Chứng minh rằng tồn tại vô số số nguyên dương $n$, có ít nhất 3 ước nguyên tố phân biệt và thỏa mãn $2^n \equiv 8$ (mod $n$)

Chuyên đề tứ giác điều hòa. 

Tham khảo tại đây: http://khoalinhmathe...ac-ieu-hoa.html

Download: https://drive.google...zbn48tWJ6y/view

Cho các số dương $a,b,c$ là độ dài 3 cạnh của một tam giác thỏa mãn $a^2+b^2+c^2=3$. Chứng minh: 

$\frac{a+b}{\sqrt{a+b-c}}+\frac{b+c}{\sqrt{b+c-a}}+\frac{c+a}{\sqrt{c+a-b}}\geq 6$

Cho các số nguyên dương $m,n$ thỏa mãn 

$P=\frac{(m+n)^2}{4\left [m(m-n)^2+1 \right ]}$ là số nguyên. Chứng minh $P$ là số chính phương

http://khoalinhmathe...hinh-vuong.html

https://drive.google...QCbqZd_1xw/view

Cho $6$ điểm thuộc mặt phẳng và không có $3$ điểm nào thẳng hàng. Đoạn thẳng nối hai điểm bất kì được tô màu đỏ hoặc xanh. Chứng minh rằng tồn tại ít nhất hai tam giác được tạo bởi $3$ cạnh cùng màu

Cho dãy $(a_n):$ $a_1=1,a_2=1$ và $a_n=6a_{n-1}+5a_{n-2}$. 

Chứng minh $a_{2012}-a_{2011}$ chi hết cho $2011$ 

Cho hai đường tròn $(O)$ và $(O')$ cắt nhau tại hai điểm $A,B$. Kẻ cát tuyến $ADE$, một  đường thẳng song song với $DE$ cắt $(O)$ và $(O')$ tại $M,N,P,Q$ (như hình vẽ). $EN$ cắt $DM$ tại $K$, $DP$ cắt $EQ$ tại $L$. Chứng minh rằng $\angle KAD= \angle LAE$.

Cho các số dương $a,b,c$ có tổng bằng 3. Chứng minh rằng: 

$\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca} \geq ab+bc+ca$

Tham  khảo tại đây: https://khoalinhmath...ai-he-hung.html

Download: https://drive.google...F9fr6SeVCf/view

Cho các số dương $x,y,z$ sao cho $xy+yz+zx=1$. Chứng minh rằng: 

$\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{yz}+\sqrt{3}}+\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{zx}+\sqrt{3}}+\frac{\sqrt{z}}{\sqrt{xy}+\sqrt{3}}\leq \frac{1}{4\sqrt{3}xyz}$

Tài liệu ngắn này do mình biên soạn lần đầu bằng Latex. Nếu thấy hay các bạn like cho mình nhé         

Cho 0<x<1. Chứng minh rằng:

$x+\frac{1}{x^{x}}<2$

Cho a, b, c >0 thỏa mãn:

$\frac{1}{\sqrt{x+1}}+\frac{1}{\sqrt{y+1}}+\frac{1}{\sqrt{z+1}}=1$

Chứng minh BĐT:

$\frac{1}{\sqrt{x^3+1}}+\frac{1}{\sqrt{y^3+1}}+\frac{1}{\sqrt{z^3+1}}\leq 1$

Dấu bằng của BĐT có xảy ra được hay không ?

Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác. CMR: 

$\sum \sqrt{\frac{a+b-c}{c}}\geq 3$

Giải hệ phương trình 

$x^3-16x+4y-y^3=0$

$x^3-\frac{6}{y}=2$

Giải hệ phương trình với tham số a,b,c >0 và đôi một khác nhau 

$\left\{\begin{matrix} x^2-yz=a & & \\ y^2-zx=b & & \\ z^2-xy=c & & \end{matrix}\right.$

Giải hệ phương trình với a, b, c đôi một khác nhau vào lớn hơn 0

$\left\{\begin{matrix} x^2-yz=a\\ y^2-zx=b\\ z^2-xy=c \end{matrix}\right.$

Cho a, b, c là các số nguyên khác 0 thỏa mãn:

$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}$ và $\frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c}$ là các số nguyên.

Chứng minh:

 $\left | a \right |=\left | b \right |=\left | c \right |$

Giải phương trình nghiệm nguyên dương 

$x^3+y^3=(x+y)^2+x^2y^2$

Tìm các số nguyên x, y sao cho $\frac{x^2+1}{y^2}+4$ là số chính phương

Tài Liệu các bài hệ phương trình hay và khó ~ Nguyễn Trường Phát - TP.HCM

https://khoalinhgeom...-sin-trong.html