hình như lời giải có vấn đề, đáng lẽ phải chứng minh $\sqrt {5abc}  \geqslant \root 3 \of {abc\sqrt {\left( {3a + 2b} \right)\left( {3b + 2c} \right)\left( {3c + 2a} \right)} } $, mà điều này thì lại ko đúng!

mình ngược dấu (y)

 Cho hai đường tròn $(O)$ và $(O')$ có cùng bán kính cắt nhau tại hai điểm $A$ và $B$. Gọi $M$ là giao điểm của $AB$ và $OO'$. Kẻ $AC$ và $AF$ lần lượt là đường kính của đường tròn $(O')$ và $(O)$. Tia $CM$ cắt đường tròn $(O)$ tại điểm $E$ ($E \in$ nửa mặt phẳng bờ $AB$ chứa điểm $O$). 

CM: Tứ giác $ABEF$ là hình chữ nhật.

P/S: Không sử dụng kiến thức từ bài 2 SGK toán học kỳ II lớp 9 trở đi.

Qua đây cũng chúc các bạn trên VMF một năm mới sức khoẻ dồi dào, học giỏi, tham gia VMF thường xuyên. 

1, Cho hai đường tròn $(O)$ và $(O')$ có cùng bán kính cắt nhau tại hai điểm $A$ và $B$. Gọi $M$ là giao điểm của $AB$ và $OO'$. Kẻ $AC$ và $AF$ lần lượt là đường kính của đường tròn $(O')$ và $(O)$. Tia $CM$ cắt đường tròn $(O)$ tại điểm $E$ ($E \in$ nửa mặt phẳng bờ $AB$ chứa điểm $O$). 

CM: Tứ giác $ABEF$ là hình chữ nhật.

P/S: Không sử dụng kiến thức từ bài 2 SGK toán học kỳ II lớp 9 trở đi nha.

Qua đây cũng chúc các bạn trên VMF một năm mới sức khoẻ dồi dào, học giỏi, tham gia VMF thường xuyên. 

1. Cho $7$ số nguyên tố khác nhau $a,b,c,a+b+c,a+b-c,a+c-b,b+c-a$ trong đó $2$ trong $3$ số $a,b,c$ có tổng bằng $800$. Gọi $d$ là hiệu giữa số lớn nhất và số nhỏ nhất trong $7$ số nguyên tố đó. Hỏi GTLN của $d$ có thể nhận được là bao nhiêu?

2. Tìm tất cả các số nguyên tố $p,q,r$ thoả mãn phương trình $(p+1)(q+2)(r+3) =4pqr$

3. Cho a,b là các số nguyên dương thoả mãn điều kiện $a^2+b^2+1 \vdots ab$. CM: $\frac{a^2+b^2+1}{ab}$ là số nguyên tố.

4, Tìm số nguyên tố bé nhất sao cho $p$ viết được thành 10 tổng có dạng:

$p=x_{1}^{2}+y_{1}^{2}=x_{2}^{2}+2y_{2}^{2}=x_{3}^{2}+3y_{3}^{2}=...=x_{10}^{2}+10y_{10}^{2}$

Trong đố $x_1;x_2;...;x_{10} \in N^*$ và $y_1;y_2:...:y_{10} \in N^*$

Ý mình là nếu như thế thì có phải bài toán đơn giản quá không. 

nếu a bằng 1 hay -1 thì p=0 rồi. làm sao p nguyên dương nữa bạn.

Hình như đề câu này có nhầm lẫn. 

Nếu $\frac{a^2-1}{5a}$ nguyên thì $a=1,-1$ rồi chứ 

thì a,b,c,d thuộc Z mà bạn

1. Cho $x;y\in Z,x;y>1$ sao cho $4x^2y^2-7x+7y$ là số chính phương. Chứng minh : $x=y$.

2. Cho $a_{1}$ nguyên dương. Ta lập các số nguyên dương $a_{2};a_{3};a_{4};...;a_{2015}$ thoả mãn điều kiện $a_{n+1}=a_{n}^{3}+2013$, với $n=1;2;3;...;2014$. Hỏi trong 2015 số nguyên dương $a_{1};a_{2};a_{3};...a_{2015}$ có bao nhiêu số chính phương.

3. Cho $m>n$ là các số nguyên dương lẻ và $n^2-1\vdots m^2-n^2+1$. Chứng minh $m^2-n^2+1$ là một số chính phương.

4. Xét phương trình $x^2+ky^3-2kxy^2-k=0$ với $k$ nguyên dương. Chứng minh rằng phương trình trên có nghiệm nguyên $(x;y)$ thoả mãn $x>0;y>1$ khi và chỉ khi $k$ là một số chính phương.

5. Cho $x;y;z$ nguyên dương thoả mãn $\frac{x^2+y^2+z^2}{xyz+1}$ nhận giá trị nguyên dương.

Chứng minh rằng $\frac{x^2+y^2+z^2}{xyz+1}$ có thể biểu diễn được tổng của 2 số chính phương.

6. Cho $a,b,c,d\in Z$ thoả mãn $\frac{a^2-1}{5a}=\frac{b^2-1}{5b}=\frac{c^2-1}{4c}=\frac{d^2-1}{4d}=p$, trong đó là p nguyên dương. Chứng minh $(a-c)(b-c)(a+d)(b+d)$ là số chính phương.

Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ $(AB<AC)$. Trên cạnh $AC$ lấy điểm $B$ sao cho $AD=AB$. Từ $D$ kẻ đường thẳng vuông góc với $AC$ cắt $BC$ tại $E$ và đường thẳng vuông góc với $AB$ ở $B$ tại $F$. Tia $AE$ cắt $CF$ tại $M$. Chứng minh : $DM \bot BC$   

Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ $(AB<AC)$. Trên cạnh $AC$ lấy điểm $B$ sao cho $AD=AB$. Từ $D$ kẻ đường thẳng vuông góc với $AC$ cắt $BC$ tại $E$ và đường thẳng vuông góc với $AB$ ở $B$ tại $F$. Tia $AE$ cắt $CF$ tại $M$. Chứng minh : $DM \bot BC$   

Mọi người giúp e với ạ. em xin cảm ơn.

mn giúp e với ạ

Mình làm được bài này rồi. các bạn giúp mình bài hình bên box hình học với ạ: $BC.AF=2BF.OK$.

Tìm tất cả các số tự nhiên $n$ sao cho $13.3^6+3^7+3^n$ là số chính phương.

Cho ba số thực dương $a$, $b$, $c$ thỏa mãn $2\sqrt{ab}+\sqrt{ac}=1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

$P=\frac{3bc}{a}+\frac{4ca}{b}+\frac{5ab}{c}$

Cho hình vuông $ABCD$. Lấy điểm $E$ trên cạnh $CD$. Tia $BE$ và tia $AD$ cắt nhau ở $F$. Kẻ $AH$ vuông góc với $BF$ ở $H$, từ $H$ hạ các đường vuông góc với $AB$, $AF$ lần lượt tại $M$ và $N$. Gọi $K$ là trung điểm của đoạn thẳng $BF$. Đường trung trực của đoạn thẳng $BF$ cắt đường trung trực của đoạn $MN$ tại $O$.

a, Chứng minh $BC.AF=2BF.OK$

b, Tia $AE$ cắt $CF$ tại $P$, $DP$ cắt $BF$ tại $Q$. Chứng minh năm điểm $A$, $B$, $C$, $Q$, $D$ cùng nằm trên một đường tròn.

Mọi người giúp e với ạ. Em xin cảm ơn.

up

mọi người giúp em với ạ

Cho hình vuông $ABCD$ có cạnh là $a$. Trên cạnh $BC$ lấy điểm $E$, đường thẳng $AE$ cắt đường thẳng $CD$ tại điểm $M$. Gọi $O$ là giao điểm của hai đường chéo $AC$ và $BD$.

a, Chứng minh: $\frac{1}{AE^2}+\frac{1}{AM^2}=\frac{1}{a^2}$

b. Trên tia đối của tia $CB$ lấy điểm $G$ sao cho $CG=CM$. Chứng minh: $\triangle BOE \backsim \triangle BGD$.

c, Cho $BE=\frac{a}{3}$. Trên tia CM lấy điểm F sao cho $CF=\frac{a}{2}$, gọi $H$ là giao điểm của $BF$ và $AM$. Chứng minh: $CH=\sqrt[3]{HE.HC.HM}$

Cho tam giác nhọn $ABC$, vẽ các đường cao $BD$ và $CE$. Gọi $H$ và $K$ theo thứ tự là hình chiếu của $B$ và $C$ trên đường thẳng $ED$.

Chứng minh rằng: $BD^2=\frac{AB}{AC}(BC.ED+BE.CD)$

sr nhầm 
2005 là số lớn nhất chia 17 dư 10 thì lúc đó 2005 là số lớn nhất
số tiếp theo <= 2005-17 cứ thế mà giảm thôi  

3 số lớn nhất < 2015 là 1965; 1982;1999 rồi mà cộng 3 số này > 999 thì làm sao mà luôn chọn đc 3 số tổng>999 đc. em k hiểu chỗ này lắm

mọi người giúp em với ạ!! em xin cảm ơn

Bài 1: Cho các sô hữu tỷ dương thoả mãn $x+\frac{1}{yz};y+\frac{1}{zx};z+\frac{1}{xy}$ là các số nguyên. Tìm GTLN của biểu thức: 
$A=x+y^2+z^3$

Bài 2: Tìm các số tự nhiên $n$ thoả mãn $\frac{n^3+5n+1}{n^4+6n^2+n+5}=\frac{85}{361}$

Bài 3: Tìm số nguyên dương $n$ sao cho n có tất cả k ước tự nhiên $d_{1};d_{2};d_{3};...;d_{k}$ thoả mãn điều kiện $1=d_{1}< d_{2}< d_{3}< ...<d_{k} <n(k\geq 15)$, đồng thời thoả mãn hai điều kiện sau:

i) $n=d_{13}+d_{14}+d_{15}$

ii) $(d_{5}+1)^3= d_{15}+1$

Bài 4: Tìm số nguyên dương n lớn nhất sao cho số $2013$ viết được thành $a_{1}+a_{2}+a_{3}+...+a_{n}$ trong đó các số $a_{1};a_{2};a_{3};...;a_{n}$ là các hợp số. Kết quả trên thay đổi như thế nào nếu thay số $2013$ bằng số $2014$.

Bài 5: Cho $m$ và $n$ là hai số nguyên dương thoả mãn điều kiện $3^m+5^n$ chia hết cho $8$, chứng minh rằng $3^n+5^m$ cũng chia hết cho $8$.

Bài 6: Tìm tất cả các số nguyên dương thoả mãn $(a+2)\vdots b$ và $(b+3)\vdots a$

Bài 7: Tìm tất cả các cặp số tự nhiên $(n;k)$ với $k>1$ sao cho $A= 17^{2016n}+4.17^{2n}+7.19^{5n}$ có thể phân tích được thành $k$ số tự nhiên liên tiếp.

Bài 8: Tìm tất cả các bộ ba số nguyên dương $(a;b;c)$ thoả mãn $(a^5+b)(a+b^5)=2^c$

mọi người giúp e mấy câu còn lại đi ạ. E xin cảm ơn

câu 5: bạn xem lại đề nhé 

 Bài toán 6 https://julielltv.wo...hung-minh-bdt/ 

Bài 5: Cho $a,b,c$ phân biệt. Chứng minh rằng: 

        $(*a^2+b^2+c^2*)\left ( \frac{1}{(a-b)^2}+\frac{1}{(b-c)^2}+\frac{1}{(c-a)^2}\right ) \geq \frac{9}{2}$

   Chỗ 2 dấu sao nha