B. 70

Cho a,b,c,d>0. Chứng minh rằng: $\frac{a^2}{b}+\frac{c^2}{d}\geq \frac{(a+c)^2)}{b+d}$

Tìm x thỏa mãn :3^x+4^x=5^x

Bộ ba số pytago đó: => x=2

Bài 1: Tìm tỉ số giữa bán kính đường tròn ngoại tiếp và bán kính đường tròn nội tiếp tam giác vuông có một góc nhọn bằng $30^{0}$.

Bài 2: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Biết chu vi tam giác ABH = 30cm, chu vi tam giác ACH = 40 cm, Tính chu vi tam giac ABC.  

Bài 1:

Gọi tam giác đó là ABC vuông tại A có góc ABC bằng 30 độ. Gọi R là bán kính đường tròn ngoại tiếp. r là bán kính đường tròn nội tiếp

Ta có: AC=BC.sin30=$\frac{BC}{2}$=R

AB=BC.cos30=$\frac{BC.\sqrt{3}}{2}$

Lại có: r=$\frac{AB+AC-BC}{2}$=$\frac{BC(\sqrt{3}-1)}{4}$

$\Rightarrow \frac{R}{r}=\frac{BC}{2}.\frac{4}{BC(\sqrt{3}-1)}=\frac{2}{\sqrt{3}-1}$

$=1+\sqrt{3}$

Bài 2: Theo hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông, ta có:

$AH=\frac{AB.AC}{BC}$

Lại có: $\Delta ABH\infty \Delta CAH(g.g)$

$\frac{AB}{AC}=\frac{AH}{CH}=\frac{3}{4}$ (Tỉ số đồng dạng bằng tỉ số chu vi)

$\Rightarrow AB=\frac{3AC}{4}$

$\Rightarrow BC=\frac{5AC}{4}$ (pitago)

$\Rightarrow AH=\frac{AB.AC}{BC}=\frac{3AC}{5}$

Ta có: AB+AC+BC+2AH=70

$\Leftrightarrow \frac{3AC}{4}+AC+\frac{5AC}{4}+\frac{6AC}{5}=70$

$\Rightarrow AC=\frac{50}{3}; AB=\frac{25}{2}; BC=\frac{125}{6}$

Vậy chu vi tam giác ABC là: AB+BC+AC=$\frac{50}{3}+\frac{25}{2}+\frac{125}{6}=50$

Câu hệ pt như này bạn nè

Ta có $\left [ x \right ]+\left [ y \right ]=\left [ \left [ x \right ] +\left \{ x \right \}+\left [ y \right ]+\left \{ y \right \}\right ]=\left [ x \right ]+\left [ y \right ]+\left [ \left \{ x \right \}+\left \{ y \right \} \right ]$

Do $0\leq \left \{ x \right \}< 1\Rightarrow 0\leq \left \{ x \right \}+\left \{ y \right \}< 2\Rightarrow 0\leq \left [ \left \{ x \right \} +\left \{ y \right \}\right ]< 1$

Từ đó suy ra $\left [ x+y \right ]\leq \left [ x \right ]+\left [ y \right ]+1$

Mặt khác ta lại có $x=\left [ x \right ]+\left \{ x \right \};y=\left [ y \right ]+\left \{ y \right \}\Rightarrow \left [ x+y \right ]=\left [ \left [ x \right ] +\left [ y \right ]+\left \{ x \right \}+\left \{ y \right \}\right ]=\left [ x \right ]+\left [ y \right ]+\left [ \left \{ x \right \} +\left \{ y \right \}\right ]\geq \left [ x \right ]+\left [ y \right ]$

em không hiểu cho lắm thầy, cái {x} là gì thầy

Lúc sáng mới đi thi về.

Câu 1c:

$(x+\frac{1}{y})^2 +(y+\frac{1}{x})^2=x^2+ \frac{2x}{y}+\frac{1}{y^2}+y^2+\frac{2y}{x}+\frac{1}{x^2}$ (1)

Áp dung BĐT AM-GM ta có:

$x^2+\frac{1}{4}\geqslant x$

$y^2+\frac{1}{4}\geq y$

$\frac{1}{x^2}+4\geq \frac{4}{x}$

$\frac{1}{y^2}+4\geq \frac{4}{y}$

$\Rightarrow x^2+y^2\geq x+y-\frac{1}{2}$ và $\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}\geq \frac{4}{x}+\frac{4}{y}-8$

=> $(x+\frac{1}{y})^2 +(y+\frac{1}{x})^2=x^2+ \frac{2x}{y}+\frac{1}{y^2}+y^2+\frac{2y}{x}+\frac{1}{x^2}$

$\geq x+y-\frac{1}{2}+4+4(\frac{1}{x}+\frac{1}{y})-8$

$=x+y +4(\frac{1}{x}+\frac{1}{y})-4,5$

Lại có: $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\geq \frac{4}{x+y}$

$\Rightarrow (1)\geq 1+4(\frac{4}{1})-4,5=12,5$

Dấu ''='' xảy ra khi:

$\left\{\begin{matrix}x=y & & \\ x+y=1 & & \end{matrix}\right.\Rightarrow x=y=0,5$

Vậy GTNN của biểu thức là 12,5

.

Theo đề t có hệ $\left\{\begin{matrix}a^2-ab-b^2-1=0 & & \\ 2a^3=a+b & & \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}(a-b)^2+ab-1=0 & & \\ 2a^3=a+b & & \end{matrix}\right.$

Vì $(a-b)^2\geqslant 0$ nên để $(a-b)^2+ab-1=0$ thì $\left\{\begin{matrix}(a-b)^2=0 & & \\ ab-1=0 & & \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}a=b & & \\ ab=1 & & \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}a=b & & \\ b=\frac{1}{a} & & \end{matrix}\right.$

Thay a=b vào phương trình thứ 2 của hệ ta có: $2a^3-2a=0$ $\Leftrightarrow a=1$ hoặc a=-1 => b=1 hoặc b=-1

Thay $b=\frac{1}{a}$ vào phương trình 2 của hệ ta có: $2a^3=a+\frac{1}{a}$ => a=1 hoặc a=-1 =>b=1 hoặc b=-1

Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm: (1;1); (-1;-1)

Ta có $P=x^2+y^2=(\frac{2x^2}{3}+\frac{2y^2}{3})+(\frac{x^2}{3}+\frac{4}{3})+(\frac{y^2}{3}+\frac{4}{3})-\frac{8}{3}\geq \frac{4}{3}(xy+x+y)-\frac{8}{3}=8\Leftrightarrow x=y=2$

Bạn dùng BĐT gì vậy

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO                                                          KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
       BÌNH ĐỊNH                                                                                       KHÓA NGÀY : 18-3-2016
THỜI GIAN LÀM BÀI : 150 PHÚT 
Câu 1 : (5 điểm)  
a) Tính tổng : $A=\sqrt{1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}}+\sqrt{1+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}}+...+\sqrt{1+\frac{1}{2015^2}+\frac{1}{2016^2}}$ 

Ta có: $\sqrt{1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}}= 1+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$

$\sqrt{1+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}}=1+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}$

Tương tự như vậy A trở thành: A= $1+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+1+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...+1+\frac{1}{2015}-\frac{1}{2016}$

$\Leftrightarrow A= 2014+\frac{1}{2}-\frac{1}{2016}$

Vậy A=$\frac{4061231}{2016}$

​Cho biểu thức: A= $x\sqrt{3+y}+y\sqrt{3+x}$ , với $x\geq 0, y\geq 0$ ; $x+y=2016$ . Tìm GTNN của A.

bạn gõ lại latex đi

 

 

 

$\boxed{\text{Bài 2:(5 điểm)}}$

 

$1.$ a) Tìm $x$ biết:

$x^{4}+7x^{3}+14x^{2}+14x+4=0$

 

Ta có: $x^4+7x^3+14x^2+14x+4=0$

$\Leftrightarrow (x^2+2x+2)(x^2+5x+2)=0$

$\Leftrightarrow x^2 +2x+2=0$ hoặc $x^2+5x+2=0$

Ta thấy phương trình: $x^2+2x+2=0$ là vô nghiệm nên chỉ còn trường hợp là $x^2+5x+2=0$

Giải phương trình bậc hai ra, ta có: $x_{1}= \frac{-5+\sqrt{17}}{2}; x_{2}=\frac{-5-\sqrt{17}}{2}$. Và đó cũng chính là hai nghiệm của phương trình

 

Bài 2:

           b) Giải hệ phương trình $\left\{\begin{matrix} x^{3}+y^{3}=8 & \\ x+y+2xy=2 & \end{matrix}\right.$

 

$\left\{\begin{matrix}x^3+y^3=8 & & \\ x+y+2xy=2 & & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} (x+y)(x^2-xy+y^2)=8 & & \\ (x+y)+2xy=2 & & \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}(x+y)((x+y)^2-3xy)=8 & & \\ (x+y)+2xy=2 & & \end{matrix}\right.$

Đặt x+y=a, xy=b, ta có: $\left\{\begin{matrix}a(a^2-3b)=8 & & \\ a+2b=2 & & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}2(1-b)(4(1-b)^2-3b)=8 & & \\ a=2(1-b) & & \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow \left\{\begin{matrix}b=0 & & \\ a=2 & & \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow x+y=2; xy=0$. Theo viet thì xy là nghiệm của pt: $x^2-2x=0 \Rightarrow x=2; y=0$ hoặc $x=0; y=2$

Ok, em hiểu bài 3 rồi, mấu chốt chỉ là kẻ thêm 1 đường thẳng vuông góc để tạo ra tam giác vuông có góc 30 độ.

Còn bài 1 thì solution như thế nào anh ?

Áp dụng BĐT Cauchy, ta có: $(a+b)^{2}\leqslant 2(a^{2}+b^{2})$

$\rightarrow (a+b)^{2}\leqslant 2$ . Vậy GTLN của nó là bằng 2

\frac{a+b+c}{3}\leq \sqrt{\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{3}}\leq \frac{1}{3}(\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}+\frac{ab}{c})

nó không cho gửi bài ad ạ.

không thấy gửi bài mới ở đâu