Cho a,b,c là các số thực dương.Chứng minh bất đẳng thức

$\sum \frac{a^{4}}{a^{2}+ab+b^{2}}\geq \frac{a^{3}+b^{3}+c^{3}}{a+b+c}$

Cho a,b,c>0.Chứng minh bất đẳng thức:

$\sum \frac{a^{2}+bc}{a^{2}+(b+c)^{2}}\leq \frac{18}{5}.\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{(a+b+c)^{2}}$

Cho a,b,c>0 và $\sum a^{2}=1$

Chứng minh rằng: $\sum \frac{1}{\sqrt{a^{2}+1}}\leq \frac{9}{2(a+b+c)}$

Giải phương trình $x\sqrt{5-x^{2}}+\sqrt{x-1}=x+1$

Cái bước đánh giá đầu là Bunhiacopxki dạng phân thức cho $\frac{4}{y^{2}+z^{2}}$ và $\frac{1}{x^{2}}$

Lúc đầu mình viết nhầm biến.Sorry nha sửa lại rồi đó

Đặt A=$\sum \frac{x^{3}}{y^{2}+z^{2}}$

=>4A=$\sum \frac{4x^{3}}{y^{2}+z^{2}}$

=>4A+3=$\sum (\frac{4x^{3}}{y^{2}+z^{2}} + \frac{x^{3}}{x^{2}})$

=>4A+3=$\sum (x^{3}.(\frac{4}{^{y^{2}}+z^{2}}+\frac{1}{x^{2}}))\geq \sum x^{3}.\frac{(2+1)^{2}}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}=\sum x^{3}.\frac{9}{\sum x^{2}}\geq \sum (x^{3}.\frac{9}{\sum x^{3}})=9$

=>4A$\geq 6$

=>A$\geq \frac{3}{2}$

Cho 3 số thực dương dương x,y,z thỏa mãn x+y+z=3

Cmr:$\sum \frac{x^{3}}{y^{2}+z^{2}}\geq \frac{3}{2}$

Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh của tam giác.Chứng minh rằng

$\sum \frac{a}{\sqrt{a^{2}+3bc}}\geq \frac{3}{2}$

Cho tứ giác ABCD.O là tâm đường tròn ngoại tiếp,I là tâm đường tròn nội tiếp,E là giao điểm của AC và BD.Chứng minh O,I,E thẳng hàng

Lời giải cô mình chữa cho những ai quan tâm:

Đặt A=$\sum \frac{x}{y}$

Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức

A$\geq$$\frac{(x+y+z)^{2}}{xy+yz+xz}$

=>Đpcm <=> $(x+y+z)^{3}\geq 9(xy+yz+xz)$

<=>$(x+y+z)^{6}\geq 81(xy+yz+xz)^{2}=27(xy+yz+xz)^{2}(x^{2}+y^{2}+z^{2})$

Bất đẳng thức trên đúng theo Cô-si 

Cho 3 số x,y,z thỏa mãn x,y,z>0 và $x^{2}+y^{2}+z^{2}=3$.Chứng minh rằng $\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}\geq \frac{9}{x+y+z}$

Tìm các số nguyên dương x,y,z thỏa mãn $\frac{x^{2}+x+1}{xy-1}= z$

Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O).BA cắt CD tại F,AC cắt BD tại E.Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AD và BC.Chứng minh MN đi qua trung điểm của EF

Cho 3 số dương x,y,z thỏa mãn x+y+z=1.Cmr:$\sum \sqrt{\frac{xy}{xy+z}}\leq \frac{3}{2}$

cho a,b,c>0 và a+b+c=3.Chứng minh rằng: A=$\frac{1}{2+a^{2}b}+\frac{1}{2+b^{2}c}+\frac{1}{2+c^{2}a}$ $\geq 1$

Cho các số a,b,c>0.Chứng minh rằng:$\frac{a^{2}}{b}+\frac{b^{2}}{c}+\frac{c^{2}}{a}\geq \sqrt{a^{2}-ab+b^{2}}+\sqrt{b^{2}-bc+c^{2}}+\sqrt{c^{2}-ac+a^{2}}$

Giải phương trình nghiệm nguyên dương sau:1+$4^{x}+4^{y}=z^{2}$

Tính giá trị của biểu thức sau: Q=$(\sqrt{2014}-\sqrt{2013})x^{2}-(\sqrt{2013}-\sqrt{2012})x+6\sqrt{2013}-2\sqrt{2012}$ với x=$\frac{2\sqrt{2014}-3\sqrt{2013}+\sqrt{2012}}{\sqrt{2013}-\sqrt{2014}}$

Tìm các số nguyên x,y,z thỏa mãn:$x^{10}+y^{10}=z^{10}+96$

Giải phương trình sau:

$\sqrt[n]{x}+\sqrt[n]{y}=\sqrt[n]{x+y}$

Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O).AD là đường kính của O.M là trung điểm BC,H là trực tâm tam giác ABC.Gọi X,Y,Z lần lượt là hình chiếu của D lên HB,HC,BC.Chứng minh X,Y,Z,M thẳng hàng

$\frac{bc}{\sqrt{{a+bc}}}$ mà bạn

Phải là $\sum \frac{bc}{\sqrt{(a+b)(a+c)}} \leq \frac{1}{2} \sum \frac{b^{2}}{a+b}$ + $\frac{c^{2}}{a+c}$ chứ

Cho a,b,c>0 thỏa mãn a+b+c=1.Chứng minh rằng

$\frac{bc}{\sqrt{a+bc}} +\frac{ca}{\sqrt{b+ca}} + \frac{ab}{\sqrt{c+ab}} \leq \frac{1}{2}$

Có điểm của từng thí sinh không?