Thiết lập hàm $Lagrange$: $ \displaystyle f\left( {a,b,c,\alpha } \right)={{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}-\alpha \left( {2a+4b+3{{c}^{2}}-68} \right)$.

Khi đó điểm cực trị là nghiệm của hệ phương trình: $$ \displaystyle \left\{ \begin{array}{l}2a-2\alpha =0\\2b-4\alpha =0\\2c-6c\alpha =0\\2a+4b+3{{c}^{2}}=68\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\alpha =\frac{1}{3}\\a=\frac{1}{3}\\b=\frac{2}{3}\\c=\frac{{\sqrt{{194}}}}{3}\end{array} \right.$$Khi $ \displaystyle a=\frac{1}{3};\,\,b=\frac{2}{3};\,\,c=\frac{{\sqrt{{194}}}}{3}$ ta có $ \displaystyle {{S}_{{\min }}}=\frac{{199}}{9}$

Ta có:

\[\sum\limits_{cyc} {\frac{{{a^2}}}{b}}  - \sqrt {3\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)}  = \sum\limits_{cyc} {{{\left( {a - b} \right)}^2}\left( {\frac{{a + c + \sqrt {3\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)} }}{{a + b + c + \sqrt {3\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)} }}} \right)}  \ge 0\]

Vậy bất đẳng thức được chứng minh thành công.

Ở đây có rồi nha: https://diendantoanh...-hóa-2017-2018/

bài này có ở đây rùi nha:https://diendantoanh...2c21leq-frac34/

$$ \displaystyle \begin{array}{l}{{x}^{3}}-{{x}^{2}}-x-\frac{1}{3}=0\\\Leftrightarrow 3{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}-3x-1=0\\\Leftrightarrow 4{{x}^{3}}={{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+3x+1\\\Leftrightarrow 4{{x}^{3}}={{\left( {x+1} \right)}^{3}}\\\Leftrightarrow x\sqrt[3]{4}=x+1\\\Leftrightarrow x=\frac{1}{{\sqrt[3]{4}-1}}\end{array}$$

Có bổ đề $Nesbit$: $$\frac{a}{{b + c}} + \frac{b}{{c + a}} + \frac{c}{{a + b}} \geqslant \frac{3}{2} \Leftrightarrow \frac{1}{2}\sum\limits_{cyc} {\frac{{{{\left( {a - b} \right)}^2}}}{{\left( {a + c} \right)\left( {b + c} \right)}}}  \geqslant 0$$Theo $Cauchy - Schwarz$ ta có: $$\sum\limits_{cyc} {\sqrt {1 - \frac{a}{{b + c}}} }  \leqslant \sqrt {3\left( {3 - \sum\limits_{cyc} {\frac{a}{{b + c}}} } \right)}  \leqslant \frac{{3\sqrt 2 }}{2}$$

$$I = \int\limits_2^3 {\frac{{\sqrt {x + 2} }}{{x + \sqrt {{x^2} - 4} }}} ;\,\,J = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{{{\left( {\cos x + 1} \right)}^{\sin x + 1}}}}{{\sin x + 1}}} $$

Cho a>2, b>2 . Chứng minh :ab>a+b

Ta có: $\left( {a - 2} \right)\left( {b - 2} \right) > 0 \Leftrightarrow ab > 2a + 2b + 4 > a + b$

Bất đẳng thức tương đương:

\[\left( {\sum\limits_{cyc} {{c^2}{{\left( {{a^2} + {b^2}} \right)}^2}} } \right)\left( {{{\left( {a + b + c} \right)}^4}\sum\limits_{cyc} {{{\left( {ab} \right)}^4}} } \right) \ge 2916{\left( {abc} \right)^6}\]

Theo AM-GM ta có:

\[\left( {\sum\limits_{cyc} {{c^2}{{\left( {{a^2} + {b^2}} \right)}^2}} } \right)\left( {{{\left( {a + b + c} \right)}^4}\sum\limits_{cyc} {{{\left( {ab} \right)}^4}} } \right) \ge 3\sqrt[3]{{{a^2}{b^2}{c^2}\prod\limits_{cyc} {{{\left( {{a^2} + {b^2}} \right)}^2}} }}.{\left( {3\sqrt[3]{{abc}}} \right)^4}.3\sqrt[3]{{{a^8}{b^8}{c^8}}}\]

\[ \ge 3\sqrt[3]{{{a^2}{b^2}{c^2}\prod\limits_{cyc} {{{\left( {2ab} \right)}^2}} }}.{\left( {3\sqrt[3]{{abc}}} \right)^4}.3\sqrt[3]{{{a^8}{b^8}{c^8}}} = 2916{\left( {abc} \right)^6}\]

Vậy ta có đpcm

Bạn có thể tham khảo tại đây

https://diendantoanh...b-cc-aabcgeq-9/

Á dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz  ta được:

\[\sum\limits_{cyc} {\frac{a}{{1 + \frac{b}{a}}} = \sum\limits_{cyc} {\frac{{{a^2}}}{{a + b}}}  \ge \frac{{a + b + c}}{2}}  \ge \frac{{\sum\limits_{cyc} {\sqrt {ab} } }}{2} = 1\]

Vậy có đpcm

ở đây nha: https://diendantoanh...ng/#entry683001

Mình xin đưa ra ý tưởng!

Không mất tính tổng quát ta giả sử: $c = \min \left\{ {a,b,c} \right\}$. Khi đó ta được: $$\left( {\sum\limits_{cyc} {{a^2}} } \right)\left( {\sum\limits_{cyc} {\frac{1}{{{{\left( {a - b} \right)}^2}}}} } \right) \geqslant \left( {{a^2} + {b^2}} \right)\left( {\frac{1}{{{{\left( {a - b} \right)}^2}}} + \frac{1}{{{b^2}}} + \frac{1}{{{a^2}}}} \right)$$Đến đây đặt $t = \frac{a}{b} + \frac{b}{a}$ và khảo sát hàm 1 biến là xong!

Đặt:

\[{\sqrt x  = a;\,\,\sqrt y  = b;\,\,\sqrt z  = c}\]

Ta có:

\[{a^2} + {b^2} + {c^2} - \frac{{ab + bc + ca}}{2} - \sum\limits_{cyc} {\sqrt {\frac{{{a^4} + {b^4}}}{8}} }  = \sum\limits_{cyc} {\frac{{8{{\left( {a - b} \right)}^4}}}{{\left( {2\left( {{a^2} + {b^2}} \right) + \sqrt {8\left( {{a^4} + {b^4}} \right)} } \right)\left( {\sqrt {8\left( {{a^4} + {b^4}} \right)}  + 4ab} \right)}}}  \ge 0\]

Vậy có đpcm

Thế giả thiết vào P ta được: $$P = {\left( {x + y + z} \right)^2} - \frac{{{x^3} + {y^3} + {z^3}}}{{9xyz}} + \frac{3}{{xy + yz + xz}} =  - \sum\limits_{cyc} {{{\left( {x - y} \right)}^2}\left( {\frac{{\sum\limits_{cyc} {z{{\left( {x - y} \right)}^2}} }}{{18xyz}} + 1} \right)}  + \frac{{29}}{3} \leqslant \frac{{29}}{3}$$Vậy $\max P = \frac{{29}}{3}$

Cho dãy số:

Ta có: $\frac{1}{{{{\left( {a + 1} \right)}^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {b + 1} \right)}^2}}} - \frac{1}{{1 + ab}} = \frac{{ab{{\left( {a - b} \right)}^2} + {{\left( {ab - 1} \right)}^2}}}{{{{\left( {a + 1} \right)}^2}{{\left( {b + 1} \right)}^2}\left( {ab + 1} \right)}} \Rightarrow Q.E.D$

Ta có:

\[VT - VP = \sum\limits_{cyc} {\frac{{{c^2}{{\left( {a - b} \right)}^2}}}{{2\left( {a + c} \right)\left( {b + c} \right)\left( {ab + bc + ca} \right)}}}  \ge 0\]

Vậy có đpcm

Ta có:

\[\sum\limits_{cyc} {\frac{{2a}}{{b + c}}}  - 3 - \frac{{\sum\limits_{cyc} {{{\left( {a - b} \right)}^2}} }}{{{{\left( {a + b + c} \right)}^2}}} = \sum\limits_{cyc} {{{\left( {a - b} \right)}^2}\left( {\frac{{{a^2} + {b^2} + ab + bc + ca}}{{\left( {a + c} \right)\left( {b + c} \right){{\left( {a + b + c} \right)}^2}}}} \right)}  \ge 0\]

Vậy có đpcm

Cho 3 số thực $x,y,z$ thỏa mãn: $xyz = x + y + z$.

Tìm $\min P = \left( {x - 1} \right){y^2} + \left( {y - 1} \right){z^2} + \left( {z - 1} \right){x^2}$

Ta biến đổi bất đẳng thức về chứng minh: 

Theo AM-GM ta có:

Vậy bất đẳng thức được chứng minh thành công.

Đẳng thức xảy ra khi \[x = y = z\]

Inequaliti

Đơn giản mà! Ta có: $f\left( {x,y} \right) = {x^2} - 2x + 4{y^2} + 4y + 2012 = {\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {2y + 1} \right)^2} + 2010 \geqslant 2010$

Dấu "=" xảy ra khi $x = 1;y =  - \frac{1}{2}$

Đề bài hình như có vấn đề! Ta có: $$ \displaystyle \frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}-\frac{b}{a}-\frac{a}{c}-\frac{c}{b}=\frac{{\left( {a-c} \right)\left( {b-c} \right)\left( {b-a} \right)}}{{abc}}$$Biểu thức này luôn âm khi $ \displaystyle a\ge b\ge c>0$

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz ta có: