a) Điều kiện: $\dfrac{x+1}{3-2x}>0 \iff (x+1)(3-2x)>0 \iff -2x^2+x+3>0 \iff -1<x< \dfrac{3}{2}$

Vậy: $D=(-1;\dfrac{3}{2})

Chung ta biết $MN$ đã lấy như trên nên tâm mặt cầu sẽ nằm trên $MN$. Tới đây ta có một cách làm như sau.

Gọi $I$ là tâm của mặt cầu trên.

Khi đó ta có:

$$IA^2=ID^2$$

$$\iff IM^2+MA^2=IN^2+ND^2$$

$$\iff IM^2+IA^2=(3a-IM)^2+ND^2$$

$$\iff IM^2+4a^2=9a^2-6aIM+IM^2+9a^2$$

$$\iff 6aIM=14a^2 \iff IM=\dfrac{7a}{3}$$

Và $IN=\dfrac{2a}{3}$

Từ đó ta có tỉ số trên nhen bạn...

Nhận xét: Do $\dfrac{\pi}{2}<a<\pi$ và cho $\cot(a)=-0,75$ nên ta đi tính $\sin(a)$ và $\cos(a)$ rồi thế vào $P$ là xong.

Sử dụng công thức: $\cot^2(a)+1=\dfrac{1}{\sin^2(a)}$

$\iff \sin(a)=\pm \sqrt{\dfrac{1}{\cot^2(a)+1}}$

$\iff \sin(a)=\pm \dfrac{4}{5} $

$Do \dfrac{\pi}{2}<a<\pi$ nên $\sin(a)=\dfrac{4}{5}$

Sử dụng công thức: $\sin^2(a)+\cos^2(a)=1 \iff \cos(a)=\pm \sqrt{1-\sin^2(a)}=\pm \dfrac{3}{5}$

$Do \dfrac{\pi}{2}<a<\pi$ nên $\cos(a)=-\dfrac{3}{5}$

Thế vào $P$ ta được: $P=\dfrac{17}{5}$

Đề của bạn có vấn đề: Giải phương trình sau:

$$\sqrt[3]{x^2-1}+x=\sqrt{x^3-2}$$

Cách giải:

Điều kiện:$x\ge \sqrt[3]{2}$.

Phương trình đã cho tương đương: 

$$(\sqrt[3]{x^2-1}-2)+x-3=\sqrt{x^3-2}-5$$

$$\iff (x-3)+\dfrac{x^2-9}{\sqrt[3]{(x^2-1)^2+2\sqrt[3]{x^2-1}+4}}=\dfrac{(x-3)(x^2+3x+9)}{\sqrt{x^3-2}+5}$$

$$\iff (x-3)(1+\dfrac{x+3}{\sqrt[3]{(x^2-1)^2+2\sqrt[3]{x^2-1}+4}-\dfrac{x^2+3x+9}{\sqrt{x^3-2}+5})$$

$$\iff x=3$$ hoặc $$1+\dfrac{x+3}{\sqrt[3]{(x^2-1)^2+2\sqrt[3]{x^2-1}+4}=\dfrac{x^2+3x+9}{\sqrt{x^3-2}+5}$$(*)

Ta chứng minh (*) vô nghiêm.

Chứng minh VP: $$\dfrac{x^2+3x+9}{\sqrt{x^3-2}+5}>2$$

Chứng minh VT:$$1+\dfrac{x+3}{\sqrt[3]{(x^2-1)^2+2\sqrt[3]{x^2-1}+4}<2$$

Nên phương trình (*) vô nghiệm.

Vậy phương trình có 1 nghiệm $x=3$

Mình nghĩ:

Điều kiện: $x\ge 1$

Phương trình được viết lai:

$(x-1)+(\sqrt{x}-1)-2\sqrt{x-1}=0

Nhân thêm lượng liên hiệp, rồi nhốm nhân tử chung.

Cứ giải như thế, mình đi có việc tí.

Hình như mình thấy nghiệm của phương trình bậc 3 của bạn không là nghiệm của phương trình trên. Bạn thử kiểm tra lại xem.

Gọi M, N lần lượt trung điểm AB và CD (MN là đoạn vuông góc chung của AB, CD).

Ta thấy: tâm $I$ đường tròn ngoại tiếp tứ diện nằm trên MN sao cho $\dfrac{MI}{NI}=\frac{7}{2}$

Suy ra: $IA=IB=IC=ID$ (Giờ ta tính bán kính)

Xét tam giác AMC: $MC=\sqrt{22a^2-4a^2}=3\sqrt{2}a$

Xét tam giác AMD: $MD=\sqrt{22a^2-4a^2}=3\sqrt{2}a$

Xét tam giác MCN: $MN=\sqrt{18a^2-9a^2}=3a$

Do: $\dfrac{MI}{NI}=\frac{7}{2}$ nên $MI=\dfrac{7a}{3}$ và $NI=\dfrac{2a}{3}$

Xét tam giác AMI: $IA=\sqrt{\dfrac{49a^2}{9}+4a^2}=\dfrac{\sqrt{85}a}{3}$

Vậy bán kính mặt cầ ngoại tiếp tứ diện: $R=\dfrac{\sqrt{85}a}{3}$

Các bạn kiểm tra iaij giúp mình kết quả...

Bạn có thể rút $b=2-a$ thế vào $$P=\dfrac{1}{2+6a^2+9a^4}+\dfrac{1}{2+6(2-a)^2+9(2-a)^4}$$

Tìm GTNN của hàm $$f(x)=\dfrac{1}{2+6x^2+9x^4}+\dfrac{1}{2+6(2-x)^2+9(2-x)^4}$$ trên $(0;2)$

Em tự tính đạo hàm, lập bảng biến thiên và quan sát bảng biến thiên kết luận.

$$\sqrt{7-\sqrt{4}+4\sqrt{5}}=\sqrt{5+4\sqrt{5}}=\sqrt{5-2\sqrt{5}+6\sqrt{5}}>\sqrt{5-2\sqrt{5}+1}=\sqrt{(\sqrt{5}-1)^2}=\sqrt{5}-1$$