cho $a,b,c>0$ t/m $(a+b)(b+c)(c+a)=1$. Tìm max $ab+bc+ca$

1. Từ giả thiết ta có:
$(a-1)(b-1)(c-1)-abc\leq 0\Leftrightarrow abc-(ab+bc+ca)+a+b+c-abc-1\leq 0$
$\Rightarrow 2(a+b+c)\leq 2(ab+bc+ca)+2\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\leq (a+b+c)^2-2(a+b+c)+2$
Đến đây thay số rồi tính
P/S: $a+b+c=7$ không thể xảy ra, bạn hãy sửa lại đề

= 2 b ạ !! Mình nhầm

1.Cho $0 \leq  a,b,c \leq 1$ và $a+b+c=7$. Tìm giá trị lớn nhất : $a^2+b^2+c^2$

2.Tìm $x$ : $x^4 + \sqrt{(x^2+1999)} = 1999$

Biết a+b+c=2 . Chứng minh  : $\frac{\sqrt{a}}{a+1} + \frac{\sqrt{b}}{a+b+1} + \frac{\sqrt{c}}{a+b+c+1} \geq \sqrt{2}$

Cho a,b,c >0 . Sao cho a+b+c=2

Tìm Min : $\sqrt{a^{2}+ b^{2} + c^{2}} + \frac{ab+bc+ca}{2} + \frac{1}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}$

Chứng minh : căn 2 + căn 5 là số vô tỷ  )

a+b+c = 2 Chứng minh rằng : $(a+b-ab)(b+c-bc)(c+a-ca)\leq 1-abc$

Đặt $a=1-x;b=1-y;c=1-z$ suy ra $x+y+z=1$

$\Rightarrow a+b-ab=2-x-y-(1-x)(1-y)=1-xy$

Chứng minh tt ta có $b+c-bc=1-yz;c+a-ac=1-zx$

Ta cần cm:$(1-xy)(1-yz)(1-zx)\leq 1-(1-x)(1-y)(1-z)\Leftrightarrow (xyz)^{2}-xyz(x+y+z)+xyz+x+y+z-1\geq 0\Leftrightarrow (xyz)^{2}\geq 0$ (luôn đúng do $x+y+z=1$)

Dấu ''='' xảy ra khi $a=b=1;c=0$ và các hoán vị

cho  $z\geq y\geq x> 0$ Chứng minh : $y( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} ) + \frac{1}{y}(x+z) \leq (x+z)(\frac{1}{x} + \frac{1}{z} )$

Cho $x^{2015}+y^{2015}+z^{2015}=1$ Tìm max $A=x^2+y^2+z^2$

Ta có : $x^{2015} + x^{2015}+1+1...+1\geq 2015x^{2}(cauchy)$

Tương tự với y,z ta được : $2(x^{2015}+y^{2015}+z^{2015})+6039\geq 2015(x^{2}+y^{2}+z^{2}) <=> \frac{6041}{2015}\geq \sum x^{2}$

=> Max A = $\frac{6041}{2015}$

Dấu = k xảy ra :'( 

 

Chắc sai :v

Cho a,b là 2 số thực dương thỏa mãn điều kiện : ab+4 $\leq$ 2b

Tìm Max : P = $\frac{ab}{a^{2}+2b^{2}}$

Cho ba số thực dương a,b,c thỏa mãn $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=1$ Chứng minh rằng

(a+b-c-1)(b+c-a-1)(a+c-b-1)$\leq$8

Từ giả thiết suy ra :  ab+bc+ca=abc . Bạn xem tại đây :

https://diendantoanh...a-1ca-b-1leq-8/

Cho a,b,c >0  ; abc$\geq$ 1

Chứng Minh : $\sum \frac{1}{a^{5}+b^{2}+c^{2}} \leq \frac{3}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}$

Đặt biểu thức là P

Sử dụng bất đẳng thức C-S, ta có:

$(a^5+b^2+c^2)(\frac{1}{a}+b^2+c^2)\geq (a^2+b^2+c^2)^2$

$\Rightarrow \frac{1}{a^5+b^2+c^2}\leq \frac{\frac{1}{a}+b^2+c^2}{(a^2+b^2+c^2)^2}$

Suy ra, ta có: $P\leq \frac{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}{(a^2+b^2+c^2)^2}+\frac{2}{a^2+b^2+c^2}$

Ta chứng minh: $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\leq a^2+b^2+c^2$

Thật vậy: $a^2+b^2+c^2\geq ab+bc+ca= \frac{abc}{a}+\frac{abc}{b}+\frac{abc}{c}\geq \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$

Dấu bằng xảy ra khi a=b=c=1

Chỗ này sao lại đc 1/a + 1/b = 1/c b

Chỗ này sao lại đc 1/a + 1/b = 1/c b

Đặt biểu thức là P

Sử dụng bất đẳng thức C-S, ta có:

$(a^5+b^2+c^2)(\frac{1}{a}+b^2+c^2)\geq (a^2+b^2+c^2)^2$

$\Rightarrow \frac{1}{a^5+b^2+c^2}\leq \frac{\frac{1}{a}+b^2+c^2}{(a^2+b^2+c^2)^2}$

Suy ra, ta có: $P\leq \frac{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}{(a^2+b^2+c^2)^2}+\frac{2}{a^2+b^2+c^2}$

Ta chứng minh: $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\leq a^2+b^2+c^2$

Thật vậy: $a^2+b^2+c^2\geq ab+bc+ca= \frac{abc}{a}+\frac{abc}{b}+\frac{abc}{c}\geq \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$

Dấu bằng xảy ra khi a=b=c=1

từ 1/a + b^2 + c^2 sao lại ra được 1/a + 1/b + 1/c ?

Cho a,b,c dương chúng minh:

$\sqrt{\frac{a}{c+b+2a}}+\sqrt{\frac{b}{c+a+2b}}+\sqrt{\frac{c}{a+b+2c}}\leq \frac{3}{2}$

Cách Khác : $(\sqrt{\frac{a}{c+b+2a}}+\sqrt{\frac{b}{c+a+2b}}+\sqrt{\frac{c}{a+b+2c}})^{2}\leq 3 (\sum \frac{a}{c+b+2a})=3(3-\sum \frac{a+b+c}{c+b+2a})=3\left [3-(a+b+c)(\sum \frac{1}{c+b+2a}) \right ]\leq 3\left [ 3-(a+b+c)(\frac{9}{4(a+b+c)}) \right ]^{2}=\frac{9}{4}$

=> Đpcm 

Dấu = xảy ra khi a=b=c

????? hình như có gì sai sai nếu dùng cauchy thì nó phải là mu 2 chữ 

$\frac{5(a+b+c)^{2}}{3}+15\geq 2\sqrt{\frac{5(a+b+c)^{2}}{3}.15}=10(a+b+c)$

ok nha b

Chứng minh mọi $a,b,c>0$ ta có$ 2(a^2+b^2+c^2)+abc+8\geq  5(a+b+c)$

Ta có bđt phụ : $a^{2}+b^{2}+c^{2}+2abc+1\geq 2(ab+bc+ca)$ ( Bạn có thể xem cách cm tại đây : http://diendantoanho...geq-2abbcca/ ) 

Theo bài ta ta có : $P= 2(a^2+b^2+c^2)+abc+8 <=> 2P= 3 (a^{2}+b^{2}+c^{2})+(a^{2}+b^{2}+c^{2}+2abc+1)+15\geq 3 (a^{2}+b^{2}+c^{2}) + 2 ( ab+bc+ca)+15= 2(a^{2}+b^{2}+c^{2})+(a+b+c)^{2}+15\geq \frac{5(a+b+c)^{2}}{3} +15 \geq 10(a+b+c)=) Q.E.D$

cái dòng cuối là sao bạn?

Cauchy đó b

Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn $a^{2}+b^{2}+c^{2}=3$. CM

$\frac{2a^{2}}{a+b^{2}}+\frac{2b^{2}}{b+c^{2}}+\frac{2c^{2}}{c+a^{2}}\geq a+b+c$

Ta có :$\sum a^{2}=3=>\sum a\leq 3$

$VT=2(\sum a-\sum \frac{ab^{2}}{a+b^{2}}\geq 2(\sum a-\frac{b\sqrt{a}}{2})\geq 2(\sum a-\frac{\sqrt{(\sum ab)(\sum a)}}{2})\geq 2(\sum a)-\frac{(\sum a)\sqrt{\sum a}}{\sqrt{3}}\geq \sum a$ (ĐPCM)

Từ giả thiết ta được : $x^{2}+y^{2}-xy=x^{2}y^{2}$

                                  $(x+y)^{2}=xy(xy+3) => x+y=\sqrt{xy(xy+3)}$ ( do x,y dương )

Ta có : 

$\frac{1}{x^{3}} + \frac{1}{y^{3}} = \frac{(x+y)(x^{2}+y^{2}-xy)}{x^{3}y^{3}} = \frac{(x+y)x^{2}y^{2}}{x^{3}y^{3}} = \frac{x+y}{xy}=\frac{\sqrt{xy(xy+3)}}{xy} = \sqrt{\frac{xy+3}{xy}} =\sqrt{1+\frac{3}{xy}}$

Bây h ta chỉ cần tìm min xy là bài toán được giải quyết .

$(x+y)^{2}=xy(xy+3) \leq \frac{(x+y)^{2}}{4}(xy+3) => xy+3\geq 4 => xy\geq 1$

=> Max A = 2

http://diendantoanho...2b21frac2015ab/

Cho a,b,c >1

Chứng minh $\frac{a^{2}}{b-1} + \frac{b^{2}}{c-1} + \frac{c^{2}}{a-1} \geq 12$

cho a,b,c là các số thực dương chung minh rang

$\sqrt{\frac{a+b}{c}}+\sqrt{\frac{b+c}{a}}+\sqrt{\frac{c+a}{b}}\geq 2(\sqrt{\frac{c}{a+b}}+\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{a+c}})$

Ta có :

VT=$\sum \sqrt{\frac{a+b}{c}}\geq \sum \sqrt{\frac{(\sqrt{a}+\sqrt{b})^{2}}{2c}} \geq \sum \frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{\sqrt{2c}}=\sum \sqrt{a}(\frac{1}{\sqrt{2b}}+\frac{1}{\sqrt{2c}})\geq \sum \sqrt{a}\frac{4}{\sqrt{2}(\sqrt{c}+\sqrt{b})}\geq \sum \sqrt{a}\frac{4}{2\sqrt{b+c}}=2(\sum \sqrt{\frac{a}{b+c}})$=VP=> ĐPCM