Cho dãy số $(x_{n})$ thỏa mãn $x_{0}=a$ và $x_{n+1}=2-x_{n}^{2}$

Tìm tất cả các giá trị của a để dãy số có giới hạn hữu hạn

Đây là các tài liệu hình học của thầy Trần Quang Hùng được mình lấy từ Blog của thầy tại địa chỉ  http://analgeomatica.blogspot.com/

Không tải được file anh ơi

Lời giải

cho $x,y,z>0$ thỏa mãn $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\sqrt{3}$
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=$\frac{\sqrt{2x^{2}+y^{2}}}{xy}+\frac{\sqrt{2y^{2}+z^{2}}}{yz}+\frac{\sqrt{2z^{2}+x^{2}}}{zx}$

$P=\Sigma \frac{\sqrt{2x^2+y^2}}{xy}=\Sigma \sqrt{\frac{2}{y^2}+\frac{1}{x^2}}=\frac{1}{\sqrt{3}} .\Sigma \sqrt{(1+1+1)(\frac{1}{y^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{x^2})}\geq \frac{1}{\sqrt{3}}\Sigma (\frac{1}{x}+\frac{2}{y})=\frac{1}{\sqrt{3}}.3.(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})=3$

DBXR khi $x=y=z=\sqrt{3}$

 

Cho a, b là các số dương thỏa mãn  $ a^3 + b^3=a^5+b^5$

a) Chứng minh rằng: $a^5  + b^5  \ge ab(a + b)$

b) Tìm giá trị lớn nhất của $P = a^2  + b^2  - ab$

 

b) $a^3+b^3=a^5+b^5 \leftrightarrow a^2-ab+b^2=a^4-a^3b+a^2b^2-ab^3+b^4 \leftrightarrow a^2-ab+b^2=(a^2-ab+b^2)^2+a^3b+ab^3-2a^2b^2 \leftrightarrow P(1-P)=ab(a-b)^2$

$P=(a-\frac{1}{2}b)^2+\frac{3}{4}b^2 \geq 0$ mà vế phải không âm

$\leftrightarrow 1-P \geq 0$

$\leftrightarrow  P max=1$ khi vế trái=vế phải=0 suy ra a=b=1

Cho các số dương $a,b,c$ thỏa mãn $a+b+c=\frac{3}{2}$. Tìm GTNN của biểu thức: $P=\frac{1+b}{1+4a^2}+\frac{1+c}{1+4b^2}+\frac{1+a}{1+4c^2}$

$\frac{1+b}{1+4a^2}=\frac{(1+b)(4a^2+1)-(1+b)4a^2}{4a^2+1}=1+b-\frac{(1+b)4a^2}{4a^2+1}\geq 1+b-\frac{(1+b)4a^2}{4a}(Co-si)=1+b-a-ab$

Tương tự suy ra $P \geq 1+b-a-ab+1+c-b-bc+1+a-c-ac=3-(ab+bc+ca) \geq 3-\frac{(a+b+c)^2}{3}=3-\frac{3}{4}=\frac{9}{4}$

Cho x, y, z là các số thực không âm thỏa mãn $x^{2}+y^{2}+z^{2}+xyz=4$. Tìm GTLN của P $=x+y+z$

Với $x=\frac{2\sqrt{ab}}{(a+c)(b+c)};y=\frac{2\sqrt{ac}}{(a+b)(c+b)};z=\frac{2\sqrt{bc}}{(b+a)(c+a)}$ thì $x^2+y^2+z^2+xyz=4$ thỏa mãn điều kiện đề bài.Do đó có thể đổi biến x,y,z dưới dạng trên

Ta đưa bài toán về tìm GTLN của tổng $P=\frac{2\sqrt{ab}}{(a+c)(b+c)}+\frac{2\sqrt{ac}}{(a+b)(c+b)}+\frac{2\sqrt{bc}}{(b+a)(c+a)}$

AD AM-GM ta có $P\leq \frac{x}{x+z}+\frac{y}{y+z}+\frac{y}{y+x}+\frac{z}{z+x}+\frac{x}{x+y}+\frac{z}{z+y}=3$

Vậy $Max P=3$ tại $x=y=z =1$