Mọi người cho e hỏi bài này ạ )
Cho tam giác ABC. Hai điểm P, Q nằm cố định trên BC. $(I_{1})$ là đường tròn nội tiếp tam giác ABP. $(I_{2})$ là đường tròn nội tiếp tam giác AQC.$(I)$ là đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Một điểm T bất kì chạy trên $(I)$. Ta có TB cắt $(I_{1})$ tại X và X' (X nằm giữa T và X'). Ta có TC cắt $(I_{2})$ tại Y và Y' (Y nằm giữa T và Y'). Z là giao điểm của XP và YQ. Chứng minh rằng Z luôn thuộc $(J)$, là đường tròn bàng tiếp góc A của tam giác APQ.

Mọi người cho e hỏi bài này ạ )

Tìm $f\;:\;\mathbb{Z}_{+}\;\rightarrow\;\mathbb{Z}_{+}$ thỏa mãn: $[f(m)+n][f(n)+m]$ là số chính phương $\forall\;m,n\in\mathbb{Z}_{+}$

Mọi người cho e hỏi bài này ạ )

Tìm điều kiện của $n\in\mathbb{Z}_{+}$ để: $a^n+b^n+c^n\;\vdots\;(a+b+c)\;\forall\;a,b,c\in\mathbb{Z}_{+}$

Mọi người giúp mình bài này )

Tìm số hạng tổng quát của dãy số $(x_{n})$ cho như sau:

$x_{1}=7,\;x_{n+1}=x_{n}^{4}-8x_{n}^{2}+1,\;\forall\;n=1,2,...$

Đây nhé bạn

Bạn ơi link bạn đưa là tìm min mà. Mình đưa ra thắc mắc là tìm max đấy chứ?

Cho a,b,c>0 a+b+c=1

CMR

$a+\frac{2}{a}+20b+\frac{1}{b}+c+\frac{2}{c}\geq 15$

Hướng giải quyết là thế này bạn nhé:

Ta sẽ tách $a=ma+(1-m)a$, $c=mc+(1-m)c$ và cuối cùng là $b=(1-m)b+(19+m)b$

Khi đó ta sẽ có như sau:

                     $ma+\frac{2}{a}\geq2\sqrt{2m}$

                     $(19+m)b+\frac{1}{b}\geq2\sqrt{19+m}$

                     $mc+\frac{2}{c}\geq2\sqrt{2m}$

                     $(1-m)(a+b+c)=1-m$

Và khi cộng theo vế tất cả lại ta được: $a+\frac{2}{a}+20b+\frac{1}{b}+c+\frac{2}{c}\geq2(2\sqrt{2m}+\sqrt{19+m})+1-m$

Bây giờ mình cần tìm $m$ để: $2(2\sqrt{2m}+\sqrt{19+m})+1-m = 15$ với $m\geq0$ hay nói đúng hơn là giải phương trình này ra.

Khi giải ra rồi mình thay vào và chú ý xét dấu bằng xảy ra là:

                           $\left\{\begin{matrix} 2=ma^2\\ 1=(19+m)b^2\\ 2=mc^2\\ a+b+c=1 \end{matrix}\right.$

Và từ đấy ta tìm đc $a,b,c$ khi dấu bằng xảy ra thôi.

Mọi người giúp e bài này ạ )

Cho $a,b,c\in \mathbb{R}$ thỏa mãn $a^2+b^2+c^2=3$. Tìm giá trị lớn nhất của $A=a+b+c-abc$

Nếu $(2x+3)\sqrt{4x^2+12x+11}+3x(1+\sqrt{9x^2+2})=-2x-3$ thì biến đổi được PT:
$f\left( 2x+3 \right)=f\left( -3x \right)$, với $f(t)=t(1+\sqrt{{{t}^{2}}+2})$

Nếu thế thì nói làm j
Thế nếu là $-5x-3$ thì sao bạn?

Mọi người cho e hỏi ạ ))

Giải pt sau: $(2x+3)\sqrt{4x^2+12x+11}+3x(1+\sqrt{9x^2+2})=-5x-3$

Mọi người cho e hỏi bài này đi ạ 

Em nghĩ bao lâu r mà k ra )

Cho $x,y,z,t\in \mathbb{R}$ thỏa mãn $x+y+z+t=2$.

Tìm giá trị nhỏ nhất của $A=\frac{(x+y+z)(x+y)}{xyzt}$

Vào chuyên ninh bình 2017-2018 xem

bạn cho mình xin link luôn đi bạn

Mọi người cho e hỏi bài này ạ

Cho $x,y,z,t\in \mathbb{R}$ thỏa mãn $x+y+z+t=2$.

Tìm giá trị nhỏ nhất của $A=\frac{(x+y+z)(x+y)}{xyzt}$

Tại sao ĐKXĐ là $0\leq x\leq 1$ mà không phải là $-1 \leq x\leq 1$?

À sr mình nhầm đấy )

giải pt bằng lượng giác hóa 

$(\sqrt{1+x}-1)(\sqrt{1-x}+1)=2x$

Mình có cách giải đầy đủ nè:

ĐKXĐ: $-1\leq x\leq 1$

Đặt $x=cost$ với $t\in\begin{bmatrix} 0;\pi \end{bmatrix}$. Khi đó $\frac{t}{2}\in\begin{bmatrix} 0;\frac{\pi}{2} \end{bmatrix}$

Từ đó suy ra $cos\frac{t}{2}>0$ và $sin\frac{t}{2}>0$ nên: $\sqrt{1+x}=\sqrt{2}cos\frac{t}{2}$ và $\sqrt{1-x}=\sqrt{2}sin\frac{t}{2}$

Từ đó phương trình trở thành: $(\sqrt{2}cos\frac{t}{2}-1)(\sqrt{2}sin\frac{t}{2}+1)=2(cos^{2}\frac{t}{2}-sin^{2}\frac{t}{2})$

$\Leftrightarrow sint-1=2(cos^{2}\frac{t}{2}-sin^{2}\frac{t}{2})-\sqrt{2}(cos\frac{t}{2}-sin\frac{t}{2})$

$\Leftrightarrow 2sin\frac{t}{2}cos\frac{t}{2}-(sin^{2}\frac{t}{2}+cos^{2}\frac{t}{2})=2(cos^{2}\frac{t}{2}-sin^{2}\frac{t}{2})-\sqrt{2}(cos\frac{t}{2}-sin\frac{t}{2})$

$\Leftrightarrow 2cos\frac{t}{2}(cos\frac{t}{2}-sin\frac{t}{2})+(cos^{2}\frac{t}{2}-sin^{2}\frac{t}{2})-\sqrt{2}(cos\frac{t}{2}-sin\frac{t}{2})=0$

$\Leftrightarrow (cos\frac{t}{2}-sin\frac{t}{2})(3cos\frac{t}{2}+sin\frac{t}{2}-\sqrt{2})=0$

Nếu $cos\frac{t}{2}-sin\frac{t}{2}=0\Leftrightarrow t=\frac{\pi}{2}\Leftrightarrow x=cost=cos\frac{\pi}{2}=0$

Nếu $3cos\frac{t}{2}+sin\frac{t}{2}=\sqrt{2}\Leftrightarrow cos\frac{t}{2}=\frac{\sqrt{2}}{10}$ (vì $cos\frac{t}{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}$ đã có ở trên)

        Từ đó $x=cost=2cos^{2}\frac{t}{2}-1=2.\frac{1}{50}-1=-\frac{24}{25}$.

Chú ý $(\sqrt{1+x})^2+(\sqrt{1-x})^2=2$
Nên ta đặt $\sqrt{1+x}=\sqrt{2}sint$, $\sqrt{1-x}=\sqrt{2}cost$.
Ta được
$(\sqrt{2}sint-1)(\sqrt{2}cost+1)=2(sin^{2}t-cos^{2}t)$
Đến đây đơn giản rồi

Mình nghĩ là phải đặt $\sqrt{1+x}=\sqrt{2}cost$ và $\sqrt{1-x}=\sqrt{2}sint$ chứ nhỉ?

Tại vì nếu đặt với $x=cos2t$ thì $\sqrt{1+x}=\sqrt{2}cost$ và $\sqrt{1-x}=\sqrt{2}sint$

Và khi đó với $x=cos2t$ thì pt trở thành: $(\sqrt{2}cost-1)(\sqrt{2}sint+1)=2(cos^{2}t-sin^{2}t)$

Ok e

 

Bạn đọc kỹ đề bài nhé ! Đề yêu cầu tìm số $k$ nhỏ nhất sao cho VỚI MỌI bộ $2013$ số thực $x_1,x_2,...,x_{2013}$ thuộc đoạn $[2012;2013]$ ta luôn tìm được tập con $A$ thuộc $E=\left \{ 1;2;...;2013 \right \}$ sao cho $\left | \sum _{i\in E\setminus A }x_i-\sum _{i\in A}x_i \right |\leqslant k$

Như vậy với mỗi bộ số, ta có quyền chọn tập $A$ sao cho $\left | \sum _{i\in E\setminus A }x_i-\sum _{i\in A}x_i \right |$ nhỏ hơn hoặc bằng $x_{2013}$ (cách chọn như vậy đã trình bày ở trên, tức là lúc đầu chia thành 2 tập $C$ và $L$, sau đó bổ sung $2013$ vào một trong 2 tập)

Và ứng với bộ số $x_1=x_2=...=x_{2013}=2013$ và cách chọn tập $A$ như vậy thì $\left | \sum _{i\in E\setminus A }x_i-\sum _{i\in A}x_i \right |$ sẽ lớn nhất, nhưng vẫn chỉ bằng $2013$.

Vậy các số $k$ thỏa mãn điều kiện đề bài thuộc tập $\left [ 2013;+\infty \right )$ và số $k$ nhỏ nhất trong đó chính là số $2013$.

(Bạn thắc mắc như vậy chứng tỏ bạn chưa hiểu đề bài. Cứ nghiền ngẫm cho kỹ rồi sẽ hiểu, hy vọng là vậy)

Ok e cảm ơn ạ!

ksa

 

Mình hơi băn khoăn chỗ này. Căn bậc 3 thì có hai nghiệm.

Cảm ơn Bạn!

k có gì đâu

tại cuối cùng n ra pt bậc 2 nên có 2 nghiệm là đúng thôi

ĐK là hàm lũy thừa thì 1-x>0 => x<1. Vậy chỉ có 1 nghiệm x=-1 thì sao bạn.

Mình tưởng lũy thừa 1/3 tức là căn bậc 3 (căn bậc lẻ) nên k cần điều kiện hả bạn?

Không có phần nào thừa cả !

$\left | x_{2013}+\left ( \sum _{i\in C}x_i-\sum _{i\in L}x_i \right ) \right |=\left | x_{2013}-\left | \sum _{i\in C}x_i-\sum _{i\in L}x_i \right | \right |$

Chính vì đã chứng minh được $0\leqslant \left | \sum _{i\in C}x_i-\sum _{i\in L}x_i \right |\leqslant 1006< x_{2013}$ nên ta mới có :

$\left | x_{2013}-\left | \sum _{i\in C}x_i-\sum _{i\in L}x_i \right | \right |\leqslant x_{2013}$

Còn nếu $\left | \sum _{i\in C}x_i-\sum _{i\in L}x_i \right |\geqslant x_{2013}\geqslant 2012$ thì khi đó ta có :

  $\left | x_{2013}-\left | \sum _{i\in C}x_i-\sum _{i\in L}x_i \right | \right |\leqslant \left | \sum _{i\in C}x_i-\sum _{i\in L}x_i \right |-2012$

À vâng e hơi vội vàng

Cơ mà e vẫn thấy chỗ khẳng định k nhỏ nhất đấy sao sao ý ạ

Lỡ đâu tồn tại một tập con A nào đó mà để giá trị tuyệt đối của kia nhỏ hơn một giá trị k nào đó nhỏ hơn 2013 thì sao ạ

Tại a đều lấy một tập A con cụ thể nên mới suy ra nhỏ hơn bằng 2013?

Giải phương trình  $[(1-x)^\frac{1}{3}]^6=4$

A.x=-1 , x=3                     B. x= -1                        C. x=3                    D. Phương trình vô nghiệm 

Đáp án là A hay B vậy các bạn.

$[(1-x)^{\frac{1}{3}}]^{6}=4 \Leftrightarrow (1-x)^{\frac{1}{3}}=4^{\frac{1}{6}} \Leftrightarrow \sqrt[\frac{1}{6}]{(1-x)^{\frac{1}{3}}}=4 \Leftrightarrow (1-x)^{2}=4\Leftrightarrow x^2-2x-3=0\Leftrightarrow x=3 hoặc x=-1$

Vậy A đúng.

Trường hợp 1 : $\sum_{i\in C}x_i-\sum _{i\in L}\leqslant 0$

   Khi đó $\left | \sum _{i\in E\setminus A}x_i-\sum _{i\in A}x_i \right |=\left | \left ( x_{2013}+\sum _{i\in C} \right )-\sum _{i\in L}x_i \right |=\left | x_{2013}+\left ( \sum _{i\in C}x_i-\sum _{i\in L}x_i \right ) \right |\leqslant x_{2013}\leqslant 2013$

Trường hợp 2 : $\sum _{i\in L}x_i-\sum _{i\in C}< 0$

   Khi đó $\left | \sum _{i\in E\setminus A}x_i-\sum _{i\in A}x_i \right |=\left | \left ( x_{2013}+\sum _{i\in L} \right )-\sum _{i\in C}x_i \right |=\left | x_{2013}+\left ( \sum _{i\in L}x_i-\sum _{i\in C}x_i \right ) \right |< x_{2013}\leqslant 2013$

Nếu thế thì cần gì phần bên trên ạ?

Trước hết, ta chia tập $E \setminus \left \{ 2013 \right \}$ thành $2$ tập không giao nhau : tập $L=\left \{ 1;3;5;...;2011 \right \}$ và tập $C=\left \{ 2;4;6;...;2012 \right \}$

Ta có :

$0\leqslant \left | x_1-x_2 \right |\leqslant 1$

$0\leqslant \left | x_3-x_4 \right |\leqslant 1$

...............................................

$0\leqslant \left | x_{2011}-x_{2012} \right |\leqslant 1$

$\Rightarrow 0\leqslant \left | \sum _{i\in L}x_i-\sum _{i\in C}x_i \right |\leqslant 1006$

+ Nếu $\sum _{i\in L}x_i\geqslant \sum _{i\in C}x_i$ : Khi đó ta bổ sung số $2013$ vào tập $C$. Ta gọi tập $L$ là tập $A$, còn tập $C$ sau khi bổ sung số $2013$ là tập $E\setminus A$

+ Nếu $\sum _{i\in L}x_i < \sum _{i\in C}x_i$ : Khi đó ta bổ sung số $2013$ vào tập $L$. Ta gọi tập $C$ là tập $A$, còn tập $L$ sau khi bổ sung số $2013$ là tập $E\setminus A$

Trong cả 2 trường hợp, ta đều có : $\left | \sum _{i\in E\setminus A}x_i-\sum _{i\in A}x_i \right |\leqslant x_{2013}\leqslant 2013$

Vậy giá trị $k$ nhỏ nhất thỏa mãn điều kiện đề bài là $2013$.

(Trường hợp này xảy ra khi $x_1=x_2=x_3=...=x_{2013}=2013$)

Cho e hỏi tí

E chưa hiểu lắm chỗ: Trong cả 2 trường hợp, ta đều có : $\left | \sum _{i\in E\setminus A}x_i-\sum _{i\in A}x_i \right |\leqslant x_{2013}\leqslant 2013$

A giải thích rõ hơn sao ra đc chỗ đấy k ạ?

Mọi người giúp e bài này ạ 

        Tìm số thực k nhỏ nhất sao cho với mọi bộ 2013 số thực $x_{1}, x_{2}, ... , x_{2013}$ thuộc đoạn $[2012, 2013]$ ta luôn tìm được tập con A thuộc $E = \begin{Bmatrix} 1, 2, ... , 2013 \end{Bmatrix}$ sao cho:

                      $\left | \sum_{i\in E\setminus A}x_{i} - \sum_{i\in A}x_{i} \right |\leq k$

Mọi người giúp e bài này ạ

        Tìm số thực k nhỏ nhất sao cho với mọi bộ 2013 số thực $x_{1}, x_{2}, ... , x_{2013}$ thuộc đoạn $[2012, 2013]$ ta luôn tìm được tập con A thuộc $E = \begin{Bmatrix} 1, 2, ... , 2013 \end{Bmatrix}$ sao cho:

                      $\left | \sum_{i\in E\setminus A}x_{i} - \sum_{i\in A}x_{i} \right |\leq k$

Mọi người cho e hỏi bài hệ này ạ

                   $\left\{\begin{matrix} x^{2}\sqrt{2(x-3)}+(x+1)(y-1)=\sqrt[3]{3x-\frac{1}{2}}\\ \sqrt{x^{2}+x+1}-\sqrt{y^{2}-y+1}=\sqrt{x^{2}-xy+y^{2}} \end{matrix}\right.$

E giải ở pt dưới và ra được là $xy-x+y=0$ sau đó thay vào pt bên trên thì ta đc pt ẩn x là:

                 $x^{2}\sqrt{2(x-3)}-1=\sqrt[3]{3x-\frac{1}{2}}$

Đến đây e k biết làm thế nào nữa

Mọi người giúp e ạ

E cảm ơn nhiều )