$=\frac{1}{x^2+y^2+xy}+\frac{1}{xy}=\frac{(x+y)^2}{xy(x+y)^2-x^2y^2}=\frac{1}{xy(1-xy)}$

Đến đây bạn có thể tự giải tiếp rồi

[hide] Nếu có sai sót thì hãy sửa cho mình nha 

$x^{3}+y^{3}=x^{2}-xy+y^{2}$

Tìm nghiệm hữu tỉ để $n^{2}+2n+2004$ là số chính phương

Ta chứng minh nó là nghiệm nguyên . 
Giả sử $n=\frac{p}{q}$ ($gcd(p,q)=1$)
Khi đó đặt $n^2+2n+2004=\frac{p^2}{q^2}+\frac{2p}{q}+2004=m^2$ ($m \in \mathbb{N}$ ) 
Suy ra $p^2+2pq+2004q^2=(mq)^2$ 
Từ đó dễ thấy $p^2 \vdots q$  mà $gcd(p,q)=1$ nên điều xảy ra chỉ khi $q=1$ suy ra $n \in \mathbb{Z}$

làm sao để cm $p^{2}\vdots q$ mà UCLN (p,q)=1 thì chỉ xảy ra khi q=1 ???

mấy phần kia mình lm hết r chỉ thắc mắc mỗi chỗ này

Mình chỉ vừa dạo qua, không biết bạn có lời giải bài này chưa, thôi cứ post lên vậy.

Pt <=> $9x^{2}+6x+10-y^{3}=0$

Ta có $\Delta = 36- 36(10-y^{3})$là số chinh phương => $y^{3}-29$là số chính phương => $9x^{2}+6x-19$là số chính phương

Đặt $9x^{2}+6x-19=a^{2} <=> 20=(3x+1-a)(3x+1+a )$

Đến đây bạn tự tính tiếp được

Cho mình hỏi tại sao ở đây delta là SCP ko?

Cho a,b,c>0:

CMR: $\frac{1}{a(b+1)}+\frac{1}{b(c+1)}+\frac{1}{c(a+1)}\geq \frac{3}{abc+1}$

Ta có: 

$a=k\frac{y}{x};b=k\frac{z}{y};c=k\frac{x}{z};abc=k^{3}\Rightarrow VT(BDT)=\sum \frac{x}{k(y+kz)}=\sum \frac{x^{2}}{k(xy+kxz)}\geq \frac{(x+y+z)^{2}}{k(k+1)(xy+yz+zx)}\geq \frac{3}{k^{2}+k}\geq \frac{3}{k^{3}+1}=\frac{3}{abc+1}(dpcm)$    

ukm

Ta có: 

$a=k\frac{y}{x};b=k\frac{z}{y};c=k\frac{x}{z};abc=k^{3}\Rightarrow VT(BDT)=\sum \frac{x}{k(y+kz)}=\sum \frac{x^{2}}{k(xy+kxz)}\geq \frac{(x+y+z)^{2}}{k(k+1)(xy+yz+zx)}\geq \frac{3}{k^{2}+k}\geq \frac{3}{k^{3}+1}=\frac{3}{abc+1}(dpcm)$    

sao mà đặt a,b,c như z đc ???

Cho x, y, z>0 :

CMR: $\frac{x^{3}}{(x+y)^{3}}+\frac{y^{3}}{(y+z)^{3}}+\frac{z^{3}}{(z+x)^{3}}\geq \frac{3}{8}$

mình ms học lớp 8 nên chưa học dental!   

Tìm x biết:

$x^{4}-2x^{2}-16x+1=0$

$PT \Leftrightarrow x^4+6x^2+9=8x^2+16x+8 \Leftrightarrow (x^2+3)^2=8(x+1)^2 \Leftrightarrow ... $

mình cũng đã lm đến đây r nhưng đoạn sau bị tắc nên bạn có thể giải nốt k?

thế này là thay vào bằng các số kia đúng k ạ?

Cho a, b, c>0 thỏa mãn a+b+c=1

CMR: $\sqrt{2a^{2}+ab+2b^{2}}+\sqrt{2b^{2}+bc+2c^{2}}+\sqrt{2c^{2}+ca+2a^{2}}\geq \sqrt{5}$

Cho 3 số m,n,p> 0 thỏa mãn: $\frac{1}{m}+\frac{1}{n}+\frac{1}{p}=4$

Tìm max M=$\frac{1}{2m+n+p}+\frac{1}{m+2n+p}+\frac{1}{m+n+2p}$

$\frac{1}{2a+b+c}=\frac{1}{(a+b)+(c+a)}\leq \frac{1}{4}(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{c+a})\leq \frac{1}{16}(\frac{2}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})$

TT$\Rightarrow VT\leq \frac{1}{16}.4.(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})=1$

nhưng mình đang tìm min mà???

Bài này trên diễn đàn có một lần rồi bạn bạn cứ nhấn lên kiểu gì cũng có

nhấn lên đâu bạn???

Cho $a,b,c>0$ và $a+b+c=4 $

CMR: $(a+b)(b+c)(c+a) \geq a^{3}b^{3}c^{3}$

Tìm GTLN và GTNN của biểu thức x² - y² biết $-10\leq x\leq 10$ và $-3\leq y\leq 5$

Thử tùm lum

 

Dễ thấy $p$ chẵn. Vì nếu lẻ thì $4 \mid p^2-1=xyz$. Tồn tại 2 số nguyên tố bằng nhau và bằng 2. Vô lý

 

Do $(p-1,p+1)=1$ và $x,y,z$ bình đẳng nên xét các TH:

 

Giả sử $p$ không chia hết cho $3$. Khi đó tồn tại trong 3 số $x,y,z$ một số bằng 3.

 

TH1:  $p-1=x$ và $p+1=yz$

 

Nếu $x=3$ thì $p=4$ không thỏa mãn nên không mất tính tq giả sử $z=3$

 

Khi đó $x+2=3y$. Đến đây do $y \geq 5$ nên thử lần lượt các giá trị của $y$ thì thấy các bộ sau thỏa mãn:

 

$(x,y,z,p)=(13,5,3,14), (19,7,3,20), (37,13,3,38), (67,23,3,68), (109,37,3,110)$

 

TH2: $p-1=yz$ và $p+1=x$

 

Dễ thấy $x$ khác 3. Lại không mất tính tổng quát giả sử $z=3$. Khi đó: $x=3y+2$

 

Do $y \geq 5$ nên thử lần lượt các giá trị của $y$ thì thấy các bộ sau thỏa mãn:

 

$(x,y,z,p)=(17,5,3,16), (23,7,3,22), (41,13,3,40), (53,17,3,52), (59,19,3,58)$

 

Tổng kết: 5 số $p$ nhỏ nhất là $14,16,20,22,38$

 

Rồi giờ xét trường hợp $3 \mid p$. Khi đó $6 \mid p$ nên $p=6k$

 

Thử lần lượt các giả trị của $k$ bắt đầu từ $1$ thì thấy $k=6$ và $k=9$ thỏa mãn.

 

Khi đó $p=36$ hoặc $p=54$. Mà do $36 < 38 <54 $ nên ta chọn $p=36$.

 

Vậy 5 số $p$ nhỏ nhất thỏa mãn là $14,16,20,22,36$

mình thấy trong th1 y=11 cũng tman mà 

Ta sẽ chứng minh bđt sau 

$\frac{4}{x}+5x^{2}\geq 7+2x^{3}$

<=>$\frac{(x-1)^{2}(-2x^{2}+x+4)}{a}\geq 0$

Do $x\leq \sqrt[3]{3}=>-2x^{2}+x+4> 0$

=> BĐT đã cho cần chứng minh 

=> $5(x^{2}+y^{2}+z^{2})+4\left ( \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z} \right )\geq 6+7(x^{3}+y^{3}+z^{3})=27$

bạn có thể chỉ cho mình cách tìm ra bđt phụ như trên ko?

 $y \geq 5$ nên cứ thử $y=5,7,11,13,17,19$. Đủ 5 TH thỏa mãn thì dừng

đúng là thử tùm lum

Đánh giá chỗ màu đỏ không đảm bảo dấu bằng 

vậy bạn có cách làm nào khác k?

Tìm 5 số nguyên dương P nhỏ nhất sao cho $P^{2}-1$ là tích của 3 số nguyên tố phân biệt 

Thử tùm lum

 

Dễ thấy $p$ chẵn. Vì nếu lẻ thì $4 \mid p^2-1=xyz$. Tồn tại 2 số nguyên tố bằng nhau và bằng 2. Vô lý

 

Do $(p-1,p+1)=1$ và $x,y,z$ bình đẳng nên xét các TH:

 

Giả sử $p$ không chia hết cho $3$. Khi đó tồn tại trong 3 số $x,y,z$ một số bằng 3.

 

TH1:  $p-1=x$ và $p+1=yz$

 

Nếu $x=3$ thì $p=4$ không thỏa mãn nên không mất tính tq giả sử $z=3$

 

Khi đó $x+2=3y$. Đến đây do $y \geq 5$ nên thử lần lượt các giá trị của $y$ thì thấy các bộ sau thỏa mãn:

 

Thử lần lượt các giá trị của y là những giá trị nào?

Cho a,b,c>0 tm ab+bc+ac=1

Tìm min H=$\frac{3a^{2}b^{2}+1}{c^{2}+1}+\frac{3b^{2}c^{2}+1}{a^{2}+1}+\frac{3c^{2}a^{2}+1}{b^{2}+1}$