$\boxed { Lời \ giải \ bài \ 109 }$ Bài toán trên tương đương với bài toán sau
Cho $\triangle ABC$ với $I,J$ lần lượt là tâm nội tiếp và tâm bàng tiếp góc $\angle A$. $K$ là trung điểm cung lớn $BC$. $JK$ cắt $(O)$ tại $X$. $E,F$ là hình chiếu của $X$ lên $IC,IB$. Chứng minh rằng trung điểm $EF$ nằm trên trung trực $BC$
Chứng minh : Gọi $M,N, G$ lần lượt là tâm bàng tiếp góc $\angle B, \angle C$, trung điểm $BC$. Ta cần chứng minh $KG$ đi qua trung điểm $EF$, $JK$ cắt $BC$ tại $T$
Ta sẽ chứng minh $\frac{BF}{CE} = \frac{BM}{CN}$
Ta có : $\frac{BF}{CE} = \frac{BF}{BX} .\frac{BX}{CX} . \frac{CX}{CE} = \frac{cos \angle FBX}{cos \angle ECX} . \frac{sin \angle XCB}{sin \angle XBC} = \frac{sin \angle XBJ}{sin \angle XCJ} . \frac{sin \angle XCB}{sin \angle XBC}$
Gọi $U,V$ là trung điểm cung lớn $AC,AB$ khi đó
$\frac{sin \angle XBJ}{sin \angle XCJ} . \frac{sin \angle XCB}{sin \angle XBC} = \frac{sin \angle XBJ}{sin \angle XCJ} . \frac{sin \angle XCB}{sin \angle XBC} $