ta có $\frac{1}{x^2+x} \geq \frac{5}{4}-\frac{3}{4}x$

nếu bạn quan tâm cách làm từ đâu có thể tham khảo phương pháp tiếp tuyến

bất đẳng thức tương dương $(x-y)^2(x+y) \geq 0$

bài này hoàn toàn có thể giải được bằng kiến thức thcs như sau

gọi N là trung điểm AC suy ra ENC đồng đạng EGF suy ra EGCN nội tiếp góc GEC=GNC=FAB suy ra góc CGE = AFB suy ra dpcm

CMR:$\frac{1}{4+1^4}+\frac{3}{4+3^4}+...+\frac{2n-1}{4+(2n-1)}=\frac{n^2}{4n^2+1}$

hình như chỗ này phải là bậc 4 phải không bạn

Từ điểm A ngoài đường tròn (O), vẽ tiếp tiếp AB, AC đến đường tròn (O). Vẽ đường kính BD. Từ C vẽ CK vuông góc với BD.

AD cắt CK tại I.

 

Chứng minh: I là trung điểm của CK

kéo dài DC cắt AB tại K do BCK vuông tại C từ đó dễ dàng suy ra A là trung điểm BK từ đó suy ra BK song song CK từ dó đo A là trung điểm BK suy ra I là trung điểm CK

bài này có thể tồng quát thành

$a^{2n+1}+b^{2n+1}\geq a^{n}b^{n}(a+b)$

gọi điểm đó là G thì G thuộc cung nhỏ BC sao cho GB=SC

giải

góc BAS=BJS=TAC=TAG suy ra G ko đổi

bài này giải sai ở khúc cuối sửa như sau $\frac{BO'}{OD'}=\frac{1}{3}=\frac{CO}{OH}$ suy ra dùng sin ta có góc D'BO=OCH gọi J là giao BD' và CO suy ra tam giác đồng dạng suy ra CO  vuông BD' suy ra By song song Cx tiếp tục sử dụng các tỉ lệ vửa ghi suy ra 3OD'=O'B=$\frac{3}{2}$CO suy ra 2O''D=CO suy ra dùng hệ quả talet suy ra D trung D'

câu 2 sử dụng phương pháp L,I,C ta có f(1,1,1) đúng và xét f(a,1,0)=$2x^3+2-3x^2 \geq 0$ cái này đúng với x>0 đúng theo đề

bổ đề: cho ABC, 2 phân giác trong và ngoài góc A cắt BC tại D,E , (DE) cắt (ABC) tại F thì AF là đường dối trung tam giác 

chứng minh

gọi AD cắt (ABC) tại K và M là trung điểm BC suy ra KM vuông góc BC suy ra EAMK nội tiếp

ta có $\widehat{DFE}=90=\widehat{DFK}\rightarrow \overline{E,F,K}\rightarrow \widehat{DAF}=\widehat{FED}=\widehat{KED}=\widehat{KAM}$

ta gọi giao của ND,MD với AB,AC là R,Q theo pascal cho A,N,M,C,D,B thì R,Q,P thẳng ta A,M,Q,P đồng viên do góc DAC=PMQ suy ra AQP=AMN=ABC suy ra QR song song BC bây giờ ta áp dụng desargues cho tam giác FPE và tam giác RDQ suy ra mà RF,DP,EQ đồng qui nên EF,NM,RQ đồng qui tại G, gọi PH cắt MN tại L xét tam giác NPM có NE,MF,PL đồng qui tại H mà EF cắt MN tại G, gọi AT cắt RQ tại K suy ra -1=(GLNM)=(GTFE)=(GKRQ)=P(GTFE) mà do GP song song BC suy ra HT đi qua trung điểm BC đặt tên trung diểm là X , áp dụng pascal cho A,A,N,M,B,C mà G,E,F thằng nên suy ra GA là tiếp tuyến của (ABC) suy ra cũng là tiếp tuyến của (ARQ) mà (GKRQ)=-1 suy ra AT là đường đối trung của tam giác ARQ suy ra AT là đường dối trung của tam giác ABC, gọi giao của DX và (ABC) là V suy ra AV là phân giác ngoài của tam giác ABC, gọi VT cắt (BAC) tại S',gọi DS' cắt tiếp tuyến AG tại G', AT cắt ABC) tại W, gọi giao DW,AV tại X suy ra áp dụng pascal cho S',V,D,A,A,W suy ra X,G',T thẳng mà ta có theo bỏ đề 1  suy ra X thuộc BC,gọi AD cắt BC tại Y suy ra (XYCB)=-1 , gọi giao của XT và AB,AC là E',F' suy ra BE',CF' ,AD đồng qui suy ra F' trùng F, E' trùng E suy ra G' trùng G suy ra S' trùng S suy ra ST di qua trung diểm cung BC chứa A

ps: bạn nào rảnh vẽ hình trên geogebra giùm, mình không rành cách vẽ

Cho a,b,c là các số dương thỏa mãn abc=1. Chứng minh

$\frac{1}{2a+1}+\frac{1}{2b+1}+\frac{1}{2c+1}\geq 1$

do abc=1 nên ta có thể thay $a=\frac{yz}{x^2},b=\frac{xz}{y^2},c=\frac{xy}{z^2}$

vậy ta phải chứng minh

$\sum \frac{x^2}{2yz+x^2}\geq 1$

cái này đúng theo C-S

 

Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$. Phân giác $\angle BAC$ cắt $(O)$ tại $D$ khác $A. P$ là điểm di chuyển trên $AD. PB, PC$ lần lượt cắt $CA,AB$ tại $E, F$ và cắt $(O)$ tại $M,N$ khác $B,C. MN$ giao $EF$ tại $G. GD$ cắt $(O)$ tại $S$ khác $D. NE$ giao $MF$ tại $H. PH$ giao $EF$ tại $T$.

Chứng minh rằng $ST$ luôn đi qua iểm cố định khi $P$ di chuyển.

 

bài này vẫn đúng nếu AD không phải là đường phân giác

đề: cho tam giác ABC nội tiếp (O) lấy D bất kì trên cung BC không chứa A , P nằm trên doạn  $AD. PB, PC$ lần lượt cắt $CA,AB$ tại $E, F$ và cắt $(O)$ tại $M,N$ khác $B,C. MN$ giao $EF$ tại $G. GD$ cắt $(O)$ tại $S$ khác $D. NE$ giao $MF$ tại $H. PH$ giao $EF$ tại $T$.

Cho a,b,c là các số dương thỏa mãn abc=1. Chứng minh

$\frac{1}{2a+1}+\frac{1}{2b+1}+\frac{1}{2c+1}\geq 1$

$\Leftrightarrow 4\sum ab+4\sum a+3\geq 8abc+4 \sum ab+2\sum a+1 \Leftrightarrow 2 \sum a +2 \geq 8abc\Leftrightarrow \sum a \geq 3$

cái bất dẳng thức cuối dúng theo AM-GM

Ta có $(A_{2}A_{1}BC)=-1\Leftrightarrow \frac{A_{2}B}{A_{2}C}=\frac{A_{1}B}{A_{1}C}$ Chứng minh tương tự.

Áp dụng định lí $Ceva$ cho cho $A_{1},B_{1},C_{1}$ suy ra $A_{2},B_{2},C_{2}$ thẳng hàng theo định lí $Menelaus$ đảo.

Áp dụng định lí về đường thẳng $Gauss$ cho tứ giác toàn phần $A_{2},B_{1},A_{1},B_{2},C_{1},C_{2}$ suy ra  trung điểm của $3$ đường chéo thằng hàng.

Suy ra $A_{3},B_{3},C_{3}$ thẳng hàng.

Còn $OH$ vuông góc mình vẽ hình thấy không vuông.

Cho tứ giác ABCD, 2 đường chéo cắt nhau tại O. Gọi H, K là trực tâm của tam giác ABO và CDO. I, J là trung điểm AD, BC. Chứng minh HK vuông góc với IJ

một bài toán tiêu biểu của tích vô hướng giải bằng bổ đề sau $\overrightarrow{HK}.\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BD}$

cách dùng AM-GM ta có $\sum a^2+3 \geq \frac{(\sum a)^2}{3}+3 \geq 2(\sum a)$ dấu bằng a=b=c và a+b+c=3 suy ra dpcm

Tìm các số nguyên dương$x , y , z$ thỏa mãn 2 điều kiện sau

$\frac{x-y\sqrt{2011}}{y-z\sqrt{2011}}$ là số hữu tỉ và x²+ y² +z²là các số nguyên

giả thiết cho x,y,z nguyên dương vậy điều kiện 2 luôn đúng

ta có AH.AO=BA.BA=AM.AN suy ra 

AH.AO=AM(AH+HN) suy ra AM.HN=AH.OM

AH.AO=AN(AH-HM) suy ra AN.HM=AH.ON suy ra AM/HN=AN.HM

bài này là một dạng biến thể của singapo MO 2002 giải bằng holder cho các bộ sau $(a^3,b^3) (a^3,b^3,) (1,1)$

theo AM-GM 

$\frac{a^{3}}{b^{2}}+a \geq 2\frac{a^{2}}{b}$

và $\frac{a^{2}}{b}+b \geq 2a$

vậy suy ra dpcm

Chứng minh $\sum \frac{1}{1+3a^2} \ge \frac{16}{7}$

đề thiếu điều kiện rồi bạn ơi

\left | \sqrt{x^2-2x+5}-\sqrt{x^2-10x+41} \right |\leq 5

Em xin cảm ơn.

$\left | \sqrt{x^2-2x+5}-\sqrt{x^2-10x+41} \right | \leq 5$

mình chưa hiểu đề muốn làm gì vậy bạn

a) điểm I là tâm nội tiếp đó bạn

b) AI là phân giác nên đi qua điểm chính giữa cung BC 

c) đường tròn có tâm là điểm chính giữa cung lớn BC bán kính từ điểm đó đến C

a) dùng phương tích suy ra CNS đồng dạng CFA

b)gọi S là giao của TV và FC , kéo dài HF cắt (F) tại N  suy ra theo phương tích suy ra FNCH nội tiếp suy ra HCF=HNF=FHN  suy ra HS vuông góc FC suy ra dpcm 

thiếu ràng buộc giữa Ax và By rồi bạn mình đoán là song song vì nếu ko thì câu c sai để