Cho 2 số thực a,b . CMR:

$\frac{-1}{2}\leq \frac{(a+b)(1-ab)}{(a^2+1)(b^2+1)}\leq \frac{1}{2}$

Bạn tham khảo tại đây

https://diendantoanh...3a3geqfracabc2/

Em cảm ơn ạ! E thấy anh rất giỏi BĐT. Mong anh giúp e bài sau:

https://diendantoanh...1b21leq-frac12/

Cho x,y>0. CMR:

$\frac{1}{(x+1)^2}+\frac{1}{(y+1)^2}\geq \frac{1}{xy+1}$

Tìm số tự nhiên m, n khác nhau sao cho:

$m^n=n^m$

Gọi R,r là bán kính đường tròn ngoại tiếp , đường tròn nội tiếp tam giác ABC vuông tại A . CMR : $\frac{r}{R}\geqslant 2r$

bạn xem lại đề nhé vì điều cần CM tương đương với 2R<=1 

Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác. CMR: 

$\sum \sqrt{\frac{a+b-c}{c}}\geq 3$

Cho a,b,c>0. CMR:

$\sum \sqrt{\frac{a}{b+c}}\geq \frac{3\sqrt{2}}{2}$

Mọi người viết hộ em BĐT Holder và BĐT Cauchy suy rộng bằng cách cấp 2 ạ.

Mấy kí hiệu cấp 3 em không hiểu lắm 

Cho 3 số nguyên dương a, b, c thỏa mãn (a,b,c)=1 và $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{c}$

CMR: a+b là số chính phương 

Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn (O;r), M là trung điểm của BC. Giao điểm của OM và đường cao AH là E. Chứng minh rằng AE=r.

  Gọi F là tiếp điểm của (O) với BC, kẻ đường kính FD, AD cắt BC tại I. Suy ra IC=BF

=> M là trung điêm IF => OM//DI, 

Suy ra ADOE là hình bình hành => đpcm

 Cho tam giác ABC nhọn có các đường cao BB', CC' cắt nhau tại H thỏa mãn AH=BC. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. CMR HG đi qua trung điểm của B'C'.

Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Khi đó H, G, O thẳng hàng ( đường thẳng Euler)

Vì AH=BC nên tg AHC'= tam giác CBC' (g.c.g)

=> AC'=CC' mà OA=OC suy ra OC' vuông góc với AC.=> OC'// HB'
Chứng minh tương tự OB'// C'H

=>OB'HC' là hình bình hành nên OH cắt B'C' tại trung điểm hay suy ra đpcm

Cho ab + bc + ca = 1. Chứng minh rằng 

 $P=\frac{2a}{\sqrt{1+a^{2}}}+\frac{b}{\sqrt{1+b^{2}}}+\frac{c}{\sqrt{1+c^{2}}}\leq \frac{9}{4}$

Vi saoBF=IC

cái này có trong sách NC và PT của Vũ Hữu Bình 

$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+c}\geq \frac{3}{2}$

Bất đẳng thức trên đúng vì theo AM-GM cho 3 số

Giải hpt $\left\{\begin{matrix} 2y^{2}-x^{2}=1\\ 2x^{3}-y^{3}=2y-x \end{matrix}\right.$

Với y=0 không là nghiệm của hệ 

với y khác 0 ta đặt x=k.y 

Ta có:

NHỜ CÁC BẠN GIẢI GIÚP MÌNH 3 BÀI NÀY VỚI:

1) cho a,b,c là độ dài ba cạnh của tam giác. chứng minh rằng: $\frac{1}{a^2+b}+\frac{1}{b^2+c}+\frac{1}{c^2+a}\leq \frac{a+b+c}{2abc}$

2) Cho a, b, c là ba số thực không âm và $a+b+c=1$. CMR: $\sqrt{7a+9}+\sqrt{7b+9}+\sqrt{7c+9}\geq 10$

3) Cho a, b, c dương. CMR: $\frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{c}+\frac{c^3}{a}\geq a\sqrt{ac}+b\sqrt{ba}+c\sqrt{cb}$

XIN CẢM ƠN CÁC BẠN

Câu 3:

NHỜ CÁC BẠN GIẢI GIÚP MÌNH 3 BÀI NÀY VỚI:

1) cho a,b,c là độ dài ba cạnh của tam giác. chứng minh rằng: $\frac{1}{a^2+b}+\frac{1}{b^2+c}+\frac{1}{c^2+a}\leq \frac{a+b+c}{2abc}$

2) Cho a, b, c là ba số thực không âm và $a+b+c=1$. CMR: $\sqrt{7a+9}+\sqrt{7b+9}+\sqrt{7c+9}\geq 10$

3) Cho a, b, c dương. CMR: $\frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{c}+\frac{c^3}{a}\geq a\sqrt{ac}+b\sqrt{ba}+c\sqrt{cb}$

XIN CẢM ƠN CÁC BẠN

Câu 1:

$C/m: \frac{a}{b+c} + \frac{b}{a+c} + \frac{c}{a+b} \geq \frac{3}{2}$

Bất đẳng thức trên đúng vì theo AM-GM 3 số

Bước $\sqrt{c.c.b}+\sqrt{a.c.c}+\sqrt{b.b.a} \leq \frac{c+c+b+a+c+c+b+b+a}{3}$ không đúng rồi bạn ạ.

Phải là căn bậc 3 mới áp dụng được BĐT AM-GM ở đây.

 

BĐT này sai rồi. Với $a=b=c=2$, $\frac{1}{a^2+b}+\frac{1}{b^2+c}+\frac{1}{c^2+a}=\frac{1}{2}$, $\frac{a+b+c}{2abc}=\frac{3}{8}$

sorry mình nhầm

Tìm min A biết 

$A=x+\frac{11}{2x}+\frac{2\sqrt{x^2+7}}{x}$

với x>0 

Chứng minh rằng nếu $\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b} + \sqrt[3]{c} = \sqrt[3]{a + b + c}$ thì:

$\sqrt[n]{a} + \sqrt[n]{b} + \sqrt[n]{c} = \sqrt[n]{a + b + c}$ (với $n \in N$, $n$ lẻ).

$\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y}+\sqrt[3]{z}=\sqrt[3]{x+y+z}$

Lập phương 2 vế ta có:

$x+y+z+3\left ( \sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y} \right )( \sqrt[3]{y}+\sqrt[3]{z})( \sqrt[3]{z}+\sqrt[3]{x})=x+y+z$

Suy ra x=-y hoặc y=-z hoặc z=-x
Thay vào ra điều phải chứng minh 

Theo công thức thì mình tính được vế trái:

$(\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{y} + \sqrt[3]{z})^3 = x + y + z + 3(\sqrt[3]{x^2y} + \sqrt[3]{xy^2} + \sqrt[3]{y^2z} + \sqrt[3]{yz^2} + \sqrt[3]{x^2z} + \sqrt[3]{xz^2} + \sqrt[3]{xyz})$.

Làm thế nào để ra được như thế kia vậy bạn ?

Cái đấy là HĐT đáng nhớ mà bạn 

nếu bạn không biết cách nhóm thì bạn xem ở đây:

https://diendantoanh...3a3b3c33abbcca/

Cho 0<x<1. Chứng minh rằng:

$x+\frac{1}{x^{x}}<2$

Câu 1: Cho 2 số dương $x, y$ thỏa mãn $2xy - 4 = x + y$. Tìm GTNN của biểu thức

P = $xy + \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{y^{2}}$

Câu 2: Xét các số thực  $x, y$  thỏa mãn $\sqrt{x + 1} + \sqrt{y + 1} = \sqrt{2}(x + y)$. Tìm GTLN, GTNN của biểu thức P = $x + y$

Câu 3: Xét các số thực $x, y$ thỏa mãn $x - \sqrt{x + 6} = \sqrt{y + 6} - y$. Tìm GTLN, GTNN của biểu thức P = $x + y$

Max câu 2, 3

Câu 2:

$\sqrt{2(x+1)}+\sqrt{2(y+1)}=2(x+y)\leq \frac{x+3}{2}+\frac{y+3}{2} => x+y<=2$

Câu 3:

$x+y=\sqrt{x+6}+\sqrt{y+6} <=> 3(x+y)=\sqrt{9(x+6)}+\sqrt{9(y+6)}\leq \frac{x+15}{2}+\frac{y+15}{2} <=> x+y\leq 6$