a, b ,c là 3 cạnh tam giác. Chứng minh:

1) $\frac{a}{\sqrt{2b^{2}+2c^{2}-a^{2}}}+\frac{b}{\sqrt{2a^{2}+2c^{2}-a^{2}}}+\frac{c}{\sqrt{2a^{2}+2b^{2}-c^{2}}}\geq \sqrt{3}$

2) $ab+bc+ca\geq \frac{1}{5}(\sqrt{(2b^{2}+2c^{2}-a^{2})(2a^{2}+2c^{2}-b^{2}})+\sqrt{(2a^{2}+2c^{2}-b^{2})(2a^{2}+2b^{2}-c^{2})}+\sqrt{(2a^{2}+2b^{2}-c^{2})(2b^{2}+2c^{2}-a^{2})})$

Chỗ này đề sai !

B1 có trong sách STBĐT nên mk lười gõ nữa nha :v

Cho các số dương a, b, c. Chứng minh rằng:

$\frac{a^{2}}{a+b}+\frac{b^{2}}{b+c}+\frac{c^{2}}{c+a}+\frac{1}{2}(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ac})\geq a+b+c$

Mình có cảm giác đề bài này sai sai. Mọi người giúp mình với

Cách khác nếu b cần . Gần giống cách của anh Sơn

Ta có

$\frac{a^{2}}{a+b}-a = \frac{-ab}{a+b}$

=> Ta cần cm :

$\sum \frac{\sqrt{ab}}{2} -\sum \frac{ab}{a+b} \geq 0$

Mà : 

$\sum \frac{\sqrt{ab}}{2} -\sum \frac{ab}{a+b} \geq \frac{\sqrt{ab}}{2}-\frac{\sqrt{ab}}{2}=0$( cauchy )

=> ĐPCM

1.Cho $0 \leq  a,b,c \leq 1$ và $a+b+c=7$. Tìm giá trị lớn nhất : $a^2+b^2+c^2$

2.Tìm $x$ : $x^4 + \sqrt{(x^2+1999)} = 1999$

Cho a, b, c >0 thỏa abc=8 . CMR : $\sum \frac{a}{\sqrt{(1+a^{3})(1+b^{3})}}\geq \frac{2}{3}$

Bđt sai vs đ c=0,02 còn a=b=20 Bài này b chắc chế từ :

Cho a, b, c >0 thỏa abc=8 . CMR : $\sum \frac{a^{2}}{\sqrt{(1+a^{3})(1+b^{3})}}\geq \frac{4}{3}$  Đúng không ?

1.Tìm giá trị nhỏ nhất của $A=\frac{a}{\sqrt{b}}+\frac{b}{\sqrt{c}}+\frac{c}{\sqrt{a}}$ biết $a+b+c\geq 3$

2.Cho a,b,c dương thuộc $\begin{bmatrix} 3;5 \end{bmatrix}$*

3.Cho a,b,c>0.tìm gtln của $P=\sum \frac{\sqrt{ab}}{c+2\sqrt{ab}}$

4.Tìm min max của $A=\frac{x-y}{x^4+y^4+6}$

bài 3 nha <3

Ta có : $P=\sum \frac{\sqrt{ab}}{c+2\sqrt{ab}} => 2P=\sum \frac{2\sqrt{ab}}{c+2\sqrt{ab}}=3-\sum \frac{c}{c+2\sqrt{ab}}\leq 3-\sum \frac{c}{a+b+c}=2$

=> Max P=1

Dấu = xảy  ra khi a=b=c <3

.

 

Cho các số thực không âm $a,b,c$ và $a+b+c=3$. Tìm giá trị nhỏ nhất của:

$P=\frac{a}{a^{2}+b^{3}}+\frac{b}{b^{2}+c^{3}}+ \frac{c}{c^{2}+a^{3}}$

 

Ta có : $\sum \frac{a^{3}}{a^{2}(a^{2}+b^{3})}(\sum a^{2})(\sum a^{2}+b^{3})\geq (a+b+c)^{3}=27(holder)$

Mà : $\sum \frac{a^{3}}{a^{2}(a^{2}+b^{3})}(\sum a^{2})(\sum a^{2}+b^{3})\geq \sum \frac{a^{3}}{a^{2}(a^{2}+b^{3})}(\frac{(a+b+c)^{2}}{3})(\frac{(a+b+c)^{2}}{3} + (a+b+c)^{3}-3(a+b)(b+c)(c+a)\geq 3\sum \frac{a^{3}}{a^{2}(a^{2}+b^{3})} (30-\frac{8(a+b+c)^{3}}{9})\geq 18\sum \frac{a^{3}}{a^{2}(a^{2}+b^{3})} \geq 27$ ( đã cm trên )

=> Min : $\sum \frac{a^{3}}{a^{2}(a^{2}+b^{3})}$ = $\frac{3}{2}$

Dấu = xảy ra khi a=b=c=1 

Cho a,b,c dương . abc=3 . Chứng Minh : $(a+b+c)^{3}\geq 7(a+b+c) + \frac{2}{3}(a+b+c)^{2}$

Cho a,b,c là các số dương , Chứng minh :  $\frac{1}{a(a+b)} + \frac{1}{b(b+c)} + \frac{1}{c(c+a)} \geq \frac{27}{2(a+b+c)^{2}}$

cho $0< a,b,c\leq 1$. Chứng minh : $\frac{1}{a+b+c} \geq \frac{1}{3} +(1-a)(1-b)(1-c)$

1. Từ giả thiết ta có:
$(a-1)(b-1)(c-1)-abc\leq 0\Leftrightarrow abc-(ab+bc+ca)+a+b+c-abc-1\leq 0$
$\Rightarrow 2(a+b+c)\leq 2(ab+bc+ca)+2\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\leq (a+b+c)^2-2(a+b+c)+2$
Đến đây thay số rồi tính
P/S: $a+b+c=7$ không thể xảy ra, bạn hãy sửa lại đề

= 2 b ạ !! Mình nhầm

cho x,y là 2 số dương thay đổi.tìm gtnn của biểu thức:$s=\frac{(x+y)^{2}}{x^{2}+y^{2}}+\frac{(x+y)^{2}}{xy}$

$S=(x+y)^{2}(\frac{1}{x^{2}+y^{2}}+\frac{1}{2xy})+\frac{(x+y)^{2}}{2xy}\geq (x+y)^{2}\frac{4}{(x+y)^{2}}+\frac{4xy}{2xy}=6$

Cho ba số thực dương a,b,c thỏa mãn $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=1$ Chứng minh rằng

(a+b-c-1)(b+c-a-1)(a+c-b-1)$\leq$8

Từ giả thiết suy ra :  ab+bc+ca=abc . Bạn xem tại đây :

https://diendantoanh...a-1ca-b-1leq-8/

Cho các số thực không âm $a;b;c$ thỏa mãn $a+b+c= \sqrt{5}$ . Chứng minh rằng $(a^2-b^2)(b^2-c^2)(c^2-a^2)\leq \sqrt{5}$

giả sử c=min(a,b,c)

 $P=(b^{2}-a^{2})(b^{2}-c^{2})(a^{2}-c^{2})$ nếu $a\geq b$ thì $P\leq 0$ (BĐT Đúng )

Nếu b>a . Ta có :

$P\leq a^{2}b^{2}(b^{2}-a^{2})$

$P^{2}\leq a^{4}b^{4}(b^{2}-a^{2})^{2}= a^{4}b^{4}(b+a)^{2}(b-a)^{2}\leq 5a^{4}b^{4}(b-a)^{2}$

Mà theo AM-GM : $a^{4}b^{4}(b-a)^{2}\leq \left [ \frac{(b-a)^{2}+ab+ab+ab+ab}{5} \right ]^{5}=\left [ \frac{(a+b)^{2}}{5} \right ]^{5}\leq 1$

=> $P\leq \sqrt{5}$ ( ĐPCM )

Dấu = xảy ra khi $(b-a)^{2}=ab$ và $a+b=\sqrt{5}$ ( cái nhiệm này b tự giải nhá ) 

Cho a,b,c > 0 ; abc=b+2c Tìm Min

$\frac{3}{b+c-a}+\frac{4}{c+a-b}+\frac{5}{a+b-c}$

ta có: $abc=2c+b \Leftrightarrow  a= \frac{2}{b}+ \frac{1}{c}$

Cho thỏa$a,b,c>0$ thỏa mãn $a+b+c\geq \frac{1}{3}$. Chứng minh:

$\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\leq \frac{27}{2}$

B xem lại đề nha . Thử vs a=b=0.01;c=2 thì chỉ riêng $\frac{1}{a+b}=50$ rồi => BĐT sai

cho a,b,c >0 thỏa a+b+c=3 

tìm GTNN của $\sum \frac{a}{b^{3}+ab}$

Ta có ; $\frac{a}{b^{3}+ab}=\frac{1}{b}-\frac{b}{b^{2}+a}\geq \frac{1}{b}-\frac{1}{2\sqrt{a}}\geq \frac{1}{b}-\frac{1}{4}(\frac{1}{a}+1)=\frac{1}{b}-\frac{1}{4a}-\frac{1}{4}$

tương tự . Cộng lại ta được : $\sum \frac{1}{a}-\sum \frac{1}{4a}-\frac{3}{4}=\frac{3}{4}(\sum \frac{1}{a})-\frac{3}{4}\doteq \frac{3}{4}(\frac{9}{a+b+c})-\frac{3}{4}=\frac{3}{2}$

Cho ( O , R )  Dây cung BC  cố định . A nằm trên cung lớn BC sao cho Tam giác ABC là Tam giác nhọn . Đường cao AD ,BE CF đòng quy tại H , BE , CF kéo dài cắt (O) tạI Q , P

a) Gọi I là trung điểm của BC . C/M : Góc FDE = 2ABC VÀ FDE = FIE

b) Xác định vị trí điểm A trên cung lớn BC để chu vi DEF lớn nhất

$\frac{x^{2}}{\sqrt{8x^{2}+3y^{2}+14xy}} + \frac{y^{2}}{\sqrt{8y^{2}+3z^{2}+14yz}} + \frac{z^{2}}{\sqrt{8z^{2}+3x^{2}+14zx}} \geq \frac{x+y+z}{5}$

Cần cm : $\sum x^{3}y \geq \sum y^{3}x$ . Gỉa sử z $\geq y\geq x$

Ta có : $\sum x^{3}y - \sum y^{3}x = xy(x-y)^{2} + (z-x)(z-y)(xy+xz - y^{2}) \geq 0 => right$

=> $( \sum x^{3}y )^{2} \geq (\sum x^{3}y )(\sum y^{3}x) \geq ($\sum$(xy)^{2} )^{2} => đpcm$

Cho các số $a,b,c>0$; $a+b+c+abc=4$.

Chứng minh $\frac{a}{\sqrt{b+c}}+\frac{b}{\sqrt{c+a}}+\frac{c}{\sqrt{a+b}}\geq \frac{a+b+c}{\sqrt{2}}$

Đã có ở đây ;

http://www.artofprob...unity/c6h127956

Cho a,b,c là các số thực dương. CMR

$4abc[\frac{1}{(a+b)^2c}+\frac{1}{(b+c)^2a}+ \frac{1}{(c+a)^2b}]+\frac{a+c}{b}+\frac{b+c}{a}+\frac{a+b}{c}\geqslant 9$

Ta có :

$4abc[\frac{1}{(a+b)^2c}+\frac{1}{(b+c)^2a}+ \frac{1}{(c+a)^2b}]+\frac{a+c}{b}+\frac{b+c}{a}+\frac{a+b}{c} = \sum \frac{4ab}{(a+b)^{2}}+\sum \frac{a+c}{2b} + \sum\frac{a+c}{2b} \geq 9$ (đpcm)

Câu 1: $\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{2}{\sqrt{xy}}$. Tìm Min 

câu 2: $a(a+b)^3+b(b+c)^3+c(c+a)^3\geq 0$ với a,b,c là các số thực

câu 3:Cho $a\geq 0 , b\geq 0,c\geq 0$. Chứng minh : $\frac{1}{a^2+1}+\frac{1}{b^2+1}+\frac{1}{c^2+1}\geq \frac{3}{abc+1}$

câu 4 cho số a,b,c dương. Chứng minh :  $\frac{1}{a(b+1)}+\frac{1}{b(c+1)}+\frac{1}{c(a+1)}\geq \frac{3}{\sqrt[3]{abc}(1+\sqrt[3]{abc})}$

Chém tạm câu 4 vậy   

Đặt : $a=\frac{kx}{y} ; b= \frac{ky}{z};c=\frac{kz}{x}$

Bđt cần cm tương đương : $\sum \frac{yz}{k^{2}xy+kxz} \geq \frac{3}{k(k+1)}$

Ta có : $\sum \frac{yz}{k^{2}xy+kxz} = \sum \frac{(yz)^{2}}{k^{2}xzy^{2}+kxyz^{2}}\geq \sum \frac{(xy+yz+zx)^{2}}{kxyz(\sum x+\sum kx)}\geq \sum \frac{3xyz(\sum x)}{kxyz(1+k)(\sum x)}= \frac{3}{k(k+1)}$ (Q.E.D)

Câu 3 bđt ngược dấu nếu thử với (a;b;c)=(0;1;1)

Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn $a^{2}+b^{2}+c^{2}=3$. CM

$\frac{2a^{2}}{a+b^{2}}+\frac{2b^{2}}{b+c^{2}}+\frac{2c^{2}}{c+a^{2}}\geq a+b+c$

Ta có :$\sum a^{2}=3=>\sum a\leq 3$

$VT=2(\sum a-\sum \frac{ab^{2}}{a+b^{2}}\geq 2(\sum a-\frac{b\sqrt{a}}{2})\geq 2(\sum a-\frac{\sqrt{(\sum ab)(\sum a)}}{2})\geq 2(\sum a)-\frac{(\sum a)\sqrt{\sum a}}{\sqrt{3}}\geq \sum a$ (ĐPCM)