Giải phương trình

$\sqrt[3]{x-1} +\sqrt[3]{x-2} =\sqrt[3]{2x-3}$

Cho $0<a,b<90^o$ và $tana=\frac{1}{2}$

Tìm giá trị của $a+b$

---------------------

Bài này ở vòng 2 violympic toán 10, thấy đề hơi hư cấu?!

Cho $a , b , c$ dương và có $abc = 1$ . Chứng minh : $\frac{a^{4}b}{a^{2} + 1} + \frac{b^{4}c}{b^{2} + 1} + \frac{c^{4}a}{c^{2} + 1} \geq \frac{3}{2}$

Ta có:

$\frac{4a^4b}{a^2+1}+(a^2+1)b\geq 4a^2b$

Thiết lập các BĐT tương tự, rồi cộng lại.

Lại có: $a^2b+b^2c+c^2a\geq 3$ và $a+b+c\geq 3$

Từ đây ta được đpcm.

vì sao $a^{3}+b^{3}+c^{3}\geq 3$ vậy bạn?

Ta có:

$a^3+1+1\geq 3a$

Thiết lập các BĐT tương tự rồi cộng lại.

Bài 1: Trên hòn đảo Nói thật và Nói dối, cư dân D nói với cư dân E: "Ít nhất thì một trong hai chúng ta là một người nói dối". Vậy D hay E, ai là người nói thật, ai là người nói dối?

 

E là người nói dối. Vì D không thể là người nói dối, nếu D nói dối thì câu nói của D sai (nghĩa là không có ai trong 2 người nói dối cả) vậy trái với đề bài   

Cho a, b, c>0, chứng minh rằng:

$\frac{a^4}{b^2\left ( c+a \right )}+\frac{b^4}{c^2\left ( a+b \right )}+\frac{c^4}{a^2\left ( b+c \right )}\geq \frac{a+b+c}{2}$

Áp dụng AM GM cho 2 số:

$\frac{4a^4}{b^2(c+a)}+c+a\geq \frac{4a^2}{b}$

Thiết lập các BĐT tương tự ta có:

$\sum \frac{4a^4}{b^2(c+a)}+2(a+b+c)\mathop \ge \limits^{AM - GM}\sum \frac{4a^2}{b}\mathop \ge \limits^{cauchy schwarz}4(a+b+c)$

Từ đây suy ra đpcm.

Cho $a, b, c > 0$. Chứng minh :

$b, \frac{a^{3}}{a + b} + \frac{b^{3}}{b + c} + \frac{c^{3}}{c + a} \geq \frac{a^{2} + b^{2} + c^{2}}{2}$

Áp dụng cauchy schwarz:

$VT=\sum \frac{a^4}{a^2+ab}\geq \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca}\geq \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{2(a^2+b^2+c^2)}=\frac{a^2+b^2+c^2}{2}$

 

 

 

 $\boxed{14}$Một đề thi có 3 câu,một câu đại số,một câu hình học và một câu giải tích.Trong 1000 thí sinh có 800 người giải được câu đại số,700 người giải được câu hình học,600 người giải được câu giải tích.Có 600 người giải được hai câu đại số và hình học,500 người giải được hai câu đại số và giải tích,400 người giải được hai câu hình học và giải tích,300 người giải được cả ba câu.Hỏi có bao nhiêu thí sinh không giải được câu nào?

 

 

Gọi $X$ là tập hợp số hs, $D, H, T$ là tập hợp số hs giải được câu tương ứng

$\Rightarrow X\setminus (D\cup H\cup T)=X-\left | D\cup H\cup T \right |=1000-900=100$

 

 

 $\boxed{15}$Khi điều tra kết quả học tập các môn Toán,Lí,Hóa của một lớp có 45 học sinh người ta nhận thấy có 19 thí sinh không giỏi môn nào.18 học sinh giỏi môn Toán,17 học sinh giỏi môn Lý,13 học sinh giỏi Hóa,10 học sinh giỏi cả hai môn Toán và Lý,9 học sinh giỏi cả hai môn Hóa và Lý,10 học sinh giỏi hai môn Toán và Lý.Hỏi có bao nhiêu học sinh giỏi cả 3 môn?

 

 

 

Gọi $X$ tập hơp số hs, $T,L,H$ là tập hợp hs giỏi môn tướng ứng

ta có: $\left | T\cup L\cup H \right |=45-19=26=\left | T \right |+\left | L \right |+\left | H \right |-\left | T\cap L \right |-\left | T\cap H \right |-\left | L\cap H \right |+\left | T\cap L\cap H \right |$

$\Rightarrow \left | T\cap L\cap H \right |=26-19=7$

 

 

 

 

 $\boxed{13}$Lớp 12A phải làm một bài kiểm tra Toán gồm có ba bài toán.Biết rằng mỗi em trong lớp đều giải được ít nhất một bài.Trong lớp có 20 em giải được bài toán thứ nhất,11 em giải được bài toán thứ hai,10 em giải được bài toán thứ 3,6 em giải được cả hai bài toán thứ nhất và thứ ba,5 em giải được cả hai bài toán thứ hai và thứ ba,2 em giải được bài toán thứ nhất và thứ hai.Hỏi rằng lớp đó có bao nhiêu học sinh tất cả?

 

 

Gọi $X$ là  hs của lớp, $T,L,H$ lần lượt là học sinh giải được bài thứ nhất, thứ hai và thứ ba.

Ta có: $\left | T\cap L\cap H \right |=\oslash$

$\Rightarrow X=\left | T\cup L\cup H \right |=\left | T \right |+\left | L \right |+\left | H \right |-\left | T\cap L \right |-\left | T\cap H \right |-\left | L\cap H \right |+\left | T\cap L\cap H \right |= 28$

Giải phương trình

$\sqrt{x} + \sqrt{x+9} = \sqrt{x+1} + \sqrt{x+4}$

ĐKXĐ: $x\geq 0$

$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} VT\geq 3 & \\ VP\geq 3 & \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow VT=VP$ $\Leftrightarrow x=0$

 

 

$MB+MC\geq MD$ 

$TA+TB+TC=TA+TD$, 

 

 

Có ai giải thích kĩ giúp mình tại sao lại có hai cái này không? Mình chậm hiểu quá.