Giải phương trình $2(5x-3)\sqrt{x+1}+5(x+1)\sqrt{3-x}= 3(5x+1)$

ĐK: $-1 \leq x \leq 3$

$\iff 2[3(x+1)-2(3-x)]\sqrt{x+1}+5(x+1)\sqrt{3-x}=12(x+1)-3(3-x)$

Đặt $\sqrt{x+1}=a; \sqrt{3-x}=b$, thay vào ta có:

$\iff 6a^3-4b^2a+5a^2b-12a^2+3b^2=0$

$\iff (2a-b)(3a^2+4ab-6a-3b)=0$

Với $2a=b \iff 2\sqrt{x+1}=\sqrt{3-x} \iff x=-0,2$

Với $3a^2+4ab-6a-3b=0$

$\iff 3a^2-3b=6a-4ab$

$\longrightarrow 9a^4-18a^2b+9b^2=36a^2-48a^2b+16a^2b^2$

$\longrightarrow 36a^3-30a^2b+16a^2b^2-9b^2=0$ 

Thay $a=x+1; b=3-x$ ta có: 

$\iff -25x^2+59x+48-30(x+1)\sqrt{3-x}=0$

$\iff (3-x)(25x+16)-30(x+1)\sqrt{3-x}=0$

$\iff \sqrt{3-x}[(25x+16)\sqrt{3-x}-30(x+1)]=0$

$\iff x=3$  v   $(25x+16)\sqrt{3-x}=30(x+1)$

Với $(25x+16)\sqrt{3-x}=30(x+1)$, Chỉ cần bình phương lên ta tìm thêm đc nghiệm $x=\dfrac{11}{25}$

Bài 79: $\left\{\begin{matrix} &x^{2}+y^{2}=1 \\ &\sqrt[2015]{x}-\sqrt[2015]{y}=(\sqrt[2017]{y}-\sqrt[2017]{x})(x+y+xy+2018) \end{matrix}\right.$

Với $x^2+y^2=1 \longrightarrow \begin{cases} &  -1 \leq x \leq 1 \\  &  -1 \leq y \leq 1 \end{cases} \longrightarrow -1 \leq xy \leq 1$

Ta có: $x+y+xy+2018 > 2018 -1-1-1=2015 >0$

Xét 3 TH: 

Với $x>y \longrightarrow \sqrt[2015]{x}-\sqrt[2015]{y}>0 \iff \sqrt[2017]{y}-\sqrt[2017]{x} >0 \iff y >x$ (Mâu thuẫn)

TT với TH: $x<y$ (mâu thuẫn)

$\longrightarrow x=y$. Thay vào (1): $x=y=\sqrt{\dfrac{1}{2}}$

$\left\{\begin{matrix} \frac{1}{3x}+\frac{2x}{3y}=\frac{x+\sqrt{y}}{2x^2+y}\\2x(1+y)=(2+\sqrt{y})\sqrt{2x+1} \end{matrix}\right.$

ĐK: $x,y \not =0$

Nhân cả 2 vế với $xy$ ta có:

$\iff \dfrac{y}{3}+\dfrac{2x^2}{3}=\dfrac{x^2y+xy\sqrt{y}}{2x^2+y}$

$\iff \dfrac{2x^2+y}{3}=\dfrac{x^2y+xy\sqrt{y}}{2x^2+y}$

làm sao để có ý tưởng nhân pt nào cho mấy vậy ??? hay chỉ phân tích đơn thuần 

đây là một dạng của UCT,với $x,y$ không đông bậc và bậc $x$ cao hơn bậc của $y$.

Thông thường bạn viết mỗi pt của hệ theo $y$ rồi tìm $x$ sao cho 2 pt của hệ này tương đương. Trong bài trên ta đã may mắn tìm đc $x=1$

Bài 44: $\left\{\begin{matrix} &x^{3}+y^{2}=(x-y)(xy-1) \\ &x^{3}-x^{2}+y+1=xy(x-y-1) \end{matrix}\right.$

$2PT(2)-PT(1) \iff (x-1)[y^2-(x+3)y+x^2-x-2]=0$

$\iff x=1$   v   $y^2-(x+3)y+x^2-x-2=0$

Với $x=1$ thay vào thì vô nghiệm.

Với $y^2-(x+3)y+x^2-x-2=0 \ (3)$ ta kết hợp với (1) ta đc hệ mới: 

$\iff \begin{cases} &  y^2-(x+3)y+x^2-x-2=0 \\  &  x^3+y^2-x^2y+x+xy^2-y=0 \end{cases}$

Ta có: $2PT(2)-PT(1) \iff (2x+1)[y^2-(x-1)y+x^2-x+2]=0$

TH1: $x=\dfrac{-1}{2} \iff y=\dfrac{5+3\sqrt{5}}{4}$  v   $y=\dfrac{5-3\sqrt{5}}{4}$

TH2: Kết hợp với (3) ta có hệ: 

$\iff \begin{cases} &  y^2-(x+3)y+x^2-x-2=0 \\  &  y^2-(x-1)y+x^2-x+2=0 \end{cases}$

Trừ cho nhau ta có: $y=-1 \iff x^2+2=0$ (vô nghiệm)

...

bài 104: $2x-5+3\sqrt{2x+7}=2\sqrt{x+1}$

ĐK: $x \geq -1$

$\iff (2x-5)^2=(2\sqrt{x+1}-3\sqrt{2x+7})^2$

$\iff 2x^2-21x-21=-6\sqrt{2x^2+9x+7}$

$\Rightarrow (x^2-6x-3)(4x^2-60x-63)=0$ ( Bình phương 2 lần)

Đến đây tìm nghiệm rồi so sánh với điều kiện là ra.

Tiếp tục nhé mọi người!

Bài 111: $7x^2-10x+14=5\sqrt{x^4+4}$

$\iff 6(x^2-2x+2)+(x^2+2x+2)=5\sqrt{(x^2-2x+2)(x^2+2x+2)}$

Đặt $\sqrt{x^2-2x+2}=a; \sqrt{x^2+2x+2}=b$

PT $\iff 6a^2-5ab+b^2=0$

$\iff (2a-b)(3a-b)=0$

Với mỗi TH chỉ cần bình phương lên để tìm đc kết quả.

Cho x, y > 0 và x + y  ≥ 2

Tìm GTNN của biểu thức P = x³ + y³ + $\frac{1}{x^{3}+{y^{3}}}$

Ta có bđt: $4(a^3+b^3) \geq (a+b)^3$ (dễ chứng minh bằng tương đương)

$\iff \dfrac{x^3+y^3}{4}+\dfrac{1}{x^3+y^3}+\dfrac{3(x^3+y^3)}{4} \geq 2+\dfrac{3(x+y)^3}{16} =2+\dfrac{3}{2}=\dfrac{5}{2}$

Dấu $=$ có khi: $x=y=1$

 

Bài 107*: $2x^{2}+3=\sqrt{x^{3}+2x^{2}+1}+\sqrt{x^{3}+4x^{2}+4}$

$\iff (x^2+1-\sqrt{x^3+2x^2+1})+(x^2+2-\sqrt{x^3+4x^2+4})=0$

$\iff \dfrac{x^4-x^3}{x^2+1+\sqrt{x^3+2x^2+1}}+\dfrac{x^4-x^3}{x^2+2-\sqrt{x^3+4x^2+4}}=0$

$\iff x^3(x-1)(...)=0$ (vì phần trong ngoặc dương)

Bài 105: $8x^{2}-8x+3=8x\sqrt{2x^{2}-3x+1}$

Đặt $\sqrt{2x^2-3x+1}=a$

$\iff 4a^2-8xa+8x^2-8x+3-4(2x^2-3x+1)=0$

$\iff 4a^2-8xa+4x-1=0$

$\iff (2a-x)^2-(2x-1)^2=0$

Đến đây ra rồi

Bài 103: $\sqrt{(x+6)^{3}}+\sqrt{x+6}-x^{6}-12x^{5}-48x^{4}-64x^{3}-x^{2}-4x=0$

$\iff \sqrt[3]{x+6}^3+\sqrt{x+6}-x^3(x+4)^3-(x^2+4x)=0$

$\iff \sqrt[3]{x+6}^3+\sqrt{x+6}-(x^2+4x)^3-(x^2+4x)=0$

Đến đây ra rồi

 

Do $x \neq 0$, chia cả $2$ vế phương trình cho $x^3$ ta được:

$\dfrac{8}{x^3}-\dfrac{13}{x^2}+\dfrac{7}{x}=2\sqrt[3]{\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{3}{x}-3}$

Đặt $\dfrac{1}{x}=t$ ta được

$ 8t^3-13t^2+7t=2\sqrt[3]{t^2+3t-3} $

$\Leftrightarrow (2t-1)^3+2(2t-1)=t^2+3t-3+2\sqrt[3]{t^2+3t-3}$...

 

Chỗ này hình như phải là: $VP \iff \sqrt[3]{\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{3}{x}-3x}$ 

Bài 99: $x^{2}-3x+\dfrac{13}{2}= \sqrt{(x^{2}-2x+2)(x^{2}-4x+5)}+2x$

Đặt $\sqrt{x^2-2x+2}=a; \sqrt{x^2-4x+5}=b$, thay vào ta có:

$\iff \dfrac{(x^2-2x+2)+(x^2-4x+5)}{2}=2\sqrt{x^2-2x+2}\sqrt{x^2-4x+5}+(x^2-2x+2)-(x^2-4x+5)$

$\iff \dfrac{a^2+b^2}{2}=ab+a^2-b^2$

$\iff \dfrac{a^2}{2}+ab-\dfrac{3}{2}b^2=0$

$\iff (a-b)(a+3b)=0$

...

2,cho $0\leq a\leq 1$ tim max P=$\frac{\sqrt[4]{a}+\sqrt[4]{2-a}}{\sqrt[a]{4}+\sqrt[4]{1-a}}$

Áp dụng bđt phụ: $8(a^4+b^4) \geq (a+b)^4$

Ta có thể cm: $VT \iff a^4+b^4+3(a^4+b^4)+4(a^4+b^4) \geq a^4+b^4+6a^2b^2+4ab(a^2+b^2)=(a+b)^4$ (đpcm)

Ta có: $\sqrt[4]{a}+\sqrt[4]{2-a} \leq \sqrt[4]{2.8}=2$

Vì $0 \leq a \leq 1$ nên $\sqrt[a]{4} \geq \sqrt{4}=2$ và vì $a \leq 1 \iff \sqrt[4]{1-a} \geq 0$ 

Suy ra ta có: $\dfrac{\sqrt[4]{a}+\sqrt[4]{2-a}}{\sqrt[a]{4}+\sqrt[4]{1-a}} \leq \dfrac{2}{2+0}=1$

Vậy $Max=1$ có khi $a=1$

.

Bài 90: $x^{2}-3x+1=\frac{-\sqrt{3}}{3}\sqrt{x^{4}+x^{2}+1}$

$\iff 3x^2-9x+3+\sqrt{3x^4+3x^2+3}=0$

$\iff 3(x-1)^2+(\sqrt{3x^4+3x^2+3}-3x)=0$

$\iff 3(x-1)^2+\dfrac{3x^4-6x^2+3}{\sqrt{3x^4+3x^2+3}+3x}=0$

$\iff 3(x-1)^2+\dfrac{3(x-1)^2(x+1)^2}{\sqrt{3x^4+3x^2+3}+3x}=0$

$\iff 3(x-1)^2[1+\dfrac{(x+1)^2}{\sqrt{3x^4+3x^2+3}+3x}]=0$

$\iff x=1$ (vì phần trong ngoặc luôn dương)

..

Bài 94: $3\sqrt{x+2}-6\sqrt{2-x}+4\sqrt{4-x^{2}}=10-3x$

ĐK: $-2 \leq x \leq 2$

Đặt $\sqrt{x+2}=a; \sqrt{2-x}=b$ thay vào ta có:

$\iff 3a-6b+4ab=a^2+4b^2$

$\iff (a-2b)(a-2b-3)=0$

Đến đây ra rồi

Bài 89*: $\left\{\begin{matrix} &xy+6y\sqrt{x-1}+12y=4 \\ &\dfrac{xy}{1+y}+\dfrac{1}{xy+y}=\dfrac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}} \end{matrix}\right.$

Dễ thấy $x=0$ hoặc $y=0$ không là nghiệm của hệ.

$(2) \iff \dfrac{x}{\dfrac{1}{y}+1}+\dfrac{1}{y(x+1)}=\dfrac{2\sqrt{\dfrac{x}{y}}}{1+\sqrt{\dfrac{x}{y}}}$

Đặt $\dfrac{1}{y}=a$ thay vào ta có: (ĐK: $a \not = -1; x \not =-1$)

$\iff \dfrac{x}{a+1}+\dfrac{a}{x+1}=\dfrac{2\sqrt{xa}}{1+\sqrt{xa}}$

$\iff (x-a)(\dfrac{1}{a+1}-\dfrac{1}{x+1})=0$

$\iff x=a$

$\iff x=\dfrac{1}{y}$

Thế vào (1) là ra... 

4)$\left\{\begin{matrix} 5x(1+\dfrac{1}{x^2+y^2})=12\\ 5y(1-\dfrac{1}{x^2+y^2})=4 \end{matrix}\right.$

Bạn tham khảo ở đây.

Ta có: $\begin{cases} &  5x+\dfrac{5x}{x^2+y^2}=12 \\  &  5y-\dfrac{5y}{x^2+y^2}=4 \end{cases}$

Dễ thấy $x=0$ hoặc $y=0$ đều không phải là nghiệm hệ.

$\iff \begin{cases} &  5xy+\dfrac{5xy}{x^2+y^2}=12y \\  &  5yx-\dfrac{5yx}{x^2+y^2}=4x \end{cases}$

Cộng vế theo vế: $10xy=12y+4x \iff (5x-6)y=2x$

Xét TH: $x \not = \dfrac{6}{5} \iff y=\dfrac{2x}{5x-6}$ và TH $x=\dfrac{6}{5}$ rồi thế vào 1 trong 2 pt giải tiếp.

Bài 80: $\begin{cases} & x^{3}-y^{3}+5x^{2}+14y^{2}+97x+28y=755 \\ & (x-3)(x-4)= (y-11)(14-y) \end{cases}$

$\iff \begin{cases} &  x^3-y^3+5x^2+14y^2+97x+28y-755=0 \ (1) \\  &  x^2+y^2-7x-25y+166=0 \ (2) \end{cases}$

Lấy $PT(1)+7PT(2) \iff (x+4)^3-(y-7)^3=0$

$\iff x+4=y-7 \iff x=y-11$

Đến đây thay vào pt (2) để tìm nghiệm $x,y$

Bài 86: $\sqrt{2(4x^{2}-x-6)}-\sqrt{2x-3}=\sqrt{2x^{2}+x-1}$

$2(4x^2-x-6)=2x-3+2x^2+2x-1+2\sqrt{(2x-3)(2x-1)(x+1)}$

$\iff 6x^2-5x-8=2\sqrt{(2x-1)(2x^2-x-3)}$

$\iff 3(2x^2-x-3)-(2x-1)-2\sqrt{(2x-1)(2x^2-x-3)}$

Đặt $\sqrt{2x^2-x-3}=a; \sqrt{2x-1}=b$

$\iff 3a^2-2ab-b^2=0$

$\iff (a-b)(3a+b)=0$

$\iff \sqrt{2x^2-x-3}=\sqrt{2x-1}$

Đến đây là ra kq.

Giải :

1)$\sqrt{x^2+x+5}-\sqrt{x^2-4x+10}=x^2+5x+\frac{45}{4}$

$\iff 4x^2+20x+45-4\sqrt{x^2+x+5}+4\sqrt{x^2-4x+10}=0$

$\iff (3x^2+19x+36)+(x^2+x+5-4\sqrt{x^2+x+5}+4)+4\sqrt{x^2-4x+10}=0$

$\iff (3x^2+19x+36)+(\sqrt{x^2+x+5}-2)^2+4\sqrt{x^2-4x+10}=0$

PT này vô nghiệm....

cho P(x) thỏa mãn P(x)/(x+3) dư 1, P(x)/(x-4) dư 8, P(x)/(x+3)(x-4) được thương là 3x và còn dư, tìm P(x)

Hướng dẫn cả cách giải những dạng như thế này nha

Đặt số dư của phép chia là $ax+b$

Ta có: $P(-3)=1; P(4)=8$

Ta có: $P(x)=3x(x+3)(x-4)+ax+b$

Thay $x=-3; x=4$ vào ta có: 

$\iff \begin{cases} &  -3a+b=1 \\  &  4a+b=8 \end{cases}$

$\iff \begin{cases} &  a=1 \\  &  b=4 \end{cases}$

Vậy $P(x)=3x(x+3)(x-4)+x+4$

3.$x,y$ thỏa mãn $x^2y^2+2y+1=0$. Tìm Min và Max của;

$\frac{xy}{3y+1}$

ĐK: $y \not = \dfrac{-1}{3}$

Đặt $xy=a$ $\iff a^2+2y+1=0 \iff y=\dfrac{-a^2-1}{2}$

Thay vào: BT $\iff \dfrac{2a}{-3a^2-1}$

Đặt $\dfrac{-2a}{3a^2+1}=P$

$\iff -2a=3a^2P+P$

$\iff 3a^2P+2a+P=0$

Với $P=0 \iff a=0$

Với $P \not = 0 \iff \Delta'=1-3P^2$

Mà $\Delta \geq 0 \iff (1-P\sqrt{3})(1+P\sqrt{3}) \geq 0 \iff \dfrac{-1}{\sqrt{3}} \leq P \leq \dfrac{1}{\sqrt{3}}$

Vậy Min $=\dfrac{-1}{\sqrt{3}} \iff a=\dfrac{1}{\sqrt{3}}$

Max$=\dfrac{1}{\sqrt{3}} \iff a=\dfrac{-1}{\sqrt{3}}$

Đến đây tìm đc $x,y$...

Bài 2: Dùng bđt $ab \leq \dfrac{a^2+b^2}{2}$: $x\sqrt{1-y^2} \leq \dfrac{x^2+1-y^2}{2}; y\sqrt{2-z^2} \leq \dfrac{y+2-z^2}{2}; z\sqrt{3-x^2} \leq \dfrac{z^2+3-x^2}{2}$

Cộng các bđt lại ta có: $x\sqrt{1-y^2} +y\sqrt{2-z^2} + z\sqrt{3-x^2} \leq \dfrac{x^2+1-y^2}{2}+\dfrac{y^2+2-z^2}{2}+ \dfrac{z^2+3-x^2}{2}=3$

Dấu "=" có khi: $x^2+y^2=1$ ; $y^2+z^2=2$; $z^2+x^2=3$

Bài 81 : $\begin{cases} & 1+x^3y^3-19x^3=0 \\ & y+xy^2+6x^2=0 \end{cases}$ 

$\begin{cases} &  1+x^3y^3=19x^3 \\  &  y+xy^2=-6x^2 \end{cases}$

Dễ thấy $x=0$ không phải là nghiệm.

$\iff \begin{cases} &  1+x^3y^3=19x^3 \\  &  xy+x^2y^2=-6x^3 \end{cases}$

$6PT(1)+19PT(2) \iff 6x^3y^3+19x^2y^2+19xy+6=0$

Đến đây giải pt bậc 3 ẩn $xy$, rồi thế vào 1 trong 2 pt để tìm nghiệm.