Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn $\sqrt{a}+\sqrt{b}\neq \sqrt{c}$ và $ab=(\sqrt{a}+\sqrt{b}-\sqrt{c})^2$

Chứng minh rằng $\frac{a+(\sqrt{a}-\sqrt{c})^2}{b+(\sqrt{b}-\sqrt{c})^2}=\frac{\sqrt{a}-\sqrt{c}}{\sqrt{b}-\sqrt{c}}$

Tìm GTNN của $P=\frac{2}{1-x}+\frac{1}{x}$ với $x \in (0;1)$

Giải bài trên bằng 6 cách.

Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp (O;r). $BM=CM (M \in BC)$. Giả sử điểm O nằm trong tam giác AMC hoặc nằm trên đoạn thẳng AM. $IA=IC (I \in AC)$. Chứng minh rằng:

a, MA+MC>OA+OC

b, $P_{IMC}>2r$

Có:2014≡14(mod100)

2014²≡ 96(mod 100)

      2014³≡44(mod100)

      2014¹⁵≡24(mod100

      2014¹⁸≡56(mod100)

      2014⁹⁰≡76(mod100)

      2014⁴⁵⁰≡76(mod100)

      2014¹⁸⁰⁰≡76(mod100)

==> 2014²⁰¹⁵≡2014¹⁸⁰⁰.2014⁹⁰.2014⁹⁰.2014¹⁸.2014¹⁵.2014²≡76.76.76.56.24.96 ≡24 (mod100)

Vậy hai chữ số tận cùng là 24

Cho $x^{2}+y^{3} \geq x^{3}+y^{4}$. Chứng minh rằng $x^{2}+y^{2}\leq 2$

Về phía ngoài tam giác ABC dựng các tam giác AMB, BNC, CPA cân có số đo các góc ở đỉnh là AMB $=\alpha $; BNC$=\beta$; CPA$=\gamma $. Biết $\alpha+\beta +\gamma=360^{\circ}$. Tính số đo ba góc của tam giác MNP.

Cho x,y,z>0 thỏa mãn x+y+z=1. Chứng minh $\sqrt{x^{2}+2y^{2}}+\sqrt{y^{2}+2z^{2}}+\sqrt{z^{2}+2x^{2}} \geq \sqrt{3}$

Cho x, y thỏa mãn $x^2+y^2+xy=1$. Tìm GTLN, GTNN của $S=x^2-xy+2y^2$

Chứng minh rằng $1^3+2^3+3^3+...+n^3=(1+2+3+...+n)^2$ 

Cho a,b >0 thỏa mãn (a+b)³+4ab $\leq $ 12

Chứng minh rằng $\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}+2015ab \leq 2016$

Cho các số nguyên dương x, y, z thỏa mãn $(x^2+y^2+10)\vdots xy$

1. Chứng minh rằng x, y lẻ và x, y nguyên tố cùng nhau

2. Chứng minh $k=\frac{x^2+y^2+10}{xy} \vdots 4$ và $k\geq 12$

Cho $(O;r)$, đường kính AB. $H \in OA$. Dây CD vuông góc với AB tại H. Xác định vị trí của H để chu vi tam giác HOC lớn nhất.

Tìm x

$4(2\sqrt{10-2x}-\sqrt[3]{9x-37})=4x^{2}-15x-33$

Tính $\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}}-\sqrt{6-3\sqrt{2+\sqrt{3}}}$

Tìm GTNN và GTLN của P= $2x^2-xy-y^2$ với x, y thỏa mãn $x^2+2xy+3y^2=4$

Cho a, b, c dương thỏa mãn $a^4b^4+b^4c^4+c^4a^4=3a^4b^4c^4$. Chứng minh rằng $\frac{1}{a^3b+2c^2+1}+\frac{1}{b^3c+2a^2+1}+\frac{1}{c^3a+2b^2+1}\leq \frac{3}{4}$

Cho n là số nguyên. CMR n³+2 không chia hết cho 2016

Cho $(O;R)$. A cố định nằm trên đường tròn, B di động nằm trên đường tròn. $M \in AB$ sao cho $AM= \frac{2}{3} AB$. Chứng minh M di động trên đường tròn cố định. Tính bán kính đường tròn đó.

Bài 1: Tìm $x\in Z$ để $A\in Z$ biết $A=\frac{({\sqrt{3x}-1})^{2}}{\sqrt{3x}-2}$

Bài 2: Cho $b={\sqrt[3]{2020}}$. Tính $Q=\sqrt[3]{\frac{b^3-3b+(b^2-1)\sqrt{b^2-4}}{2}}+\sqrt[3]{\frac{b^3-3b-(b^2-1)\sqrt{b^2-4}}{2}}$

Bài 3: Rút gọn

a, $C=\frac{2a\sqrt{1+x^2}}{\sqrt{1+x^2}-x}$ với $x=\frac{1}{2}(\sqrt{\frac{1-a}{a}}-\sqrt{\frac{a}{1-a}}); 0< a< 1$

b, $D=a+b-\sqrt{\frac{(a^2+1)(b^2+1)}{c^2+1}}$ với $a, b, c > 0$ và $ab+bc+ca=1$

Cho $a=\frac{1}{2}\sqrt{\sqrt{2}+\frac{1}{8}}-\frac{\sqrt{2}}{8}$. Tính $A=a^2+\sqrt{a^4+a+1}$

Cho hình chữ nhật $ABCD$ có $FA=FB (F\in AB)$. $P$ nằm trên tia phân giác góc C. $PQ\perp BC$ (Q$\in$BC). Chứng minh rằng nếu $PF \perp DQ$ thì $AP=BC$

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $A=\sqrt{x^3+2(1+\sqrt{x^3+1})}+\sqrt{x^3+2(1-\sqrt{x^3+1})}$

Cho $a,b,c,d > 0$. Chứng minh tồn tại một số dương trong hai số $2a+b-2\sqrt{cd}$ và $2c+d-2\sqrt{ab}$

Chứng minh rằng tồn tại các số tự nhiên a,b,c là nghiệm đúng của phương trình $x^2+y^2+z^2=3xyz$ và thoả mãn điều kiện: min {a,b,c} > 24 

Xác định các giá trị của tham số m để phương trình sau có đúng 3 nghiệm: $(x-1)^2=2|x-m|$