Cho $a,b,c>0$. CMR: $\frac{1}{2a+b+c} +\frac{1}{a+2b+c}+\frac{1}{a+b+2c} \leq \frac{1}{a+3b}+\frac{1}{b+3c}+\frac{1}{c+3a}$

Bài 40: Cho các số $a,b,c>0$ thoả mãn $a+b+c=3$. Chứng minh rằng $\sum\frac{1}{a^2+2b^2+3}\leq\frac{1}{2}$

Bài 44: Cho $x,y,z$ là các số thực dương. Chứng minh rằng $\frac{x^{2}}{y}+\frac{y^{2}}{z}+\frac{z^{2}}{x}\geq \sqrt[4]{27(x^{4}+y^{4}+z^{4})}$

Đặt $P=\sum \frac{x^2}{y}; S=\sum x^2y^2$

Theo BĐT $Holder: P.P.S \geq (x^2+y^2+z^2)^3$

Ta chứng minh $(x^2+y^2+z^2)^3 \geq S\sqrt{27(x^4+y^4+z^4)}$

Thật vậy: $S\sqrt{x^4+y^4+z^4}=\sqrt{(\sum x^4)(\sum x^2y^2)^2}\leq\sqrt{\frac{(x^2+y^2+z^2)^6}{27}}=(x^2+y^2+z^2)^3.\frac{1}{\sqrt{27}}$

Suy ra $S\sqrt{27(x^4+y^4+z^4)} \leq (x^2+y^2+z^2)^3$ (ĐPCM)

Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow x=y=z$

Bài 2:

Ta có $\widehat{BEA}=\widehat{BPM}=\widehat{PBM} \Rightarrow PB$ là tiếp tuyến của $(EBA) \Rightarrow PA.PE=PB^2$

P/s: Em k biết cách up hình, mong anh thông cảm

Câu 2. Phân tích bình phương S.O.S
$(a-b)^2(\frac{1}{ab}-\frac{2\sqrt{2}}{a^2+b^2+c^2})+(b-c)^2(\frac{1}{bc}-\frac{2\sqrt{2}}{a^2+b^2+c^2})+(c-a)^2(\frac{1}{ca}-\frac{2\sqrt{2}}{a^2+b^2+c^2}) \geq 0$
Đặt $\frac{1}{ab}-\frac{2\sqrt{2}}{a^2+b^2+c^2}=S_{c};\frac{1}{bc}-\frac{2\sqrt{2}}{a^2+b^2+c^2}=S_{a};\frac{1}{ca}-\frac{2\sqrt{2}}{a^2+b^2+c^2}=S_{b}$
Giả sử $a \geq b \geq c \Leftrightarrow  S_{a} \geq S_{b} \geq S_{c}$ 
Ta sẽ chứng minh  $S_{b} + S_{c} \geq 0$
Ta có $S_{b} + S_{c}=\frac{1}{ac}+\frac{1}{ab}-\frac{4\sqrt{2}}{a^2+b^2+c^2} \geq \frac{4}{ac+ab}-\frac{4\sqrt{2}}{a^2+b^2+c^2}$
Lại có $a^2+b^2+c^2 \geq \frac{(a+b)^2}{2}+c^2 \geq \sqrt{2}(ac+ab)$ nên ta có ĐPCM
$S_{a} \geq S_{b} \geq S_{c}$ và $S_{b} + S_{c} \geq 0$ nên theo tiêu chuẩn phân tích bình phương S.O.S ta có ĐPCM
Đẳng thức xảy ra khi a=b=c

Tiêu chuẩn này cần phải có thêm $S_b \geq 0$ nữa chứ anh?

Câu 1:

a) ĐK: $2 \leq x \leq 4$

Phương trình $\Leftrightarrow (x-3)(\frac{1}{\sqrt{x-2}+1}-\frac{1}{\sqrt{4-x}+1}-(2x+1))=0$

Mà $x\geq 2 \Rightarrow \frac{1}{\sqrt{x-2}+1}-\frac{1}{\sqrt{4-x}+1}-(2x+1) \leq \frac{1}{\sqrt{2-2}+1}-\frac{1}{\sqrt{4-2}+1}-(2.2+1) <0$

$\Rightarrow x=3$

b) Nhân 2 vế của pt 1 với 2 rồi trừ 2 pt theo vế, ta được $y^2+8y+7-2xy=-x^2+8x \Leftrightarrow (y-x)^2+8(y-x)+7=0$

$ \Leftrightarrow y-x=-1$ hoặc $y-x=-7$

Thế vào pt 1 tìm được x,y 

Ta có: $\sqrt[4]{\frac{a}{b+c}}=\sqrt[4]{\frac{a^2}{a(b+c)}}\geq \sqrt[4]{\frac{a^2}{\frac{(a+b+c)^2}{4}}}\doteq \frac{\sqrt{2a}}{\sqrt{a+b+c}} \Rightarrow P\geq \frac{2(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})}{\sqrt{a+b+c}}\geq 2$

 

p/s: Không có dấu "=" xảy ra

Mình nghĩ đoạn cuối của bạn sai rồi.
Với cả dấu "=" xảy ra khi a=0, b=c và các hoán vị

Cho $a,b,c\geq0$. Chứng minh rằng $\sqrt[4]{\frac{a}{b+c}}+\sqrt[4]{\frac{b}{c+a}}+\sqrt[4]{\frac{c}{a+b}}\geq2$

Không mất tính tổng quát, giả sử $c=max(a,b,c)$

Khi đó $1=a+b+c \leq 3c \Rightarrow c \geq \frac{1}{3}$. Suy ra $\frac{1}{3} \leq c \leq 1$

Ta có $\frac{1}{a^2+2} + \frac{1}{b^2+2} + \frac{1}{c^2+2} \geq \frac{4}{a^2+b^2+4} + \frac{1}{c^2+2} \geq \frac{4}{(a+b)^2+4} + \frac{1}{c^2+2} = \frac{4}{(1-c)^2+4} + \frac{1}{c^2+4}$

Ta sẽ CM $\frac{4}{(1-c)^2+4} + \frac{1}{c^2+4} \geq \frac{4}{3}$  (1)

Thật vậy: (1) $\Leftrightarrow 3(4(c^2+2)+c^2-2c+5) \geq 4(c^2+2)(c^2-2c+5) \Leftrightarrow 4c^4-8c^3+13c^2-10c+1 \leq 0 \Leftrightarrow (c-1)(4c^3-4c^2+9c-1) \leq 0$ (*)

Mà $4c^3-4c^2+9c-1=c(2c-1)^2+8c-1 \geq 8c-1 >0$ (Vì $c \leq \frac{1}{3}$) và $c \leq 1$

Nên (*) đúng. Ta có ĐPCM

Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow (a,b,c)=(0,0,1)$ và các hoán vị

$AA \cap BB$ coi như là giao điểm tiếp tuyến của $(O)$ tại $A,B$,

A quên pascal thank you ;v 

Cho tứ giác $ABCD$ nội tiếp $(O)$. $AD \cap BC = R$, $AC \cap BD = S$. Tiếp tuyến tại $A$ và $B$ cắt nhau tại $Q$. Chứng minh rằng $R,S,Q$ thẳng hàng

Câu 5:

a) Trong 21 điểm đã cho có ít nhất 6 điểm cùng màu, giả sử đó là các điểm $A_1$, $A_2$,...,$A_6$

Trong 5 đoạn thẳng $A_1A_2$, $A_1A_3$, $A_1A_4$, $A_1A_5$, $A_1A_6$ có ít nhất 3 đoạn cùng màu, giả sử đó là các đoạn $A_1A_2$, $A_1A_3$, $A_1A_4$ có màu chàm.

Xét 3 điểm $A_2$, $A_3$, $A_4$

+ Nếu 2 trong 3 điểm này được nối với nhau bằng một đoạn thẳng màu chàm, giả sử đó là $A_2$ và $A_3$ thì tam giác $A_1A_2A_3$ thoả mãn bài toán

+ Nếu không có 2 điểm nào trong 3 điểm này được nối với nhau bởi đoạn thẳng màu chàm thì các đoạn $A_2A_3$, $A_3A_4$, $A_4A_5$ đều có màu tím, khi đó tam giác $A_2A_3A_4$ thoả mãn bài toán

Vậy ta có ĐPCM

 

Khi đó $A_k$ có tối đa $1+(2018-1011)+1=1009$ phần tử. Điều này là vô lí vậy kết quả là $1010$

 

Bạn giải thích kĩ chỗ này giúp mình với

 

$A= 2cos(\frac{x+y}{2})cos(\frac{x-y}{2})-[2cos^{2}(\frac{x+y}{2})-1]$

Đặt $t=cos(\frac{x+y}{2}),m=cos(\frac{x-y}{2})$ A trở thành $-2t^2+2mt+1=-2(t-\frac{1}{2})^2+\frac{3}{2}\leq \frac{3}{2}$

 

chị cho em hỏi đoạn biến đối cuối cùng ẩn $m$ sao k có thế ạ?

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $A=cosx+cosy-cos(x+y)$

Bài này phải có thêm điều kiện của a b nữa chứ vd như a+b hay ab chẳng hạn

Cô mình chỉ cho như thế thôi bạn.... 

Cho $a,b > 0$. Tìm $Min$ của $P=a+b+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{a+b+1}$

sorry bạn mình nhầm giải đc nhưng thay vì trình bày cụ thể m sẽ chỉ cho bạn mẹo làm

từ phương trình thì ta thấy vai trò của a,b như nhau => dấu bằng 99% sẽ xảy ra khi a=b=x(x  là một số nào đó bí ẩn  

ta biến đổi pt như sau để có dấu bằng xảy ra tại a=b=x

A=$\frac{a}{x^{2}}+\frac{1}{a}+\frac{b}{x^{2}}+\frac{1}{b}+(1-\frac{1}{x^{2}})(a+b+1)+\frac{1}{a+b+1}-(1-\frac{1}{x^{2}})$

khi đó thì theo dấu bằng $(1-\frac{1}{x^{2}})(a+b+1)=\frac{1}{a+b+1}$  (1)

khi đó ta sẽ có thể tìm đc x bằng cách thay a=b=x vào pt (1) rồi giải ra nghiệm bn rồi quay ngược lại thế x vào rồi làm y như trên là tìm đc min

Cảm ơn bạn nhiều nha... Mà việc giải ra được cái pt theo $x$ ấy mình thấy có vẻ rất rắc rối ( 

Cho các số $a,b,c>0$. CMR $\sum \frac{ab}{4a+5b+6c}\leq \frac{a+b+c}{15}$

 

$$ \frac{ca}{4a+ 4b+ c}+ \frac{ab}{4b+ 4c+ a}+ \frac{bc}{4c+ 4a+ b}\leq \frac{a+ b+ c}{9}$$

$$ LHS= \sum \frac{ca}{4a+ 4b+ c}= \frac{ca}{2\left ( 2a+ b \right )+ \left ( 2b+ c \right )}\leq \frac{2}{9}\sum \frac{ca}{2a+ b}+ \frac{1}{9}\sum \frac{ca}{2b+ c}= \frac{a+ b+ c}{9}$$

 

?

B1: Cho $a,b,c>0$. CMR $\sum\frac{a}{a+b}\leq\frac{3}{2}$

B2: Cho $x,y\geq0$ thoả mãn $2x+y\leq4$ và $2x+3y\leq6$

Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của $P=x^2-2x-y$

Dùng lượng giác, ta sẽ tìm ra SHTQ của hai dãy. Từ đó, ta chứng minh được điều cần phải chứng minh.

Anh ghi rõ giúp em với ạ

Cho 2 đường tròn $(O)$ và $(O')$ cắt nhau tại $A$ và $B$. Gọi $K$ là điểm sao cho $OAO'K$ là hình bình hành. Điểm $C$ thuộc $(O)$. $CA$ cắt $(O')$ tại $D$. Chứng minh $KC=KD$

Thay PT(2) vào PT(1): $2(y+z)+y=z^2$, suy ra $y=\frac{z^2-2z}{3}$. 

Thay vào PT(3):

$$2(\frac{z^2-2z}{3})(\frac{z^2-2z}{3}+z)=z+1$$

$$2(z^2-2z)(z^2+z)=9(z+1)$$

$$(z+1)(2z^3-4z^2-9)=0$$

Từ đây giải được $x,y$.

cho mình hỏi cái 2z^3-4z^2-9=0 xử lí sao vậy bạn?

Cho $a,b,c>0$. CMR:

$a) \frac{a^{2}}{b}+\frac{b^{2}}{a}\geq a+b+\frac{4(a-b)^2}{a+b}$

$b) \frac{a^{2}}{b}+\frac{b^{2}}{c}+\frac{c^2}{a}\geq a+b+c+\frac{4(a-c)^2}{a+b+c}$