1. Cho (O_1;R₁); (O₂;R₂) cắt nhau tại A và B(O₁, O₂ ở 2 phía đối với AB). 1 cát tuyến D qua A cắt (O₁),(O₂) tại C và D. Tiếp tuyến tại C của (O₁) cắt tiếp tuyến tại D của (O₂) tại M. Tìm vị trí của D để $\frac{MC}{R_{1}}+\frac{MD}{R_{2}}$ Max

2. Cho (O₁) và (O₂₎  có bk khác nhau và tiếp xúc ngoài tại A. 1 (O) thay đổi luôn tiếp xúc với O₁O₂ tại A và cắt (O₁), (O₂)tại B và C. CM: BC luôn đi qua 1 điểm cố định.

Áp dụng bđt: $\frac{a^{2}}{x}+\frac{b^{2}}{y}+\frac{c^{2}}{z}\geq \frac{a+b+c}{x+y+z}$(x,y,z>0)

Dấu ''='' xr $\Leftrightarrow \frac{a}{x}=\frac{b}{y}=\frac{c}{z}$

$\frac{16}{2x+y+z}=\frac{(2+1+1)^{2}}{2x+y+z}\leq \frac{4}{2x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}$

2. $\vee x,y,z>0; \sum \frac{1}{x}=\frac{1}{4}$ ta có: 

$\frac{1}{2x+y+z}\leq \frac{1}{16}(\frac{4}{2x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})$

T² suy ra VT$\leq \frac{1}{16}.4.\sum \frac{1}{x}=1$(đpcm)

Dấu ''='' xr $\Leftrightarrow$ x=y=z=0.75

sao lập bảng được hả bạn? x có nguyên đâu

Câu a đề là sao z?

Dễ CM: OA vuông góc EF $\Rightarrow S_{AEOF}=\frac{OA.EF}{2}=\frac{R.EF}{2}$

Tương tự $\Rightarrow S_{ABC}=\frac{R.(EF+DE+DF)}{2}$

Mà $S_{DEF}=\frac{(EF+DE+DF).r}{2}$

$\Rightarrow \frac{S_{DEF}}{S_{ABC}}=\frac{r}{R}$

Đk: x,y$\neq$0.

$\frac{y}{x}-\frac{x}{y}=\frac{5}{6}$

$\Leftrightarrow 6y^{2}-5xy-6x^{2}=0$

$x\neq 0\Rightarrow 6(\frac{y}{x})^{2}-5\frac{y}{x}-6=0$

N $\frac{y}{x}=-1\Rightarrow ...$

N $\frac{y}{x}=\frac{3}{2}\Rightarrow ...$

http://diendantoanho...y2/#entry623784

Đk: x$\neq -y$

Bđt $\Leftrightarrow (x+y)^{2}+(\frac{xy+1}{x+y})^{2}-2(xy+1)\geq 0$

$\Leftrightarrow (x+y-\frac{xy+1}{x+y})^{2}\geq 0$(luôn đ)

Dấu ''=''xr $\Leftrightarrow x=y\neq 0$

b. x=y² $\Rightarrow x\geq 0$

(2) $\Leftrightarrow (\sqrt{4x+5}-3)+(\sqrt{x^{2}+8}-3)=0$

$\Leftrightarrow \frac{4(x-1)}{\sqrt{4x+5}+3}+\frac{(x-1)(x+1)}{\sqrt{x^{2}+8}+3}=0$

x=1 là nghiệm của pt. N x$\neq 0$ 

$\Rightarrow \frac{4}{\sqrt{4x+5}+3}+\frac{x+1}{\sqrt{x^{2}+8}+3}=0$

VT$\geq 0\vee x\geq 0$ nên x=1 là nghiệm duy nhất $\Rightarrow y=-1;1$

Gọi E, F là chân đương vuông góc hạ từ O₁, O₂ xuống BC.

Đặt $\hat{ABC}=\hat{ACB}$=2a

Dễ CM: $\bigtriangleup EO_{1}D~\bigtriangleup FDO_{2}$

$\Rightarrow r_{1}.r_{2}=EO_{1}.FO_{2}=FD.ED$

Do đó BC=BE+ED+DF+FC=(BF+FC)+(ED+DF)

                =r₁. Cota+r₂.Cota+(ED+DF)

                 $\geq 2Cota.\sqrt{r_{1}.r_{2}}+2\sqrt{r_{1}.r_{2}}$

                 =$2\sqrt{r_{1}.r_{2}}$(Cota+1)

$\Rightarrow$ Max r₁.r₂₌$\frac{BC^{2}}{4(Cota+1)^{2}}$

$\Leftrightarrow$ r₁=r₂, ED=FD $\Leftrightarrow$ BE=CF

$\Leftrightarrow$ BD=CD $\Leftrightarrow$ D là TĐ của BC

x=1 không là nghiệm nên x$\geq 2$. Do đó y lẻ

Mà $12^{x},y^{2}\equiv 1(mod8)$

$\Rightarrow 5^{x}\equiv 1(mod8)\Rightarrow$ x chẵn

Đặt x=2k(k là số TN) $\Rightarrow 5^{2k}=(y-12^{k})(y+12^{k})$

Mà 5 nguyên tố nên tồn tại số nguyên m, m<k thỏa mãn:$y+12^{k}=5^{2k-m}$

và $y-12^{k}=5^{m}$

$\Rightarrow 2.12^{k}=5^{m}(5^{2k-2m}-1)$

2; 12 nguyên tố cùng nhau với 5.

$\Rightarrow 5^{2k}+12^{2k}=(12^{k}+1)^{2}$

Mà $2.12^{k}=5^{m}\Rightarrow m=0\Rightarrow y=12^{k}+1$

$\Rightarrow 2.12^{k}=25^{k}-1$

N k$\geq 2 \rightarrow 25^{k}-1>24^{k}=2^{k}.12^{k}(L)$

$\Rightarrow k=1\Rightarrow x=2, y=13$

3. $AT^{2}=AC.AD\rightarrow \frac{AT}{AC}=\frac{AD}{AT}$

Mà $\hat{CAT}=\hat{TAD}$

$\Rightarrow \bigtriangleup ACT~\bigtriangleup ATD$

$\Rightarrow \hat{ATC}=\hat{ADT}$

$\Rightarrow$AT là tiếp tuyến của đườg tròn ngoại tiếp tam giác CDT

bài 1 có trong NCPT toán 9

bài 3: AM là tiếp tuyến của (O)

$\Rightarrow \hat{AMB}=\hat{ACM}$

$\Rightarrow \bigtriangleup AMB~\bigtriangleup ACM$

$\Rightarrow AM^{2}=AB.AC$(đpcm)

bài 2: Đường thẳng Simson(NCPT)

4.3 Chia hình chữ nhật 4x3 thành 24 hình chữ nhật 0.5x1. Mỡi hình chữ nhật có diện tích là 0.5. Vì có 49 điểm nằm trong 24 hình chữ nhật nên theo nguyên lí dirichlet tồn tại 1 hình chữ nhật 0.5x1 chứa ít nhất 3 trong 49 điểm đã cho. Tam giác tạo thành từ 3 điểm trên có diện tích nhỏ hơn 0.5(đpcm)

Đk: x,y,z$\geq$ 0.25. Áp dụng bđt Cauchy ta có:

$x+y=\sqrt{4z-1}\leq 0.5(4z-1+1)=2z$

Tương tự $\Rightarrow x+y+y+z+z+x=2(x+y+z)$(luôn đúng)

$\Rightarrow x=y=z=0.5(t/m)$

Cho (O;R), từ điểm A nằm ngoài đường tròn kẻ tiếp tuyến AB,AC. Đường thẳng d đi qua trung điểm của AB và song song với BC . Lấy P trên d. Đường tròn đường kính OP cắt (O) tại M và N. CM: PM=PN=PA

Cho (O;R), từ điểm A nằm ngoài (O) kẻ tiếp tuyến AB,AC. Đường thẳng d đi qua trung điểm của AB và song song với BC. Lấy P trên d. Đường tròn đường kính OP cắt (O) tại M và N. CM: PM=PN=PA

sao

Cho (O;R), I là điểm cố định nằm trong đường tròn. AC,BD là 2 dây bất kì qua I. Xác định vị trí 2 dây AC,BD để P=$\frac{AB.AD+BC.CD}{AB.BC+AD.CD}$ Min,Max.

$\frac{1}{(k+1)\sqrt{k}}=\frac{\sqrt{k}}{k(k+1)}=\sqrt{k}(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1})=\sqrt{k}(\frac{1}{\sqrt{k}}+\frac{1}{\sqrt{k+1}})(\frac{1}{\sqrt{k}}-\frac{1}{\sqrt{k+1}})=(1+\frac{\sqrt{k}}{\sqrt{k+1}})(\frac{1}{\sqrt{k}}-\frac{1}{\sqrt{k+1}})<2(\frac{1}{\sqrt{k}}-\frac{1}{\sqrt{k+1}})$(đpcm)

đây nữa nè!