A=n^2012-n^2+n^2011-n+n^2+n+1
=(n^2+n)(n^2010-1)+n^2+n+1
Có (n^2+n)(n^2010-1)=(n^2+n)[(n^3)^670-1]=(n^3-1)x (x>1)
A=(n^3-1)x+n^2+n+1
=(n^2+n+1)[x(n-1)+1]
Nếu n=0 thì A=1 (loại)
Nếu n=1 thì A=3 (là snt)
Nếu n>1 thì A=tích 2 số tự nhiên >1
»»A không là snt (loại)

A=3n4−4n3+5n2−2n+1=(n2−n+1)(3n2−n+1)

Nếu n=1 thì A=3 (là snt)

Nếu n>1 thì A ko là snt

Nếu n<1 thì A ko là snt

Áp dụng 2 lần bđt thức Bunhiacôpxki nha bạn

Lần 1 là 2 cái ngoặc đầu tiên

Lần 2 là cái mới có với cái ngoặc thứ ba 

Bài II 2

        $\frac{a}{c}=\frac{a^{2}+b^{2}}{c^{2}+b^{2}}$

        $\Leftrightarrow ac^{2}+ab^{2}=ca^{2}+cb^{2}$

        $\Leftrightarrow (c-a)(ac-b^{2})=0$

        $\Leftrightarrow ac=b^{2} ( a\neq c )$

  TA có: $a^{2}+b^{2}+c^{2}=(a+c)^{2}-2ac+b^{2}=(a+c)^{2}-b^{2}=(a+c-b)(a+b+c)$   là hợp số (đpcm)   

Câu 2

    $P=\frac{a+b+c}{2}$

Ta phải cm: $\sqrt{\frac{a+b+c}{2}}<\sqrt{\frac{a+b-c}{2}}+\sqrt{\frac{b+c-a}{2}}+\sqrt{\frac{c+a-b}{2}}\leq \sqrt{\frac{3(a+b+c)}{2}}$

Đặt a+b-c=x; b+c-a=y; c+a-b=z thì x+y+z=a+b+c

Bđt cần cm $\Leftrightarrow \sqrt{x+y+z}< \sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\leq \sqrt{3(x+y+z)}$

CM $\sqrt{x+y+z}<\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\Leftrightarrow x+y+z< x+y+z+2(\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx})$(luôn đúng vì a, b, c>0)

CM$\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\leq \sqrt{3(x+y+z)}\Leftrightarrow x+y+z+2(\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx})\leq 3(x+y+z)\Leftrightarrow 2(\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx})\leq 2(x+y+z)$   (luôn đúng)

$x^{2}$ chia 4 dư 0 hoặc 1$\Rightarrow$ 19x² chia 4 dư 0 hoặc 3

28y² chia hết cho 4

 Suy ra 19x²+28y² chia 4 dư 0 hoặc 3

 MÀ 729 chia 4 dư 1

  $\Rightarrow$ vô lí   $\Rightarrow$ pt không có nghiệm nguyên

Câu 2 cũng tương tự

  Giải hpt

    $x^{3}-6x^{2}+12x-7=y$

    $-x^{3}+9x^{2}-19x+11=y^{3}$

Tìm được điều kiện của x rồi làm thế nào nữa bạn

   $(x+2)\sqrt{x+8}-(x-3)\sqrt{x+3}=x^{2}+12$

$\Leftrightarrow 2x^{2}+24-2(x+2)\sqrt{x+8}+2(x-3)\sqrt{x+3}=0$

$\Leftrightarrow [(x+2)-\sqrt{x+8}]^{2}+[(x-3)+\sqrt{x+3}]^{2}=0$

Đến đây dễ dàng tìm được x=1

$\left\{\begin{matrix}x^{2}+xy+x+y=4 & & \\ \left ( x+y \right )+\left ( 1+xy \right )=4 &&\end{matrix}\right.$

  

 Ta có: x² +xy+x+y=x+y+1+xy$\Leftrightarrow$ (x+1)(x+y)=(x+1)(y+1)$\Leftrightarrow$ (x+1)(x-1)=0

Đặt n² +2002=x² $\Leftrightarrow$ (x-n)(x+n)=2002

 Đến đây giải pt nghiệm nguyên là được

(y+2)x2+1=y² $\Leftrightarrow$ (y+2)x² -3=(y-2)(y+2)$\Leftrightarrow$ (y+2)(x² -y+2)=3

 

Đến đây giải theo ước số của 3 là được

Thử n=1;2;3;4;5;6 thì chỉ có n=6 là đúng

Nếu n>6; n$\vdots$ 6 thì n+15$\vdots$ 3;>3 nên là hợp số (loại)

Nếu n>6; n chia 6 dư 1 thì n+5$\vdots$ 6;>6 nên là hợp số (loại)

Nếu n>6; n chia 6 dư 2 thì n+1$\vdots$ 3;>3 nên là hợp số (loại)

Nếu n>6; n chia 6 dư 3 thì n+15$\vdots$ 3;>3 nên là hợp số (loại)

Nếu n>6; n chia 6 dư 4 thì n+17$\vdots$ 3;>3 nên là hợp số (loại)

Nếu n>6; n chia 6 dư 5 thì n+1$\vdots$ 6;>6 nên là hợp số (loại)

   Vậy n=6

$x^{4}\sqrt{x+3}=2x^{4}-2008x+2008$

 

$\Leftrightarrow$ $x^{4}(\sqrt{x+3}-2)+2008x-2008=0$

$\Leftrightarrow x^{4}\frac{x-1}{\sqrt{x+3}+2}+2008(x-1)=0$

$\Leftrightarrow (x-1)[\frac{x^{4}}{\sqrt{x+3}+2}+2008]=0$

$\Leftrightarrow x-1=0\Leftrightarrow x=1$

$\sqrt{2x+1}+\sqrt{17-2x}=x^{4}-8x^{3}+17x^{2}-8x+22$

x4−8x3+17x2−8x+22=(x² +1)(x-4)² +6$\geq$ 6

$\sqrt{2x+1}+\sqrt{17-2x}\leq \sqrt{2}\sqrt{2x+1+17-2x}=6$

 Dấu = xảy ra $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \sqrt{2x+1}=\sqrt{17-2x}& \\ (x-4)^{2}=0 & \end{matrix}\right.$

                                                                            $\Leftrightarrow x=4$ (tm ĐKXĐ)

2x+1+17−2x=x4−8x3+17x2−8x+22  

 

 

2. $\left\{\begin{matrix} x+y+z=2016\\ x^2+y^2+z^2=2016^2\\ x^3+y^3+z^3=2016^3\end{matrix}\right.$

 

(x+y+z)³ =x³ +y³ +z³ $\Leftrightarrow x^{3}+y^{3}+z^{3}+3(x+y)(y+z)(z+x)=x^{3}+y^{3}+z^{3}$

                                  $\Leftrightarrow$ x=-y hoặc y=-z hoặc z=-x

xét từng trường hợp thay vào pt (1) là được

$\frac{a}{b}>\frac{c}{d}\Leftrightarrow ad>bc$ (vì b>0; d>0)

                     $\Leftrightarrow ad+cd>bc+cd\Leftrightarrow d(a+c)>c(b+d)\Leftrightarrow \frac{c+a}{b+d}>\frac{c}{d}$ (vì b+d>0; d>0)

Ta có:ad>bc$\Leftrightarrow ad+ab>bc+ab\Leftrightarrow a(b+d)>b(a+c)\Leftrightarrow \frac{c+a}{b+d}<\frac{a}{b}$(vì b+d>0; d>0)

a) $8^7 -2^{18 }=8^7 -8^6 =8^6 . 7$ chia hết cho 14
b) $10^6 -5^7 =5^6 (2^6 -5)=5^6 .59$ chia hết cho 59

$\Delta AFH\sim \Delta CDH\Rightarrow \frac{AF}{CD}=\frac{HF}{HD}$

Tương tự $\frac{CE}{BF}=\frac{HE}{HF}$

                $\frac{BD}{AE}=\frac{HD}{HE}$

Nhân 3 đẳng thức trên ta có:$\frac{AF.BD.CE}{BF.CD.AE}=1$$\Rightarrow$ AF.BD.CE=AE.CD.BF

$\Leftrightarrow x^{4}+y^{4}-xy^{3}-x^{3}y-(x^{2}+y^{2})(3x-3y)=2(x^{3}-y^{3})-6(x^{2}+y^{2})$

$\Leftrightarrow (x-y)(x^{3}-y^{3})-2(x^{3}-y^{3})-(x^{2}+y^{2})(3x-3y)+6(x^{2}+y^{2})=0$

$\Leftrightarrow (x^{3}-y^{3})(x-y-2)-3(x^{2}+y^{2})(x-y-2)=0$

$\Leftrightarrow (x-y-2)(x^{3}-y^{3}-3x^{2}-3y^{2})=0$

$\Leftrightarrow x^{3}-y^{3}-3x^{2}-3y^{2}=0$

$\Leftrightarrow (x-y)(x^{2}+xy+y^{2})-2(x^{2}+xy+y^{2})-x^{2}-y^{2}+2xy=0$

$\Leftrightarrow (x-y-2)(x^{2}+y^{2}+xy)=(x-y)^{2}$

Ta có $x^{2}+y^{2}+xy=(x+\frac{y}{2})^{2}+\frac{3y^{2}}{4}\geq 0$ mà x-y-2<0

 Suy ra (x-y-2)(x²+xy+y²)$\leq 0$

 Mặt khác (x-y)²$\geq 0$

Dấu = xảy ra $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} (x+\frac{y}{2})^{2}=0 & \\ \frac{3y^{2}}{4}=0 & \\ (x-y)^{2}=0& \end{matrix}\right.$

                      $\Leftrightarrow x=y=0$

Vậy.............

Áp dụng Bunhia và Bunhia dạng phân thức có:

   $(1+1)(\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{y^{2}})\geq (\frac{1}{x}+\frac{1}{y})^{2}\geq (\frac{4}{x+y})^{2}$

$\Rightarrow 2(\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{y^{2}})\geq (\frac{4}{3})^{2}=\frac{16}{9}$

$\Rightarrow \frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{y^{2}}\geq \frac{8}{9}$

Có $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\geq \frac{4}{x+y}=\frac{4}{3}$

Cộng 2 bđt theo vế ta có A$\geq \frac{8}{9}+\frac{4}{3}=\frac{20}{9}$

Dấu = xảy ra$\Leftrightarrow x=y=\frac{3}{2}$

pt (1)$\Leftrightarrow \sqrt{x+2}(x+2-y)+\sqrt{x+2}-\sqrt{y}=0$

$\Leftrightarrow \sqrt{x+2}(\sqrt{x+2}+\sqrt{y})(\sqrt{x+2}-\sqrt{y})+(\sqrt{x+2}-\sqrt{y})=0$

$\Leftrightarrow (\sqrt{x+2}-\sqrt{y})[\sqrt{x+2}(\sqrt{x+2}+\sqrt{y})+1]=0$

$\Leftrightarrow \sqrt{x+2}=\sqrt{y}\Leftrightarrow x+2=y$

Đến đây thế vào pt2 là được

hpt$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} (x-1)=(y-1)(y-2)^{2} & \\ (y-1)=-2(x-1)(x-2)^{2}& \end{matrix}\right.$

Nếu x=1 thì y=1

Nếu y=1 thì x=1

Nếu x;y$\neq$1 ta nhân 2 pt trên theo vế rồi chia 2 vế cho (x-1)(y-1) ta có

         $-2(x-2)^{2}(y-2)^{2}=1$ (vô lí)

Vậy.........