b,c dùng Cauchy-Schwarz

có vẻ như bạn này mới học Cô si ~~

Cho a,b,c > 0 thoả mãn a+b+c=1. Chứng minh :

 $\sqrt{\frac{1}{a}-1} . \sqrt{\frac{1}{b}-1} + \sqrt{\frac{1}{b}-1} . \sqrt{\frac{1}{c}-1} + \sqrt{\frac{1}{c}-1}\sqrt{\frac{1}{a}-1} \geq 6$

Biến đổi :$\sqrt{\frac{1}{a}-1}=\sqrt{\frac{a+b+c}{a}-1}=\sqrt{\frac{b+c}{a}}$ .

Tương tự, ta được :

$\sum \sqrt{\frac{(b+c)(c+a)}{ab}}\geq 6\\\Leftrightarrow \sum \sqrt{c(c+a)(c+b)}\geq6\sqrt{abc}$

Áp dụng $Cauchy$ cho 3 số, ta có :$VT\geq 3\sqrt[3]{\sqrt{abc}(b+c)(c+a)(a+b)}\geq3\sqrt[3]{\sqrt{abc}.8\sqrt{bc}.\sqrt{ca}.\sqrt{ab}}\geq6\sqrt[3]{(\sqrt{abc})^3}\geq6\sqrt{abc}$ 

(đúng)

p/s:châm tay

 

 

Bài 204 : HÚ hú quẩy lên nào :v 
Đề HSG Bắc Giang 9 2014-2015 
1/ Giải phương trình:$\sqrt{2x+1}+\frac{2x-1}{x+3}-(2x-1)\sqrt{x^2+4}-\sqrt{2}=0$

 

làm thử. sai thì chỉ giáo :3

$\sqrt{2x+1}+\frac{2x-1}{x+3}-(2x-1)\sqrt{x^2+4}-\sqrt{2}=0\\\Leftrightarrow \frac{2x-1}{\sqrt{2x+1}+\sqrt{2}}+\frac{2x-1}{x+3}-(2x-1)\sqrt{x^2+4}=0\\\Leftrightarrow (2x-1)\left ( \frac{1}{\sqrt{2x+1}+\sqrt{2}}+\frac{1}{x+3}-\sqrt{x^2+4} \right )=0$

 Mà $\sqrt{x^2+4}\geq2; \frac{1}{\sqrt{2x+1}+\sqrt{2}}+\frac{1}{x+3}<2\left ( x>\frac{-1}{2} \right )$ nên trong ngoặc VN

vậy có nghiệm $\frac{1}{2}$

bạn phải Chứng minh A>0 nữa nha bạn,làm vậy sợ mất điểm..

A có dạng $a^2+ab+b^2$ mà nhỉ, tại mình làm biếng ~~

$x^2+2(1-x)+\sqrt[3]{x^4-2x^2}=4$

Giải phương trình

bài 3, mình có ý tưởng thế này :đặt như bạn , ta được

$(2x)^3+2x+6x-4-\sqrt[3]{4-6x}=0\Leftrightarrow (2x)^3+2x-(2y)^3-2y=0$ ra không nhỉ

Đặt $2y = \sqrt[3]{4-6x}$ hả bạn? Nhưng lập phương lên không giống phương trình đề bài

bài 5 

 

$\left\{\begin{matrix} & \sqrt[3]{x} +\sqrt[3]{y}=\sqrt[3]{3\left ( x+y \right )}& \\ & 4x^{3}+6x^{2}+4x+1=15y^{4}& \end{matrix}\right.$ 

 

từ pt $1$ , lập phương 2 vế :

$x+y+3\sqrt[3]{xy.3(x+y)}=3(x+y)\\\Leftrightarrow 81xy(x+y)=8(x^3+y^3+3x^2y+xy^2)\\\Leftrightarrow 8x^3-57x^2y-57xy^2+8y^3=0$

hệ đẳng cấp ,xét trường hợp $y=0$ và $y$ khác $0$, rồi tim được $x=8y;x=\frac{1}{8}y; x=-y$, cái phương trình dưới để từ từ tính 

Bài này mình cũng ra vô nghiệm. Nhưng bài 2 thì nghiệm không đẹp, giúp mình xử lí với

thấy bài ,5 bạn vừa đăng là đặt cái ra luôn mà nhỉ ??? 

bài 2 chưa biết làm , để suy nghĩ tí 

Giải phương trình chứa căn bậc 4 bằng cách đưa về hệ

1/Đặt $\sqrt[4]{18-x}=a;\sqrt[4]{x-1}=b (a,b \geq 0)$ , ta có hệ :

$\left\{\begin{matrix} a+b=5\\ a^4+b^4=17 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a+b=5\\ \left [ \left ( a+b \right )^2-2ab \right ]^2-2(ab)^2=17 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a+b=5\\ 2(ab)^2-100ab+608=0 \end{matrix}\right.$

không biết có nhầm lẫn gì không, có điều mình ra vô nghiệm,  nhưng ý chính là vậy, 

Giai phương trình $\sqrt[3]{3x+4}=x^{3}+3x^{2}+x-2$

$\sqrt[3]{3x+4}=(x+1)^3-(2x+3)$

Đặt $\sqrt[3]{3x+4}=u;x+1=t;2x+3=v\\\Rightarrow \left\{\begin{matrix}u=t^3-v\\ t=u^3-v\end{matrix}\right.$

tới đây chắc không khó lắm đâu nhỉ ?

gợi ý, đánh giá pt trên theo điều kiện phương trình dưới để có $x=y$

$\frac{a^{4}}{b^{2}}+\frac{b^{4}}{c^{2}}+\frac{c^{4}}{a^{2}}\geq \frac{a^{3}}{b}+\frac{b^{3}}{c}+\frac{c^{3}}{a}$

Áp dụng $AM-GM$, ta có :

$\sum \frac{a^4}{b^2}+\sum a^2\geq 2\sum \sqrt{\frac{a^6}{b^2}}\geq 2\sum \frac{a^3}{b} \\\Leftrightarrow \sum \frac{a^4}{b^2}\geq 2\sum \frac{a^3}{b}- \sum a^2$

Ta chỉ cần chứng minh :

$2\sum \frac{a^3}{b}-\sum a^2\geq \sum \frac{a^3}{b}\\\Leftrightarrow \sum \frac{a^3}{b}\geq \sum a^2$

Thật vậy :

$\frac{a^3}{b}+ab\geq 2\sqrt{a^4} \geq 2a^2;$ tương tự , ta được :

$\sum \frac{a^3}{b}\geq 2\sum a^2 -\sum ab \geq \sum a^2$

bất đẳng thức cuối luôn đúng, vậy ta có dpcm

$<=>y^2\geqslant (1-x)^2<=>1-x^2\geqslant (1-x)^2<=>2x(x-1)\leqslant 0$
Điều này luôn đúng do $0\leqslant x\leqslant 1$
Dấu "=" xảy ra khi $(x,y)=(0,1)$ và hoán vị

chậm tay tí 

Cho x, y không âm sao cho $x^{2} + y^{2} = 1$. Chứng minh rằng x + y $\geq 1$

$x,y\geq 0 \Rightarrow x(1-x)\geq 0 \Leftrightarrow x-x^2\geq0;y-y^2\geq0 \\\Rightarrow x+y\geq x^2+y^2\geq 1$

Cho $x,y \in \mathbb{R}$. Chứng minh rằng:

$\frac{1}{\sqrt{1+2x^2}}+\frac{1}{\sqrt{1+2y^2}}\geq \frac{2}{\sqrt{1+2xy}}$

có lẽ bạn rút bài này từ 1 hệ phương trình nhỉ ??

Tiếp 
Giải phương trình : $13.\sqrt{x^2-x^4}+9.\sqrt{x^2+x^4}=16$

Áp dụng bất đẳng thức Bunhia , ta có :

$\sqrt{13}.\sqrt{13}\sqrt{x^2-x^4}+3\sqrt{3}\sqrt{3}\sqrt{x^2+x^4}\leq \sqrt{(13+27)\left [ 13(x^2-x^4)+3(x^2+x^4) \right ]}\leq\sqrt{80(8x^2-5x^4)}\leq\sqrt{80.\frac{16}{5}}\leq 16$

tìm đc dấu bằng, bài này như có ai làm rồi :3

Bài 1: Cho $a; b; c> 0$. Chứng minh:

b. $\frac{ab}{a+3b+2c}+\frac{bc}{b+3c+2a}+\frac{ac}{c+3a+2b}\leq \frac{a+b+c}{6}$

 

$\frac{ab}{a+3b+2c}\leq \frac{ab}{9}\left ( \frac{1}{a+c}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{2b} \right )\\ \frac{bc}{b+3c+2a}\leq \frac{bc}{9}\left ( \frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+c}+\frac{1}{2c} \right )\\ \frac{ac}{c+3a+2b}\leq \frac{ac}{9}\left ( \frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+b}+\frac{1}{2a} \right )\\$

Cộng vế theo vế , ta được 

$VT \leq \frac{a+b+c}{9}+\frac{a+b+c}{18}\leq \frac{a+b+c}{6}$ phần cuối gôm mấy phân thức chung mẫu rồi cộng lại

Bài 3: Cho $x; y; z>0$, $x+y+z=1$. CMR $\sqrt{x+yz}+\sqrt{y+xz}+\sqrt{z+yx}> 1+\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{xz}$

$\sum \sqrt{x+yz}=\sum \sqrt{x(x+y+z)+yz}=\sum \sqrt{(x+y)(x+z)}\geq \sum x+\sqrt{yz}$ (đánh giá cuối sử dụng bunhia)

tương tự như vậy, ta được :$\sum \sqrt{x+yz}\geq x+y+z +\sum \sqrt{yz}=1 +\sum \sqrt{yz}$ (dpcm)

Bài 168: $\left\{\begin{matrix} &\sqrt{2x+3}+\sqrt{2y+3}+\sqrt{2z+3}=9 \\ &\sqrt{x-2}+\sqrt{y-2}+\sqrt{z-2}=3 \end{matrix}\right.$ 

Đặt $a=\sqrt{x-2};b=\sqrt{y-2};c=\sqrt{z-2} (a,b,c \geq 0) \\\Rightarrow \sqrt{2x+3}=\sqrt{2(a^2+2)+3}=\sqrt{2a^2+7}$

tương tự , ta có :$\sum \sqrt{2a^2+7}=9 ; \sum a =3$

Đặt $\vec u(\sqrt{2}a;\sqrt{7}), \vec v ...$ tương tự, ta được :

$\sum\left | \vec u\right | = \sum \sqrt{2a^2+7}\geq \left | \sum \vec u \right |\geq \sqrt{2(a+b+c)^2+(3\sqrt{7})^2}=9$

đẳng thức khi $a=b=c=1$ hay $x=y=z=3$

không biết đúng ko nữa ?

Câu 180: Giải PT: $4-3x^{2}=x^{2}\sqrt{x^{2}-1}$

Đặt $\sqrt{x^2-1}= a\Rightarrow x^2=a^2+1\Rightarrow 4-3(a^2+1) =(a^2+1).a\\ \Leftrightarrow a^3+3a^2+a-1=0$

đền đây tìm được $a=\sqrt{2}-1$ là thỏa, sau đó tìm được $x=\pm \sqrt{4-2\sqrt{2}}$

Giải hệ phương trình $\left\{\begin{matrix}x^2+y+x^3y+xy^2+xy=-\frac{5}{4} & & \\ x^4+y^2+xy(1+2x)=-\frac{5}{4} & & \end{matrix}\right.$

Hệ tương đương với :

$\left\{\begin{matrix} (x^2+y)+xy(x^2+y)+xy=\dfrac{-5}{4}\\ (x^2+y)^2+xy=\dfrac{-5}{4} \end{matrix}\right.$

Đặt $x^2+y=a. xy=b$, ta được :

$\left\{\begin{matrix} ab+a+b=\dfrac{-5}{4}\\ a^2+b=\dfrac{-5}{4} \end{matrix}\right.$

thay b từ pt $2 $  vào $1$, tìm được a, sau đó thì dễ rồi

Bài 1: Cho $\Delta ABC$ có $A(-1;-3)$ đường trung trực của $AB : 3x + 2y – 4 = 0, G( 4;-2)$ là trọng tâm $\Delta ABC$

          Viết phương trình cạnh $BC$. Tìm $B, C$      

Bài 2: Viết phương trình đường thẳng $(\Delta)$ qua $M(4;1)$ cắt $Ox, Oy$ tại

           $A, B$ theo các trường hợp sau:

            a). Diện tích $\Delta OAB$ nhỏ nhất

            b). $OA + OB$ nhỏ nhất              

p/s: ghi lên đây cho mọi người dễ làm                  

câu 2 kết quả ra bao nhiêu vậy bạn ?

số dài lắm bạn, hiện tại mới có đề , chưa có kết quả nữa, bạn có thể đăng để mọi người tham khảo :3

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 10 TỈNH BẠC LIÊU NĂM HỌC 2015-2016

Môn : Toán

Câu 1:(4 điểm) 

         Tìm tất cả các cặp số nguyên $(x;y)$ là nghiệm của phương trình : $$x^2+2y^2+3xy-x-y+3=0$$

Câu 2:(4 điểm)

        Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn điều kiện sau :$$f\left ( x \right )+xf\left ( 1-x \right )=2x^2+2016$$

Câu 3:(4 điểm)

        Giải phương trình : $2x^2+x-2 =x^2\sqrt{x+2}$

Câu 4:(4 điểm)

         Cho các số $x,y,z$ thỏa mãn : $\left\{\begin{matrix} x^2+xy+y^2=3\\ y^2+yz+z^2=16 \end{matrix}\right.$

         Chứng minh rằng $xy+yz+zx\leq 8$

Câu 5:(4 điểm)

        Cho tam giác $ABC$ có 3 góc nhọn ; $BC=a, AC=b, AB=c$ và $M$ là một điểm thuộc miền trong tam giác $ABC$ sao cho các đường tròn ngoại tiếp các tam giác $MAB, MBC, MCA$ có bán kính bằng nhau. Chứng minh:

$$\frac{1}{b^2+c^2-a^2} \overrightarrow{MA}+\frac{1}{c^2+a^2-b^2}\overrightarrow{MB}+\frac{1}{a^2+b^2-c^2}\overrightarrow{MC}=\vec 0$$

p/s: đề không khó ,có điều 2 câu cuối hơi lạ