S: Em nghĩ là đặt $(ab,bc,ca)\rightarrow (x,y,z)$

 Cho tam gác $ABC$ không tù. Các đường cao $AA_{1},BB_{1},CC_{1}$ $H$ là trực tâm. Chứng minh:

               $\sum HA^{2}+\sum HA_{1}^{2}\geq \sum (HA.HA_{1})$

  Có thể dùng một số gợi ý sau:   $\sum \frac{HA}{AA_{1}}= 2$

                                                    $HA+HB+HC\geq 2(HA_{1}+HB_{1}+HC_{1})$

 Cho tam gác $ABC$ không tù. Các đường cao $AA_{1},BB_{1},CC_{1}$ $H$ là trực tâm. Chứng minh:

               $\sum HA^{2}+\sum HA_{1}^{2}\geq \sum (HA.HA_{1})$

  Có thể dùng một số gợi ý sau:   $\sum \frac{HA}{AA_{1}}= 2$

                                                    $HA+HB+HC\geq 2(HA_{1}+HB_{1}+HC_{1})$

  Giải hệ phương trình sau: 

                $\left\{\begin{matrix} 2x(x^{2}+3)-y(x^{3}+3)=3xy(x-y) & & \\(x^{2}-2)^{2}=4(2-y) & & \end{matrix}\right.$

  Giải hệ phương trình sau: 

                $\left\{\begin{matrix} 2x(x^{2}+3)-y(x^{3}+3)=3xy(x-y) & & \\(x^{2}-2)^{2}=4(2-y) & & \end{matrix}\right.$

P/s: +) Đây là hệ phương trình mà một thầy giáo trường em nghĩ ra, đã đố rất nhiều thầy cô giáo ở trong tỉnh, hình như chưa ai giải được.

       +) Mong mọi người giúp đỡ.

 Cho các số thực $a,b,c$ thỏa mãn $(a+c)(a+b+c)<0$. CM:

            $b^{2}+c^{2}-4a^{2}>2(2ab+2ac+bc)$

  Cho $x,y,z$ dương thỏa mãn $xyz=1$. Tìm GTNN của

             $\sum_{cyc}\frac{x^{2}(y+z)}{y\sqrt{y}+2z\sqrt{z}}$

P/s: Số $2$ rất khó chịu. Mong mọi người giúp đỡ.

1. Cho a,b,c dương thỏa mãn $abc=1$. Chứng minh:

                        $\sum \frac{1}{a^{2}}+3\geq 2(a+b+c)$

2. Cho các số thực a,b,c thỏa mãn $(a+c)(a+b+c)<0$. Chứng minh:

                       $b^{2}+c^{2}-4a^{2}>2(2ab+2ac+bc)$

Cho $a,b,c$ dương thỏa mãn: $a+b+c=1$. Chứng minh:

       $\sum \frac{b^{2}c^{2}}{a+bc}\geq \frac{\sum ab}{4}$.

P/s: +) Nếu dùng C-S ngay thì không được

       +) Các mẫu ở vế trái phân tích được thành nhân tử nhưng em không biết làm thế nào nữa.

  Mong mọi người giúp đỡ.

ÁP dụng$ Cauchy-schwarz :$

$\sum \frac{1}{1+bc} \geq \frac{9}{3+\sum ab} \geq \frac{9}{3+ \frac{(a+b+c)^2}{3}}=\frac{3}{2}$

Ta có $\sum \frac{1}{1+bc}\geq \frac{9}{3+\sum ab}\geq \frac{9}{3+\frac{(a+b+c)^{2}}{3}}=\frac{3}{2}$

Hai anh làm sai hết.

 Nếu như thế thì cần cm:

            $\frac{9}{2\sum \sqrt{a}}\leq \frac{3}{2}\Leftrightarrow \sum \sqrt{a}\geq 3$

 Mà điều này sai do: $\sum \sqrt{a}\leq \sqrt{3(\sum a)}=3$.

 Cho a,b,c dương, $a+b+c=3$. Chứng minh:

      $\sum \frac{1}{1+bc}\geq \frac{9}{2\sum \sqrt{a}}$.

 

b.Dùng Cauchy-Schwarz:

   $\frac{4}{a+3b}+\frac{2}{b+3c}+\frac{1}{c+3a}=\frac{1}{a+3b}+\frac{1}{a+3b}+\frac{1}{a+3b}+\frac{1}{a+3b}+\frac{1}{b+3c}+\frac{1}{b+3c}+\frac{1}{c+3a}\geq \frac{49}{7a+14b+7c}=\frac{7}{a+2b+c}$

Tương tự với 2 biểu thức tương tự là xong 

Làm thế nào để tách thành 4,2,1 như thế ạ

 Cho $a,b,c$ dương. CM:

 a) $(1+\sum a)(1+\sum ab)\geq 4\sqrt{2\prod (a+bc)}$

 b) $\sum \frac{1}{2a+b+c}\leq \sum \frac{1}{a+3b}$

 Giúp em ghép đối xứng với ạ.  ( Sử dụng AM-GM Trang 63)

  Giải hộ em bài này với. Em mới học nên chưa biết.

   Tìm F(x) :      $f(x-1)+(1-x)f(x)=(1-x)^{2}$.

 Em xin cám ơn....